2008年高中数学新教材变式题12:《计数原理》(命题人:广州市第三中学 刘窗洲)
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十二、《计数原理》变式题(命题人:广州市第三中学刘窗洲)
审校人张志红
1.(人教A版选修2-3第22页例4)
用0 到9 这10 个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数?
变式1:由1,4,5,x可组成没有重复数字的四位数,若所有这些四位数的各位数字之和为288,则x=.
【解析】:(1+4+5+x)4
4
A=288,解得10+x=12.
【答案】:x=2.
变式2:在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中,大于23145且小于43521的数共有()
(A)56个(B)57个(C)58个(D)60个
【解答】解法一:(直接法)
当首位排2,次位排3时,有A3
3-1种;次位排4、5时有2 A3
3
种,共计17种;
当首位排3,A4
4
种,共计24种;
当首位排4,次位排3时,有A3
3-1种;次位排1、2时有2 A3
3
种,共计17种;
以上总计17+24+17=58种。
解法二:(间接法)
不作限定时有5
5
A=120种;
当首位排1或5时,各有A4
4
种,共计48种不满足要求;
当首位排2,次位排1时,有A3
3
种;而次位排3时有1种,共计7种不满足要求;
当首位排4,次位排5时,有A3
3
种;而次位排3时有1种,共计7种不满足要求;因此共有120-48-7-7=58种排法,即58个数.
变式3:给定数字0、1、2、3、5、9每个数字最多用一次
(1)可能组成多少个四位数?
(2)可能组成多少个四位奇数?
(3)可能组成多少个四位偶数?
(4)可能组成多少个自然数?
【分析】:注意0不能放在首位,还要注意个位数字,方法多种多样,利用特殊优先法,即特殊的元素,特殊的位置优先考虑.
【解答】(1)解法一:从“位置”考虑,由于0不能放在首位,因此首位数字只能有15A 种取法,其余3个数位可以从余下的5个数字(包括0)中任取3个排列,所以可以组成3003515=A A 个四
位数;
解法二:从“元素”考虑,组成的四位数可以按有无数字0分成两类,有数字0的有3513A A 个,无数字0的有45A 个,所以共组成3513A A +45A =300个四位数;
解法三:“排除法”从6个元素中取4个元素的所有排列中,减去0在首位上的排列数即为所求,
所以共有300351146=-A A A 个四位数;
(2)从“位置”考虑,个位数字必须是奇数有14A 种排法,由于0不能放在首位,因此首位数字只能有14A 种取法,其余两个数位的排法有24A ,所以共有192241414=A A A 个四位奇数;
(3)解法一:由(1)(2)知共有300-192=108个四位偶数;
解法二:从“位置”考虑,按个位数字是否为0分成两种情况,0在个位时,有3511A A 个四位偶数;2在个位时,有2
41
41
1A A A 个四位偶数,所以共有3511A A +2
41
41
1A A A =108个四位偶数; (4)一位数:有16A =6个; 两位数:有1515A A =25个; 三位数:有2515A A =100个; 四位数:有3515A A =300个; 五位数:有4515A A =600个; 六位数:有5515A A =600个;
所以共有6+25+100+300+600+600=1631个自然数.
【点评】解有条件限制的排列问题思路:①正确选择原理;②处理好特殊元素和特殊位置,先让特殊元素占位,或特殊位置选元素;③再考虑其余元素或其余位置;④数字的排列问题,0不能排在首位.
2.(人教A 版选修2-3第29页例4)
在 100 件产品中,有 98 件合格品,2 件次品,从这 100 件产品中任意抽出 3 件。 (1)有多少种不同的抽法 ?
(2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种 ? (3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种 ?
变式1:某人手中有5张扑克牌,其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A,有5次出牌
机会,每次只能出一种点数的牌但张数不限,此人有多少种不同的出牌方法?
【分析】:分类讨论,由于情况太多,要做到不重不漏. 【解答】出牌的方法可分为以下几类:
(1)5张牌全部分开出,有5
5A 种方法;
(2)2张2一起出,3张A 一起出,有25A 种方法; (3)2张2一起出,3张A 分开出,有45A 种方法; (4)2张2一起出,3张A 分两次出,有3523A C 种方法; (5)2张2分开出,3张A 一起出,有35A 种方法; (6)2张2分开出,3张A 分两次出,有4523A C 种方法;
因此,共有不同的出牌方法8604
523353523452555=+++++A C A A C A A A 种.
【点评】分类讨论一直是高中的难点,但更是高考的热点内容之一,所以同学们不能回避,应加强训练.
变式2:将7个小球任意放入四个不同的盒子中,每个盒子都不空, (1)若7个小球相同,共有多少种不同的放法? (2)若7个小球互不相同,共有多少种不同的放法? 【解析】:(1)解法1:∵7=1+1+1+4=1+1+2+3=1+2+2+2, ∴分三类,共有分法
解法2(隔板法):将7个小球排成一排,插入3块隔板,
故共有分法 ).
(201
42414种=++C A C ).
(203
6种=C