工程电磁场ppt

ε1 E1 = ε 2 E2
E1d1 + E2d2 = U0
ε 2U0 E1 = ε1d2 + ε 2d1
σ 1S1 + σ 2 S 2 = q 0
σ1 σ2 = ε1 ε2
平行板电容器
图(b)
ε1U0 E2 = ε1d2 + ε2d1
σ1 E1 = E2 = ε1
q0 = ε 1S1 + ε 2 S 2
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第 二 章
恒定电场
⑤ 电介质中的高斯定律
ρ ρf＋ρp ρf − ∇⋅ P ∇⋅ E = = = →∇⋅ (ε0E + P) = ρf ε0 ε0 ε0
定义 D = ε 0 E + P —电位移矢量 （displacement vector）
∇⋅D = ρ
高斯定理的微分形式 取体积分
电介质均匀极化时，极化电荷体密度
ρp = 0。
比较导体和介质的性质可以得出：
电场对导体的影响是引起静电场感应产生感应电荷；电 场对介质的影响是引起介质极化，产生极化电荷； 感应电荷在导体内产生的电场抵消外电场，使导体内电场 为零；极化电荷在介质内产生的电场只是削弱外电场； 导体是等位体；介质中各点电位不同； 介质所能经受的电场强度有一定的限度，这个电场强度 的极限称为电介质强度；
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恒定电场
4. 静电场中的导体和电介质
根据物质在静电场中的表现可以把它们分成导体和 电介质两大类，导体和电介质的存在将影响电场的分 布，因此有必要讨论它们在电场中的性质。
① 静电场中导体的性质
导体 导体内含有大量的自由电子，如果对它们施 加电场将引起其中自由电荷的运动。
导体性质： 导体内电场强度 E 为零，静电平衡； 导体内无电荷ρ =0，带电导体的电荷一定分布在导 体表面形成面电荷σ； 导体是等位体，导体表面为等位面；
D2 n − D1n = σ ，E1t = E2t
∂ϕ1 ∂ϕ 2 ϕ1＝ϕ 2 ，ε 1 − ε2 =σ ∂n ∂n
导体与电介质分界面
分解面介质侧
导体中 E1＝0 ，D1=0 σ D2 n = σ → E 2 n = ， E2 t = 0 ε
∂ϕ − ε0 =σ ∂n
表明
ϕ 2 = ϕ1 = C ,
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恒定电场
1.4 静电场边值问题 ·唯一性定理
Boundary Value Problem and Uniqueness Theorem
静电场的求解可分为两类： 第一类问题：场源问题 直接求积分方程 已知空间电荷分布，求电场分布 ρ ρ er ϕ = ∫ dV V E = ∫ d 4 πεr 4 πεr 2 第二类问题：边值问题 直接求微分方程 已知空间介质分布，电极形状、位置和电位， 场域边界上的电位或场强，这类问题归结为求解给 定边界条件的电位微分方程的解。
电偶极矩 体密度
P = lim
ΔV → 0
∑ p = NP
ΔV
av
C/m
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2
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恒定电场
实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中
P = χ eε 0 E
均匀媒质
χ e —电介质的极化率,无量纲量。
源自文库
关于媒质的术语： 媒质特性不随空间坐标而变化； 媒质特性不随电场方向而改变； 媒质参数不随电场的值而变化；
当ρ =0时
ρ ∇ ϕ = − ε
泊松方程
∇ 2ϕ = 0
拉普拉斯方程
∇⋅∇ = ∇
2
拉普拉斯算子
∂ ∂ ∂ ∇ = 2+ 2+ 2 ∂z ∂x ∂y
2 2 2 2
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恒定电场
注意
泊松方程和拉普拉斯方程结合了静电场基本方程； 泊松方程和拉普拉斯方程只适用于均匀、线性 和各向同性的媒质； ϕ 2 ϕ1 2 ϕ1 ∇ ϕ1 = 0 ε ε ε2 ε1 ϕ2 ρ ρ=0 ∇ 2ϕ 2 = 0 ε 3 ϕ3 2
）
任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不 变的。 （ ）
电位与参考点的选取有关
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恒定电场
② 静电场中的电介质
电介质 电介质内的电子被原子或分子内在力，或分 子间的力束缚而不能自由运动，如果对它们 施加电场将引电介质的极化。
E
无极性分子
电介质的极化
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∇⋅D= ρ
分析静电场 D = εE 的依据 静电场是有源无旋场，电荷是静电场的源。
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恒定电场
2.泊松方程与拉普拉斯方程
(Poisson’s Equation and Laplace’s Equation)
∇×E = 0
∇⋅D= ρ
2
E = −∇ ϕ
