基于间谐波泄漏谐波间谐波检测新方法

基于间谐波泄漏的谐波间谐波检测新方法*
江维，肖辉，曾林俊，崔永林
（长沙理工大学电气与信息工程学院，湖南长沙410114）
摘要：在同步采样条件下，间谐波对谐波以及间谐波之间的频谱泄漏是产生检测误差的主要原因。

为此，文中提出一种谐波间谐波检测新方法来消除间谐波对谐波的频谱干扰，该方法根据间谐波旁瓣泄漏特点，对谐波邻近的间谐波泄漏谱线进行指数拟合求取间谐波在谐波频点处的泄漏值，进而得到较精确拟谐波信号，然后进行时域采样分离拟谐波信号得到拟间谐波信号。

通过对频率相近的间谐波采用补零法进行频段划分，各频段进行加窗插值后得到较精确间谐波参数。

最后，算例仿真误差结果验证了该方法的有效性。

关键词：频谱泄漏；快速傅里叶变换；指数拟合；补零；加窗插值
中图分类号：TM93 文献标识码：B 文章编号：1001-1390（2017）00-0000-00 New method of harmonic and inter-harmonic detection based on
inter-harmonic leakage
Jiang Wei, Xiao Hui, Zeng Linjun, Cui Yonglin
(College of Electrical and Information Engineering, Changsha University of Science and Technology,
Changsha 410114, China)
Abstract: In synchronous sampling conditions, the spectrum leakage of the inter-harmonic and inter-harmonic between is the main reason for the detection error. In this paper, a new calculation method was proposed to eliminate the interference between harmonic and inter-harmonic. It obtains accurate quasi harmonic signal, by meaning of exponential fitting to estimate the leakage value of the inter-harmonic at the adjacent to the line of the harmonic spectrum. The quasi inter-harmonic signal is obtained by separating the quasi harmonic signal through the time-domain sampling method. The inter-harmonics of frequency relatively nearby divide the frequency bands by the null method, and for each frequency band, the method of adding window interpolation is used to obtain the more accurate harmonic parameters. The simulation error results have verified the effectiveness of the proposed method. Keywords:spectrum leakage, fast Fourier transform, exponential fitting, zero complement, windowed and interpolation
0引言
电力系统中大量电力电子装置、波动性负荷等非线性元件的使用，使得系统产生大量的谐波、间谐波，严重影响电力系统的安全运行[1-2]。

间谐波的存在还会引起电力系统电压有效值和峰值的波动，严重时造成系统电压发生闪变、次同步振荡等危害。

因此，谐波、间谐波的有效治理成为电力系统安全运行的重要保证，然而谐波、间谐波的精确检测是治理的前提。

目前，对于谐波的同步采样可以通过并联加强锁相环[3]或基波同步插值法[4-5]来实现，但对于间谐波而言，满足同步采样的窗口非常长，无法满足IEC61000-4-7的推荐标准，很难实现同步采样，则会产生间谐波对谐波以及间谐波之间的泄漏问题。

已有许多文献针对此问题开展大量研究，文献[4]利用谐波频点邻近的谱线值来估算间谐波在谐波频点处的泄漏值，但当谐波附近含有多个主导间谐波成分时，此时泄漏估算的线性方程维数增加，导致计算
量较大；文献[6]提出邻近谱线抵消法来消除泄漏的间谐波对谐波频谱的干扰，该方法把泄漏旁瓣近似认为是线性关系，而实际间谐波的泄漏值是由主瓣向旁瓣呈一种衰减形式，因而会存在较大的误差。

对于间谐波间的频谱干扰问题，采用补零法[7-8]能使难以辨别的谱峰得到改善，采用加窗插值[9-12]法在一定程度上能够抑制间谐波的频谱泄漏。

为进一步提高谐波、间谐波检测精度，本文提出对谐波邻近谱线采用曲线拟合的方法来求取间谐波在谐波谱线上的泄漏估计值，由于间谐波的泄漏谱线由主瓣向旁瓣近似呈一种指数函数衰减，因而采用指数函数进行曲线拟合来求取间谐波在谐波频点处的泄漏值具有更高的精度，从而得到较精确的拟谐波信号。

