MATLAB在机械振动信号中的应用

MATLAB在机械振动信号中的应用

申振

（山东理工大学交通与车辆工程学院）

摘要：综述了现代信号分析处理理论、方法如时域分析（包括时域参数识别、相关分析等）、频域分析（包括傅立叶变换、功率谱分解等），并结合MATLAB中的相关函数来对所拟合的振动信号进行时域分析和频域分析，并对绘出的频谱图进行说明。

关键词：时域分析频域分析 MATLAB

信号是信息的载体，采用合适的信号分析处理方法以获取隐藏于传感观测信号中的重要信息(包括时域与频域信息等)，对于许多工程应用领域均具有重要意义。对获取振动噪声信号的分析处理，是进行状态监测、故障诊断、质量检查、源识别、机器产品的动态性能测试与优化设计等工作的重要环节，它可以预先发现机械部件的磨损和缺陷等故障，从而可以提高产品的质量，降低维护费用。随着测试技术的迅速发展，各种信号分析方法也随之涌现，并广泛应用在各个领域[1]。

时域描述简单直观，只能反映信号的幅值随时间的变化，而不能明确的揭示信号随时间的变化关系。为了研究信号的频率组成和各频率成分的幅值大小、相位关系，应对信号进行频谱分析，即把时域信号通过适当的数学方法处理变成频率f（或角频率 ）为独立变量，相应的幅值或相位为因变量的频域描述。频域分析法将时域分析法中的微分或差分方程转换为代数方程，有利于问题的分析[2]。

MATLAB是MathWorks公司于1982年推出的一种功能强大、效率高、交互性好的数值计算和可视化计算机高级语言，它将数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示有机地融合为一体，形成了一个极其方便、用户界面良好的操作环境。随着其自身版本的不断提高，MATLAB的功能越来越强大，应用范围也越来越广，如广泛应用于信号处理、数字图像处理、仿真、自动化控制、小波分析及神经网络等领域[3]。

本文主要运用了MATLAB R2014a对机械振动信号进行分析。分析过程包括时域分析和频域分析两大部分，时域分析的指标包括随机信号的均值、方差以及均方值。频域分析的性能指标包括对功率谱分析、倒频谱分析。在进行上述分析之前先要对振动

信号进行拟合。机械振动分为确定性振动和随机振动，确定性振动又分为周期振动和非周期振动，周期振动又进一步分为简谐振动和复杂的周期振动。所以可以根据上述的分类来拟合振动信号[2]。在设计信号的处理程序时，运用MATLAB 中的相关函数来对所拟合的振动信号进行时域分析和频域分析，并对绘出的频谱图进行说明。 1 时域分析

1.1 均值 对于一个各态历经随机随机信号()x t ，其均值x μ为

1lim ()T

x T x t dt T μ→∞=⎰ （1）

式中 ()x t ——样本函数； T ——观测时间；

x μ——常值分量。

1.2 方差 2

x σ是描述随机信号的波动分量，定义为

2

20

1lim [()]T

x

x T x t dt T σμ→∞=-⎰

（1）

它表示信号()x t 偏离其均值x μ平方的均值，方差的正平方根x σ称为标准差。

1.3 均方值 2

x ψ是随机信号()x t 平方的平均值，定义为

22

1lim

()T x T x t dt T ψ→∞=⎰ （3）

它描述信号的能量或强度，是()x t 平方的均值。均方值的正平方根值称为均方根值rms x 。参数x μ、2x σ、2x ψ之间的关系为

2

22=-x

x x σψμ （4） 1.4 时域统计分析 概率密度分析是以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的概

率为纵坐标进行统计分析的方法。它反映了信号落在不同幅值强度区域内的概率情况。计算方法如下：

0001/[()]1()lim lim lim ()T T n

x i x x x i T T P x x t x x p x t x x T x →∞→∞

∆→∆→∆→=<≤+∆===∆∆∆∆∑ （5）

概率密度函数()p x 给出了信号取不同幅值大小的概率，是随机信号的主要特征参数

之一。不同的随机信号有不同的概率密度函数图形，可以借此来识别信号的性质，如正弦信号加随机噪声、窄带随机信号及宽带随机信号等。概率分布函数是信号幅值小于或等于某值R 的概率，定义为：

()()F x p x dx ∞

-∞=⎰ （6）

概率分布函数又称为累积概率函数，表示了信号幅值落在某一区间的概率[4]。 2 频域分析

2.1 傅里叶变换

任何周期函数，均可展开成正交函数线性组合的无穷级数，如三角函数集的傅里叶级数。

叶级数的表达形式如下：

001

()sin()2n n n a x t A n t ωϕ∞

==++∑ （7）

00221,2,3,arctan n n n n

n n A a A a b n a b ϕ⎧

⎪=⎪⎪=+=⎨⎪⎪=⎪⎩

（）

（8） 对于非周期信号或瞬变信号，利用如下的傅立叶变换进行频谱分析：

22()()()()j ft j ft

X f x t e dt x t X f e df ππ∞--∞∞

-∞⎧=⎪

⎨⎪=⎩⎰⎰ （9）

2.2 功率谱分析

2.2.1 经典功率谱估计方法

若()x t 为平稳随机信号，当自相关函数为绝对可积时，自相关函数()xx R ω和功率谱密度()x S ω为一个傅里叶变换对，即

()()1()()2j x

xx j xx x S R e d R S e d ωτωτωττ

τωωπ∞--∞∞

--∞⎧=⎪⎨⎪=⎩

⎰⎰ （10） 同理，在频域描述两个随机信号()x t 和()y t 相互关联程度的数字特征，可以定义为互谱功率密度简称互谱密度。而且，互相关函数与互谱密度是一个傅里叶变换对。

()()1()()2j xy

xy j xy xy S R e d R S e d ωτωτωττ

τωωπ∞--∞∞

--∞⎧=⎪⎨⎪=⎩

⎰⎰ （11） 2.2.2 改进的直接估计法

直接法和间接法的方差性能很差，而且当数据长度太大时，谱曲线起伏加剧；若数据长度太小，则谱的分辨率又不好，所以需要改进[3]。

提高的周期图法估计的另一种方式就是采用对采样数据分段使用非矩形窗，即Welch 法。由于非矩形窗在边沿趋近于零，从而减少了分段对重叠的依赖。选择合适的窗函数，采用每段一半的重叠率能大大降低谱估计的方差。这种方法中，记录数据仍分成N

K K

=

段，即 ()()()

01,1i x n x n iM N n M i K =+-≤≤-≤≤ （12）

每段M 个取样。窗函数()w n 在计算周期图之前就与数据段相乘，于是可定义K 个修正周期图

2

1()()

1

()()()1,2,,M i i j n

M

n J x

n w n e

i K MU

ωω--==

=∑ （13）

U 是窗口序列函数的平均能量

12

1()M n U w n M

-==

∑ （14）

则定义谱估计为

()1

1

()()K

w i x

M

i B J

K

ωω==

∑ （15）