∇ ⋅ εE = ε∇ ⋅ E + E ⋅ ∇ε = −ε∇ ⋅ ∇ϕ = ρ
ε1E1 cosα1 =ε2E2 cosα2
E1 sinα1 = E2 sinα2
折射定律
介质分界面
E1t = E2t
tan α1 ε 1 = tan α 2 ε 2
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恒定电场
④ ϕ 的衔接条件 设 P1 与 P2 位于分界面两侧，d → 0
ϕ 1 − ϕ 2 = lim E ⋅ d l = 0 ∫ d →0 p
E 2 t = E1 t
E 的切向分量连续。
电位连续
ϕ 的衔接条件
ϕ1 = ϕ 2
∂ϕ1 ∂ϕ 2 ε1 − ε2 =σ ∂n ∂n
电位的法向导数不连续 折射定律
tan α1 ε 1 = tan α 2 ε 2
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恒定电场
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恒定电场
例
试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。 解 分界面衔接条件
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恒定电场
电场强度垂直于导体表面； 导体引入电场将发生静电感应现象。
外电场E
+
感应电荷产生的电场
导体球在均匀电场中
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恒定电场
静电屏蔽
q在金属球壳内
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恒定电场
思考 接地导体都不带电。（ ）
一导体的电位为零，则该导体不带电。 （
1
P2
因此 ϕ 1 = ϕ 2 电位连续 若
电位的衔接条件
ϕ1 ≠ ϕ 2
E → ∞
则
E = −∇ ϕ
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恒定电场
a1 b1 b2
ε1
a2
ε2
⎧ϕ a = ϕ a ⎨ϕ = ϕ b ⎩ b E 1t Δ l = U 1 E 2tΔ l = U 2
1 2 1 2
U1 = U 2 E 1t = E 2t
ϕ1 = ϕ 2
等价
E 1t = E 2t
∂ϕ 2 D2 n = ε 2 E 2 n = −ε 2 ∂n
由 D2 n − D1n = σ ，其中
∂ ϕ1 D1n = ε 1 E1n = −ε 1 ∂n
得
,
∂ϕ 2 ∂ϕ1 ε1 − ε2 =σ ∂n ∂n
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恒定电场
结论
D 的衔接条件 D2 n − D1n = σ D 的法向分量不连续 E 的衔接条件
有极性分子
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恒定电场
电介质性质： 电介质在外电场作用下发生极化，形成有向排列； 电介质内部和表面产生极化电荷 (polarized charge)； 极化电荷与自由电荷一样是产生电场的源，从而引起原 电场的变化。
③ 极化强度P ( polarization intensity )
表示电介质极化程度的量，定义：
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恒定电场
1. 静电场的边值问题（Boundary Problem)
① E 的衔接条件 围绕点 P 作一矩形回路 根据
E 1 t Δ l1 − E 2 t Δ l1 +
∫l E ⋅ d l
= 0
Δl2
∫ E ⋅ dl
=0
介质分界面
E 2t = E1t
ΔL2 → 0
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恒定电场
② D的衔接条件 包围点 P 作高斯面
根据
∫
S
D ⋅ dS = q
介质分界面
① 导体表面是等位面，E 线与导体表面垂直； ② 导体表面上任一点的 D 等于该点的 σ。
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恒定电场
电力电容
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恒定电场
测量局部放电
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恒定电场
放电铜球
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恒定电场
例 解 图(a)
试求两个平板电容器的电场强度。 忽略边缘效应
体积 V 内电偶极矩产生的电位
eR
1 ∴ ϕ = P (r ' ) ⋅ ∇ ' dV ' ∫ 4πε 0 V ' R
1
矢量恒等式： ∇ ⋅ (u F ) = u ∇ ⋅ F + F ⋅ ∇ u
∇ '⋅ P ( r ' ) P (r ' ) 1 dV '+ ∇ '⋅ dV ' ϕ= ∫ ∫ 4πε 0 V ' R 4πε 0 V ' R
大电偶极子 ΔS +ΔQ
根据电荷守恒原理，极化电荷的总和为零 均匀极化