针对间谐波之间的频谱泄漏和频率较近易出现谱线难以辨别的问题，文中采用补零和加窗插值法相结合可得到较精确拟间谐波信号参数。

通过算例仿真分析，验证了本文所提方法在检测谐波和间谐波时有较高的精度。

1 谐波、间谐波的泄漏效应
考虑电力系统信号为：
1()cos(2π)P
m m m m x t A f t φ==+∑ (1)
其中：f m 错误！未找到引用源。

为信号频率， A m 和m ϕ错误！未找到引用源。

分别为信号的幅值和初始相角，P 错误！未找到引用源。

为信号的成分数；t 为时间。

对信号进行离散化采样，采样窗口长度为T m 错误！未找到引用源。

,得到离散信号：
1
()cos(2π/)P
m m s m m x k A f k f φ==+∑ (2)
其中k =0,1, ,N -1错误！未找到引用源。

；N 为采样点数，且T S =N /f s 错误！未找到引用源。

对信号x(k )进行离散时间傅里叶变换（DTFT ），可得：
∑-=
-=ΩΩ
10
)(1N k k
j j e
k x N
e X ）（
(3)
式中t f ∆=Ωπ2错误！未找到引用源。

，其中
s f t /1=∆错误！未找到引用源。

，则对应DFT 为
∑=
-=-Ω
10
/2)(1)(N k N
nk j j e
k x N
e
X π
(4)
式中n =0,1, ,N -1错误！未找到引用源。

对式(3)和式(4)进行比较，得到离散信号x(k )的DFT 结果为其DTFT 结果的离散化，忽略负频谱的影响，可得：
j 2π/()|n N X n X e Ω
Ω==（）
1
1j[π()]sin()1πsin ()m s P m s m
m m s N n f T n f T N A e m N n f T N
φ=----=∑- (5)
从式(5)可知，若f m T s 为整数，则DFT 值在n =f m T s
时值为j m e
m
NA φ错误！未找到引用源。

，在其他频点
处的值都为零，即为同步采样。

若f m T s 为非整数，即当采样窗口长度不是信号周期整数倍时，其就会在各离散频点存在泄漏，该泄漏成份会干扰其他频率成份，即为非同步采样（如图1所示）。

此时j ()X e Ω错误！未找到引用源。

在任何频点的值都是信号中各谱线的分量在此点对应值的矢量叠加，从而造成检测结果出现偏差。

频率/Hz
幅值/ V
图1 频谱泄漏示意图
Fig.1 Schematic diagram of the spectrum leakage 2 基于曲线拟合的谐波检测
间谐波的非同步采样造成实际检测的谐波谱线包含两部分，一部分是谐波本身的谱线值，另一部分是间谐波在谐波频点处泄漏的谱线值。

现对某一频率为f m 的间谐波信号在非同步采样下分别从实部和虚部进行频谱分析，本文取信号频率f m =70 Hz ，采样频率f s =256 Hz ，采样点数N =200的信号进行FFT 仿真分析，
得到的间谐波泄漏的谱线实部和虚部泄漏频谱分别如图2、图3所示。

k
X (k )
图2 间谐波信号的频谱泄漏实部图
Fig.2 Real part of spectra leakage of inter-harmonics
k
X (k )
图3 间谐波信号的频谱泄漏虚部图
Fig.3 Image part of spectra leakage of inter-harmonics
假设k 处存在一谐波信号，取k 及其附近k -2、k -1、k +1和k +2五个频点进行谱线分析，对应的FFT 值为X(k -2)、X(k -1)、X(k )、X(k +1)、X(k +2)错误！未找到引用源。

