2008年高中数学新教材变式题12：《计数原理》(命题人：广州市第三中学 刘窗洲)

十二、《计数原理》变式题（命题人：广州市第三中学刘窗洲）

审校人张志红

1．（人教A版选修2-3第22页例4）

用0 到9 这10 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

变式1：由1，4，5，x可组成没有重复数字的四位数，若所有这些四位数的各位数字之和为288，则x＝．

【解析】：（1+4+5+x）4

4

A=288，解得10+x=12．

【答案】：x=2．

变式2：在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（）

（A）56个（B）57个（C）58个（D）60个

【解答】解法一：（直接法）

当首位排2，次位排3时，有A3

3-1种；次位排4、5时有2 A3

3

种，共计17种；

当首位排3，A4

4

种，共计24种；

当首位排4，次位排3时，有A3

3-1种；次位排1、2时有2 A3

3

种，共计17种；

以上总计17+24+17=58种。

解法二：（间接法）

不作限定时有5

5

A=120种；

当首位排1或5时，各有A4

4

种，共计48种不满足要求；

当首位排2，次位排1时，有A3

3

种；而次位排3时有1种，共计7种不满足要求；

当首位排4，次位排5时，有A3

3

种；而次位排3时有1种，共计7种不满足要求；因此共有120-48-7-7=58种排法，即58个数．

变式3：给定数字0、1、2、3、5、9每个数字最多用一次

（1）可能组成多少个四位数？

（2）可能组成多少个四位奇数？

（3）可能组成多少个四位偶数？

（4）可能组成多少个自然数？

【分析】：注意0不能放在首位，还要注意个位数字，方法多种多样，利用特殊优先法，即特殊的元素，特殊的位置优先考虑．

【解答】（1）解法一：从“位置”考虑，由于0不能放在首位，因此首位数字只能有15A 种取法，其余3个数位可以从余下的5个数字（包括0）中任取3个排列，所以可以组成3003515=A A 个四

位数；

解法二：从“元素”考虑，组成的四位数可以按有无数字0分成两类，有数字0的有3513A A 个，无数字0的有45A 个，所以共组成3513A A +45A =300个四位数；

解法三：“排除法”从6个元素中取4个元素的所有排列中，减去0在首位上的排列数即为所求，

所以共有300351146=-A A A 个四位数；

（2）从“位置”考虑，个位数字必须是奇数有14A 种排法，由于0不能放在首位，因此首位数字只能有14A 种取法，其余两个数位的排法有24A ，所以共有192241414=A A A 个四位奇数；

（3）解法一：由（1）（2）知共有300-192=108个四位偶数；

解法二：从“位置”考虑，按个位数字是否为0分成两种情况，0在个位时，有3511A A 个四位偶数；2在个位时，有2

41

41

1A A A 个四位偶数，所以共有3511A A +2

41

41

1A A A =108个四位偶数； （4）一位数：有16A =6个； 两位数：有1515A A =25个； 三位数：有2515A A =100个； 四位数：有3515A A =300个； 五位数：有4515A A =600个； 六位数：有5515A A =600个；

所以共有6+25+100+300+600+600=1631个自然数．

【点评】解有条件限制的排列问题思路：①正确选择原理；②处理好特殊元素和特殊位置，先让特殊元素占位，或特殊位置选元素；③再考虑其余元素或其余位置；④数字的排列问题，0不能排在首位．

2．（人教A 版选修2-3第29页例4）

在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品，从这 100 件产品中任意抽出 3 件。 （1）有多少种不同的抽法 ？

（2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种 ？ （3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种 ？

变式1：某人手中有５张扑克牌，其中２张为不同花色的２，３张为不同花色的Ａ，有５次出牌

机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？

【分析】：分类讨论，由于情况太多，要做到不重不漏． 【解答】出牌的方法可分为以下几类：

（1）5张牌全部分开出，有5

5A 种方法；

（2）2张2一起出，3张A 一起出，有25A 种方法； （3）2张2一起出，3张A 分开出，有45A 种方法； （4）2张2一起出，3张A 分两次出，有3523A C 种方法； （5）2张2分开出，3张A 一起出，有35A 种方法； （6）2张2分开出，3张A 分两次出，有4523A C 种方法；

因此，共有不同的出牌方法8604

523353523452555=+++++A C A A C A A A 种．

【点评】分类讨论一直是高中的难点，但更是高考的热点内容之一，所以同学们不能回避，应加强训练．

变式2：将7个小球任意放入四个不同的盒子中，每个盒子都不空， （1）若7个小球相同，共有多少种不同的放法？ （2）若7个小球互不相同，共有多少种不同的放法？ 【解析】：（1）解法1：∵7=1+1+1+4=1+1+2+3=1+2+2+2， ∴分三类，共有分法

解法2（隔板法）：将7个小球排成一排，插入3块隔板，

故共有分法 ).

(201

42414种=++C A C ).

(203

6种=C