− Q = − ∫ P ⋅ dS = − ∫ ∇ ⋅ PdV = ∫ ρ p dV
ΔV ΔV
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恒定电场
极化强度 P 是电偶极矩体密度，单个电偶极子 产生的电位
ϕ=
qd cos θ 4πε 0 R 2
=
1
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1.3 基本方程·分界面上的衔接条件
Basic Equation and Boundary Condition 1. 静电场基本方程 ( Basic Equation ) 积分形式 微分形式 构成方程
∫E
l
⋅ dl = 0
∫D
S
⋅ dS = q
∇× E = 0
其中ε r
在各向同性介质中
= 1 + χ e —相对介电常数，无量纲量。
—介电常数 F/m
ε = ε 0ε r
构成方程
D = εE
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恒定电场
D、E 与 P 三者之间的关系
E线
D线 D、E 与 P 三者之间的关系
P线
E 线由正电荷发出，终止于负电荷； D 线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷； P 线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。
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−1
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恒定电场
−1 ϕ = 4πε 0
1 ∇'⋅ P (r ' ) ∫V ' R dV '+ 4πε 0
P (r ' ) ∫V ' ∇'⋅ R dV '
−1 = 4πε0
1 ∇'⋅P (r ' ) ∫V ' R dV '+ 4πε0
P ( r ' ) ⋅ en ∫S ' R dS '
∫
D ⋅ d S = q S
普遍形式的 高斯定律
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高斯定理的积分形式
∫V ∇ ⋅ DdV = ∫ ρdV
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恒定电场
注意
穿出任意闭合面的电位移矢量的通量等于闭合 面内自由电荷的代数和，而与闭合面的形状、 大小、电荷的分布及介质的分布无关；
D = ε 0 E + P = ε 0 E + χ e ε 0 E = ε r ε 0 E = εE
∇ ϕ3 = 0
同一媒质中的有源区和无源区要分别列出泊松 方程和拉普拉斯方程； ρ 2 2 ∇ ϕ2 = − ∇ ϕ1 = 0
ε
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恒定电场
3. 分界面上的衔接条件（Boundary Condition)
当电场中存在不同媒质时，在不同媒质分界面处，场量 的大小和方向会发生变化，有必要了解分界面上场量所应满 足的条件，这些条件称为不同媒质分界面上的衔接条件。
4πε 0 R 2
p ⋅ eR
体积 V 内电偶极子产生的电位
P(r ) ⋅ (r − r ' ) dV ' ϕ= ∫ 4πε0 V ' r − r ' 3 1
电偶极子产生的电位
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恒定电场
ϕ =
1 4 πε 0
∫V '
P (r ') ⋅ e R R2
dV '
1 1 Q = ∇ ' = −∇ R R R2
− D1 n Δ S + D2 n Δ S +
侧面
∫ D ⋅ dS = σ Δ S
ΔL → 0
D2 n − D1n = σ
当
σ =0
D1n = D2 n
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恒定电场
③ 静电场的折射定理 在不同媒质分界面处，场 量的方向会发生变化。 当交界面上 σ = 0 时，
D = D2n 1n
各向同性媒质 线性媒质
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恒定电场
④ 极化强度与极化电荷的关系
P = lim
∑
ΔV → 0
p aΔQ dQ = lim = ΔV → 0 Δ S ⋅ a ΔV dS
dQ = P ⋅ dS → Q = ∫ P ⋅ dS
σ p = P ⋅ en
ρ p = −∇ ⋅ P
-ΔQ ΔV a
令
ρ p = −∇ ⋅ P
极化电荷体密度 极化电荷面密度
σ
p = P ⋅ en
ϕ (r ) =
1 4πε 0
∫
ρ p (r ' )
R
V'
d V '+
1 4πε 0
∫
σ p (r ' )
R
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S'
dS '
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恒定电场
根据电荷守恒原理，极化电荷的总和为零
注意
V'
∫
− ∇ ⋅ P d V '+ ∫S ' P ⋅ e n d S ' ≡ 0