由于 X(k )错误！未找到引用源。

在任何频点的值都是信号中各个分量在此点对应值的叠加，可由式(6)表示：
⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎪
⎨⎧+++=++++=++=-+-=--+-=-)2()2()2()1()1()1()
()()()1()1()1()
2()2()2(k X k X k X k X
k X k X k X k X k X k X k X k X k X k X k X 间谐波谐波间谐波谐波间谐波谐波间谐波谐波间谐波谐波 (6) 由于对谐波的同步采样，则谐波在其他频点上
无泄漏值，所以在谐波频点外的其它频点值为间谐波单独引起的泄漏值，则式(6)可以简化为：
⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎪
⎨⎧+=++=++=-=--=-)2()2()1()1()()()()1()1()2()2(k X k X k X
k X k X k X k X k X k X k X k X 间谐波间谐波间谐波谐波间谐波间谐波 (7)
从图2、图3可以看出，实部和虚部旁瓣对应的邻近频谱线近似呈指数函数衰减，谱线间隔设定为5Hz （IEC 推荐的采样时长来确定，如图2、图3虚线所示），不妨设衰减函数为:
)exp()exp()(x q n x p m x H **+**=
(8)
根据图2谱线X 实部(k -2)、X 实部(k -1)、X 实部(k +1)、X 实部(k +2)的值，调用Matlab 中的H （x ）函数模型进行指数拟合，在最大拟合程度情况下（不同拟合程下的m ，n ，p ，q 值不同），获得最优m ，n ，p ，q 值，则可求得H 实部（k ）的值，同理可得H 虚部（k ）的值。

则有：
）（）（虚部实部
k H k H k H 2
2)(+= (9)
当信号中存在多个间谐波时，间谐波泄漏值为
每个间谐波单独泄漏值实部和虚部的分别叠加，实部和虚部泄漏值叠加的谱线依然满足式（8）函数关系。

则各谐波真实估计值:
)()()(k H k X k X -≈谐波
(10)
因此，可推导得出频率为f m 的谐波频谱估计值通用公式：
)()(s m s m m m
f N f H f N f X f N f X -≈）（谐波错误！未找到引用源。

(11)
3 基于补零和加窗插值的间谐波检测
当两间谐波之间的频率差远大于频率分辨率时，可通过加窗插值法获得较精确间谐波参数。

但当两间谐波之间的频率差较小，在频率分辨率范围附近时，甚至小于其频率分辨率时，两谱峰由于峰值谱线相隔太近会出现混频问题。

因此，如何改善谱线的分布密集度成为解决混频问题的关键。

3.1补零法的频段划分
设两相邻谱线间隔为d f ，其中d f =f s /N ，f s 为采样频率，N 为采样截断数据长度，对截断的数据后面补N 1个零，则信号补零后的数据长度由N 增加到N +N 1，采样点数N 的增加会导致相邻谱线间隔d f 减小，谱线变得更密集，使得谱线外观变得平滑，能够改善由于谱线混频而造成间谐波检测中的频率漏检问题，如图4所示。

在满足
IEC 61000-4-7规定的信号采样时长为10个基波周期时，一般N 1取N 就能够达到较好的分辨效果。

频率/Hz
幅值/ V
图4 拟间谐波信号的补零FFT 幅值频谱 Fig.4 Add zero FFT spectrum of quasi
inter-harmonic
从图4可以看出，补零前信号的频段在[A,B]错误！未找到引用源。

段只含一个频率成份，补零后信号含有两个波峰，即含有两个频率成份。

对图4
两谱峰间的波谷M 处进行频段划分，则补零后的频段可划分[A,M]错误！未找到引用源。

和[M,B]错误！未找到引用源。

两部分。

3.2 基于分频段加4项3阶Nuttall 窗插值法 文中对间谐波各频段进行谱峰搜索，设搜索到的谱峰最大和次大谱线分别为l 和l +1，对应的谱值为|X(l)|错误！未找到引用源。

