流体力学第七章7--2讲

图7.2 旋转容器中向中心轴移动固体上的泰勒液体
图7.4 进行泰勒柱实验时的装置示意图
以S表示固体柱的侧面积，该园柱体侧面在流体中的延伸柱 面的面积为Se表示。这样，容器底部一小截固体园柱体，以及 上延伸着一个由Se曲面所围的流体柱。并称S+Se曲面之外的流 动为外流，Se之内的流动为内流。当整体的旋转速度增加到使 罗斯贝数变得足够地小，则就满足普鲁德曼-泰勒定理所要求的 条件，于是容器内的流动满足(7-33)式为水平和二维的。由于固 体柱侧面上的流速应满足刚壁条件而等于U，因此按定理结论或 (7-33)式，流体园柱体的Se曲面上的流体也以同样速度U移动。 而且流体园柱体外也出现跟底部固体园柱体完全相同的绕园柱 运动。
z
(Ro1)
因此，(7-24)式是流体力学和大气动力学作尺度分析时的一个
极其重要的基础公式。
第7-3 普鲁德曼-泰勒定理 前面已指出，导致旋转流体与一般流体运动动力学的本质
差别，是偏向力的作用。为突出这种本质差别，在这里着重讨
论偏向力项的量值远较相对运动的惯性力项和粘性力项为大，
或者在(7-16)式中有下列关系式，即
3. 旋转流体弗劳德数
Fr
2
L
/
g
L2
g
L
～(旋转惯性力尺度/重力)
(7-20)
它与(3-35)式所示的一般流体的弗劳德数，即 Fr (U 2 / L) / g ，相比较可知，旋转流体弗劳德数反映了旋转作用和重力作用 的重要性。
4. 旋转流体的特征压力 对于流体压力差，可取两种不同的参考尺度，即 U 2 或 2L2 。由于流体运动的一般特征是流动和压力分布是互为因果相互制 约的。 对于非旋转流体，无量纲特征数为欧拉数，即
(k )V 0
或
V 0 z
显然，对于z分量也有 w 0 z
(7-31)
对于在平坦底边界上，有边界条件:
z 0 处， w 0
因此，由上述两式可知，在任何高度上恒有 w 0
(7-32)
于是式(7-31)可改写为：
u
z
v z
0
(7-33)
w 0
这表明在满足前述条件下，流动是水平和二维的。这个结论首先
2 Fr
(7-28)
式中P * x, y, z,t 为某一无量纲标量函数。于是，式(7-27)可化为:
2k V P* 0
(7-29)
对上式取旋度，即有:
(2k V ) 0
(7-30)
根据矢量计算可知：
ab
b
a
a
b
a
b
b
a
,并考虑到连续性方程，则(7-30)式可改写成为：
Eu
P / L
U2/L
1
则P为特征压力差，由此得： P ~ U 2 若流体静止，则有静力学方程可得特征压力差:
P ~ gH
(7-21) (7-22)
对于旋转流体，其特征压差值视转动情况而定。如Ro<<1时， 旋转效应较强，特征压差值为 :
P ~ 2L2
(7-23)
将此式与(7-21)式比较，L相当于U。这意味着，流体特征压差
Ro 0
RoL UT
0
Ek
Ro Re
0
(7-26)
其中还包含着流动是准定常的 T 1 0 。于是，(7-16)式可改写为:
2k
V
Ro1
p
1 2
r2
1 Fr
z
(7-27)
由于物理方程不但量纲一致，而且其最高量级的项至少有两项以
上。因此，欲使式(7-27)有意义，必须使
p 1 r2 1 z RoP * x, y, z,t
Ro
U
/
L
U2 /L U
～(特征惯性力/特征偏向力)
(7-17)
它代表了流体运动的加速度尺度跟偏向力尺度之比，是反映或
衡量旋转效应重要性的一个量。当Ro1时，即流动中惯性力
项比偏向力项小得多，旋转作用对流体运动影响甚大。反之，
当Ro1时，则旋转效应不明显，可忽略不计，跟一般流动情
况相近。一般情况下，在自然界和工程技术中的流体运动，以
流体力学教案
(第七章旋转流体动力学 )
第7-2旋转流体的无量纲方程和罗斯贝数 仿照第三章的处理方法，引入特征量或特征尺度把式(7-15)
改写成无量源自文库形式的方程，并对无量纲方程中所出现的与旋转有 关的特征无量纲数进行分析讨论。
以L和U分别为流体运动在旋转参考系中所代表的长度和速度
尺度，其参考系旋转的等角速度，取其自身值为特征值。密度
及在实验室中的流动，均不计地球旋转效应的影响,仅在大尺度
缓慢运动的运动的大气科学中考虑地球旋转效应的影响。
2. 埃克曼数
Ek / L2 U /～L (特征粘性力/特征偏向力)
U
并且， Ek Ro
Re
(7-18) (7-19)
它代表了流体运动的特征粘性力和特征偏向力之比，是反映或衡 量旋转流体中粘性的相对重要性。另外，在大气动力学中，(7-19) 式所示的埃克曼数可化为埃克曼层的厚度和大气厚度之比，因而 大气埃克曼数的大小，可反映出需要考虑粘性作用的粘性层范围 的厚薄。
RoULT
V t
V
V
R
o1
p
1 2
r2
1 Fr
z
2k
V
Ek2V
(7-16)
式中T为时间尺度，一般取T=L/U；Ro=U/L称作罗斯贝数；
Ek / L2 为埃克曼数；
Fr 2L / g 为旋转流体弗劳德数；
r 为空间距离的无量纲量。
以下分析讨论上述出现过的特征数。
1. 罗斯贝数
也取自身值为特征值。对于流体压力差，可取两种不同的参考尺
度，即 U 2 或 2L2 ，考虑到讨论U/L1的极限情况，定 2 L2 为压力差的尺度，即以最大有效尺度来度量流体压力差。
这样对式(7-15)进行无量纲化，再考虑到式(7-11)和(7-4)关系，并
以特征偏向力U作为每项的测量单位，以U除以各项，将得:
由普鲁德曼(1916)和泰勒(1917)所证明。 普鲁德曼-泰勒定理：不可压缩或正压流体，在有势力作
用下的准定常缓慢运动，由于强旋转效应，其速度将与垂直
坐标无关，即流体趋于二维化。
该定理还可以从涡度方程证得，此处省略。
第7-4 泰勒流体柱
为了了解什么是泰勒流体柱,应用一个实验来说明，实验条件 是：有一容器其底为平面并与转动轴z相垂直，整个容器内盛满流 体均绕z轴以角速度旋转。在容器平底上有一小截或一小直径为 L的固体柱，它在旋转流体中以固定相对速度U朝着转轴横向移动。 具有如图7.2所示。
不但与流速有关，且旋转强烈时，它跟旋转所引起的特征线速度
L有关。若将式(7-21)，当作Ro>>1时的特征压差值表达式，则
P
~
U 2 , Ro1 2 L2 , Ro1
(7-24)
与此相应的，(7-16)式的压力梯度项为:
Ro
p
Ro1
1 2
r2
1 Fr
z
(Ro1)
(7-25)
Ro1
p
1 2
r2
1 Fr