精密星历轨道内插方法比较

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三、算例及结果比较
由图4可以看出： a. 插值曲线仍为U型，但是比 拉格朗日插值曲线要平滑。 b. 两端和中间插值的相差大部
分在0.1以内，插值过程那个
不会出现大的震荡和跳跃。 c. 9阶、10阶和11阶的切比雪
夫计算卫星位置不稳定，达到
12阶后，插值点位于节点中央 时，随着阶数增加，切比雪夫 图4. 切比雪夫多项式法内插卫星位置 多项式内插位置比拉格朗日插
其中 t 0 为起始时刻，t 为拟合时间区间的长度。首先将变量 t [t0 , t0 t ]
2 (t t0 ) 1, t [t0 , t0 t ] t
（3）
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二、插值方法
则卫星坐标X、Y、Z的切比雪夫多项式为：
f x (t ) axiTi ( )

(5)
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二、插值方法
1 根据最小二乘原理，求出 M ( BT B) 1 ( BT L)，即可求出在 t [t0 , t0 t ]
的 n 阶切比雪夫多项式系数。然后根据这些系数计算观测时刻卫星的坐标。
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二、插值方法
2.3 Neville插值法
2.2 切比雪夫多项式拟合法
以切比雪夫多项式为基函数拟合构成的卫星位置函数为：
f x (t ) axiTi (t )
i 0
n
f y (t ) a yiTi (t )
i 0
n
f z (t ) aziTi (t )
i 0
n
（2）
假设需要在时间间隔 [t0 , t0 t ] ，计算n阶切比雪夫多项式系数。 变换为 [1,1] ，则
Neville插值是一种线性逐次插值，其基本思想是通过低一次多项式的组合 来获得高一次插值多项式。
已知被插值的卫星坐标函数 f (t ) 的n+1个互异的插值节点 (ti , f (t )i ) 。t i 代表插值节点的时间， f (t )i 代表卫星的坐标值，内维尔(Neville)算法的计
算顺序：
其中，多项式的递推关系为：
Pi (i 1),,(i m )
(t ti m ) Pi (i 1),,(i m 1) (t1 t ) P(i 1),,(i m 1) t1 t1 m
(7)
这样可以逐次生成插值结果,每做一步, 检查一次计算结果的精度，如不
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三、算例及结果比较
表1.卫星位置精度比较