和|X(l +1)|错误！未找到引用源。

由文献[13]知Nuttall 窗具有较其它窗函数较窄的主瓣宽度和较大的旁瓣衰减速度的性能，且考虑到窗函数计算量，选择4项3阶Nuttall 错误！未找到引用源。

窗函数进行双谱线插值FFT 计算，由文献[9]可得Nuttall 窗函数插值公式如式(12)所示，可通过MATLAB 仿真求得各频段间谐波的参数。

35
24
((|()||(1)|)/(|()||(1)|))2.95494514*0.17671943*0.09230694*((|()||(1)|)/)*(3.209761430.9187393*0.14734229*)arg(())(0.5)/2(0.5)*/s m b X l X l X l X l a b b b A X l X l N a a X l a f l a f N φππ=-+++=++=++++=-++⎧⎪⎪⎪⎪
⎪⎨⎪⎪⎪=++⎪⎪⎩
(12)
其中a 为插值系数，b 相邻谱峰比，A 、f 、错误！未找到引用源。

m ϕ分别为间谐波的幅值、频率和相角。

4 仿真验证
为验证文中在检测谐波和间谐波的有效性，下面提供一组电压信号的计算实例，给定信号参数如表1所示。

表1 仿真信号参数
Tab.1 Simulated signal parameters
频率/Hz 幅值/V 相位/（˚）
38.3 5.9 48 50.0 220 30 79.6 11.3 40 85.4 6.9 75 100.0 27.1 45 137.9 3.5 120 150.0
18.3
-30
4.1 谐波的检测
设信号采样频率为1 000 Hz ，采样时长为0.2 s ，分别采用三种方法对谐波进行MATLAB 仿真计算：
(1)方法1：直接谐波FFT 计算；
(2)方法2：加hanning 窗的谐波FFT 计算； (3)方法3：指数函数拟合的谐波FFT 计算。

谐波信号的幅值和相位计算结果分别如表2和表3所示。

表2 谐波幅值参数的计算结果及其误差对比
Tab.2 Amplitude contrast of calculation result and errors
谐波频率（Hz ） 设定值/V 方法1
方法2
方法3
估计值/V 相相对误差（10-3
）
估计值/V 相相对误差（10-3
）
估计值/V 相相对误差（10-3）
50 220 220.515 0 2.340 9 219.889 0 -0.504 5 219.972 5 -0.125 100 27.1 27.236 9 5.051 7 27.106 5 2.398 5 27.096 6 0.121 8 150
18.3
18.554 7
13.918 0
18.275 0
-1.366 1
18.304 9
0.278 7
表3 谐波相位参数的计算结果及其误差对比
Tab.3 Phase contrast of calculation result and errors of harmonic phase parameters
谐波频率/Hz 设定值/（˚）
方法1
方法2
方法3
估计值/（˚） 相对误差（10-3
） 估计值/（˚） 相对误差（10-3
）
估计值/（˚） 相对误差（10-3）
50 30 29.8979 -3.4033 30.0276 0.9200 30.0037 0.1233 100 45 44.3632 -14.1511 45.0483 1.0733 44.9937 -0.1400 150
-30
-28.1975
60.0833
-30.2776
-9.2533
-29.9859
0.4700
从表3、表4可知，方法2在谐波精度上较方法1有较大提高，因为加窗函数能够在一定的程度上抑制间谐波的频谱泄漏。

文中采用指数函数拟合法来求取间谐波泄漏值，从信号叠加产生误差的本质上出发。

算例结果表明，方法3采用指数函数拟合消去法具有比方法1和方法2更高的计算精度。

4.2 间谐波的检测
将表1信号减去拟谐波信号得到拟间谐波信号，如图5所示。

实际包含4个间谐波成分，Matlab 进行仿真只含3个间谐波频谱成份，分别在[20,60]、[60,100]、[120,160]这3个频段，实际给出的间谐波在[60,100]频段有2个间谐波成份，这是由于两间谐波频率相对较近而造成谱峰发生混叠。

频率/Hz
幅值/V
图5 拟间谐波信号的频谱
Fig.5 Spectrum of quasi inter-harmonics 原信号采样点数N 为200，补零点数N 1也取200，可得到补零后的信号频谱如图6所示。

信号在频段[60,100]处含有两个间谐波成分，与实际给出的信号成分相吻合，通过Matlab 可得到波谷处频率为82.5 Hz ，则可将频段[60,100]划分成[60,82.5]和[82.5,100]两部份。

频率/Hz
幅值/V
图6 拟间谐波信号补零后的频谱
Fig.6 After add zero spectrum of quasi inter-harmonics
分别对[20，60]、[60，82.5]、[82.5，120]、[120，160]频段进行最大和次大谱线搜索，采用双谱线加4项3阶Nuttall 窗进行FFT 计算，采样0.2 s 后，得到拟间谐波信号频率、幅值和相位的计算结果分别如表4、表5和表6所示。

可知本文检测的间谐波精度较高。

表4 拟间谐波信号频率加窗插值的结果 Tab.4 Results of inter-harmonic signal frequency
windowed interpolation
计算结果 f 1/Hz f 2错误！未找
到引用源。

/Hz f 3错误！未
找到引用源。

Hz
错误！未找到
引用源。

/Hz
真实值 38.3 79.6 85.4 137.9 计算值 38.300 0
79.600 6
85.669 8
137.900 0
相对误差/(10-3)
0.000 0
0.007 5
-3.159 3
0.000 0
表5 拟间谐波信号幅值加窗插值的结果 Tab.5 Results of inter-harmonic signal amplitude
windowed interpolation
计算结果 A 1错误！未找到引用源。

/V
A 2/V A 3/V A 4/V 真实值 5.9 11.3 6.9 3.5 计算值 5.899 9 11.302 5 6.992 3 3.500 0 相对误差/(10-3)
-0.017 0
0.221 2
13.376 8
0.000 0
表6 拟间谐波信号相位加窗插值的结果
Tab.6 Results of inter-harmonic signal phase windowed
interpolation
计算结果 1ϕ错误！
未找到引用源。

/(˚) 2ϕ错误！未找到引用源。

/(˚) 3ϕ错误！未找到引用源。

/(˚) 4ϕ错误！未找到引用源。

/(˚)
真实值 48 40 75 120 计算值 48.000 0
39.928 9
75.119 6
119.999 9
相对误差/(10-3)
0.000 0
-0.177 8
1.280 0
0.008 3
由表4、表5和表6的检测参数结果可知，本文算法测得间谐波精度较高，主要取决于2方面：一是由于谐波的精确检测，减少谐波对间谐波检测的干扰。

二是本文采用4项3阶Nuttall 窗有较高抑制频谱泄漏能力。

5 结束语
本文从间谐波的频谱泄漏角度出发，提出采用指数拟合的方法来求泄漏的间谐波在对应谐波频点处的泄漏值，推导出了谱线叠加公式的简化公式，通过指数函数式可求得间谐波在谐波处的泄漏值。

为解决间谐波间频率相对较近（5 Hz 左右）而容易造成频谱混叠的问题，采用补零法能够有效改善频谱混叠。

在各频段内采用谱线搜索和4项3阶Nuttall 窗插值法能大大减小谱线搜索和插值的计算量，仿真和实验结果得到的谐波间谐波参数较精确。

补零法能够有效解决间谐波间的频率差在分辨率（5Hz ）附近时易出现的混叠问题，如何提高频率分辨率是下一步研究的重点。

参 考 文 献
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作者简介：
江维（1992—），男，硕士研究生，从事电能质
量分析与控制研究。

Email：1399707946@
肖辉（1975—），女，研究生导师，从事电能质量分析与控制研究，风
力发电。

曾林俊（1994—），男，硕士研究生，从事电力系统低频振荡模态研究。

收稿日期:2016-12-21; 修回日期: 2017-05-18
(王克祥编发)。