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三、算例及结果比较
表1.卫星位置精度比较（续）
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三、算例及结果比较
3.2 插值点位置的选取分析
由图3可以看出：
a. 插值曲线为U型，即出现了 最小区域。 b. 当插值点位于节点两端时， 插值精度降低。 c. 当插值阶数大于20阶时， 拉格朗日插值就会不稳定， 出现龙格震荡现象。 所以在计算卫星位置时，应 该让插值节点位于节点的中 央，这样计算出来的卫星位 置与真值最接近。 图3. 拉格朗日多项式法内插卫星位置
根据精密星历，设卫星坐标 X k 为观测值，则误差方程为
VX k axiTi ( k ) X k
i 0
n
Vx BM L (6)
Vx1 T0 ( 1 ) T1 ( 1 ) T2 ( 1 ) Vx2 V T0 ( 2 ) T1 ( 2 ) T2 ( 2 ) x3 T0 ( m ) T1 ( m ) T2 ( m ) Vxm
四、总结
1. 拉格朗日插值法、切比雪夫多项式拟合法和Neville法用于内插精密星历， 当阶数在9阶以上且插值点位于节点中央时，精度可以优于8mm。可以 获得与精密星历相当的精度，更高阶插值对精度提高不明显。
2.
拉格朗日插值法模型简单，使用方便。但是高阶时容易产生龙格震荡现
象。
3.
切比雪夫多项式拟合法是GPS轨道标准化中的经典方法，该方法内插的
值对精度提高贡献不大。
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三、算例及结果比较
3.3 内插卫星位置精度比较
从表1中可以看出这三种方法在阶数达到10阶以上时内插的卫星位置与IGS 提供的SP3产品中卫星位置的偏差在毫米级，达到了精密星历的精度要求， 3种方法在内插卫星坐标的精度方面相当，并且高阶插值对提高精度不明
显。
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t0 t1 t2 t3 t4 MK f (t )0 P0 f (t )1 P 1 f (t ) 2 P2 f (t )3 P3 f (t ) 4 P4 K O P01 P02 P03 P04 P012 P013 P014 P0123 P0124 P01234
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二、插值方法
n n
f (t ) 的n+1个节点t0，t1，t2， , tn 及其对应的卫星
f (t ) (
k 0 i 0 i k
t t1 )xk tk ti
(1)
利用式(1)分别对卫星的3个坐标分量X、Y、Z以及卫星钟差进行插值， 得到观测时刻卫星的位置和钟差。
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二、插值方法
精度比较好，且插值过程中不会出现大的震荡，稳定性好。但是模型复
杂。 4. 逐次线性内插的Neville算法的精度与前面两种经典算法的精度一致，数 学模型简单，计算量小。内插区间两端不会出现数据的跳跃和震荡，内 插卫星位置稳定，是一种较实用的方法。
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Thank you！
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粗差剔除与 周跳探测与修复
通过插值得到每个 历元的轨道和钟差值 各种误差改正、解伪距和 相位组合的观测值方程
图1.精密单点定位结算流程图
参数估计和精度分析
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一、GPS定轨
GPS卫星精密轨道获得
目前IGS只提供采 样率为15min的星 历，而GPS精密数 据处理需要采样间 隔为1s的卫星坐标。 因此，要想得到某 一时刻的卫星坐标 和钟差就必需对精 密星历和钟差进行 高精度、快速的内 插。 图2.GPS精密卫星星历和钟差产品质量指标
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一、GPS定轨
目前，精密星历的内插方法主要有Lagrange多项式插值法、Neville逐次 线性内插法和ChebyShev多项式拟合法。
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二、插值方法
2.1 拉格朗日插值法
若已知卫星坐标函数 x 坐标为 x0 , x1 , x2 , xn ，对于插值区间内任意观测时间,则可以用拉格朗日 多项式来计算卫星坐标：
值更加稳定。
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三、算例及结果比较
由图5可以看出： a. 插值曲线仍然为U型，但 是要比切比雪夫插值曲线 更加平滑一些。
b.插值区间内，插值结果精
度差别不大，大部分都在 5cm以内。 c.9阶以后，Neville插值卫 星位置比较稳定，即使达 到29阶，也可以达到精密 图5. Neville插值法内插卫星位置 星历的精度。更高阶的插
满足精度要求,则继续增加节点，直到满足精度要求为止。
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三、算例及结果比较
3.1 算例:
选用2006年3月23日的精密星历数据内插1号卫星在12：45：0坐标作为算例进 行比较。 已知SP3文件上此刻1号卫星坐标 (20641694. 96，16067243.99，4931016.613)， 可以认为该坐标为真值，分别用拉格朗日多项式、切比雪夫多项式、Neville算 法计算卫星位置。给出了这3种方法从9阶到20阶，插值点位于节点中央时的卫 星位置 。
i 0
n
f y (t ) a yiTi ( )
i 0
n
f z (t ) aziTi ( )
i 0
n
（4）
采用递推公式：
T0 ( ) 1 T0 ( ) Tn ( ) 2 Tn 1 ( ) Tn 2 ( )
1
n2
ax0 x1 Tn ( 1 ) ax x Tn ( 2 ) 1 2 a x x 2 3 Tn ( m ) x axn m
GPS精密星历的轨道内插方法比较
关键词：精密星历
轨道内插
拉格朗日插值法
切比雪夫多项式拟合法
内维尔插值法
报告纲要：
一、GPS定轨 二、插值方法 三、算例及结果比较 四、总结
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一、GPS定轨
GPS精密单点定位
1997年，JPL的Zumbeger等人提出“非差精密单点定位方法”。 该方法是先用全球IGS站数据计算卫星轨道参数和钟差，再采用
单点的相位和伪距观测值进行非差定位处理。由于IGS精密星历
精度可以达到几个厘米，卫星钟差改正应达到几个纳秒，经过 15min初始化后，非差相位单历元定位精度可达20cm，增加观测
时间水平精度可望达到3-5mm。
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一、GPS定轨
观测文件和 精密星历及钟差文件
每颗卫星的双频 伪距和相位观测值
每颗卫星的精密星历 及钟差数据