限积分的被积函数在无穷远处的极限

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第 1 期( ( ( ( ( ( (
( 戴培良： 无穷限积分的被积函数在无穷远处的极限
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收敛时， （ # $）在无穷远处的极限并不一定为零。 下面就是对该结论的仔细论证。
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若干无穷远处极限不为零的函数的反例
反例：
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!""# B "? B "D < 收稿日期： ! 作者简介： 戴培良 （ $C#= —） ， 男， 江苏常熟人， 常熟理工学院数学系副教授， 主要从事计算数学有限元方法的研究工作。
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定积分 （ # $） %$ 的积分区间是有界区间 ［ "， !］ ， 但是许多实际问题和理论问题涉及到无限积分区间， 因
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此， 对无穷限反常积分的研究是具有实际意义的。 在无穷限反常积分中， 我们主要研究其敛散性的判别以及 在收敛时所具 有 的 性 质。 对 于 收 敛 时， 其 被 积 函 数 在 无 穷 远 处 的 极 限 是 我 们 主 要 讨 论 的 问 题。 即讨论
得出的几个结论， 而这些结论就是对引言中第二个问题的回答。 定理 " , * 定理 & , * 定理 + , * 定理 , , *
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零时， 图形的面积才可以计算呢？ 如果回答否定， 那么在哪些情况下， 被积函数在无穷远处的极限才等于零 呢？ 经过对若干例子的研究， 我们得出结论： 上述第一个问题的回答是否定的， 并且有这样的事实： （ # $） %$
$（ % !! ）& （ % !" ）$ ’ $ %( （ !）$ $ !! & !" $ ) ) $ !! & !" $ + !。 故（ % !）在 ［ "，# # ）上一致连续。 以下的证明同结论 % ， 这里从略。 参考文献：
［!］ & 华东师范大学数学系’ 数学分析 ［ (］ ) 北京： 高等教育出版社， "$$!’ ［"］ & 王俊青’ 数学分析中的反例 ［ (］ ’ 成都： 电子科技大学出版社， !**+’ ［%］ & 裴礼文’ 数学分析中的典型问题与方法 ［ (］ ’ 北京： 高等教育出版社， !**%’ ［,］ & 欧阳光中，姚允龙，周渊’ 数学分析 ［ (］ ’ 上海： 复旦大学出版社， "$$"’ ［-］ & 格’ 马菲赫金哥茨’ 数学分析原理 ［ (］ ’ 北京： 人民教育出版社， !*+"’ ［+］ & 吉米多维奇’ 数学分析习题集题解 ［ (］ ’ 山东： 山东科学技术出版社， "$$!’ ［.］ & 孙涛’ 数学分析经典习题集 ［ (］ ’ 北京： 高等教育出版社， "$$,’ ［/］ & 李承家，胡晓敏’ 数学分析导教’ 导学’ 导考 ［ (］ ’ 陕西： 西北工业大学出版社， "$$%’
函数 （ % &）限制条件加强， 使得 （ % &）$ ) 且连续， （ % &）在无穷远处的极限也不一定为零， 反例： "* * * * )* * * （ % &） ’ 直线段 * * )* * *
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当&% ［( * 其余
这个函数可以简单表示成： （ % &） ’ 其图象如图所示：
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（ # $） %$ 的收敛性与被积函数 （ # $）在无穷远处极限的关系。 我们知道， 无穷限反常积分和数项级数两者之间有很多结论是相似的。 在数项级数里面， 当数项级数收
敛时， 其通项是收敛于零的。 那么在无穷限反常积分里是不是也有相似的结论呢？ 首先我们看看无穷限反常积分在收敛时的几何意义： # $） %$ 是介于曲线 ’ ( "（ （ # $） ， 直线 $ ( " 以及 $ 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域的面积 )。 从而可知： # $） %$ 实际上是表示 " （ 曲线 ’ ( （ # $） 与坐标轴所围成的面积的代数和。 而当" （ # $） %$ 收敛时， 是否（ # $） 在无穷远处的极限一定为
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定理 ’ 的证明： 不妨设 （ # !）在 ［ (，" % ）上单调递减， 单调递增的情况类似可证。 首先， 我们有 （ # !） 事实上， 若存在 !& % ［ (， " %） 使得（ # ! & ）* & ， 则对 (! % ［ (， " %） 有（ # !） # !& ） $ &。 )（ * &， 则 于是 而 由于 +（ # !）$ + （ # !& ） & &
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穷远处的极限显然不为零。 这就进一步说明了这样的事实： （ % &） #& 收敛时， 并不一定有 （ % &）在无穷远处
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的极限为零的结果。
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被积函数在无穷远处极限为零的充分条件
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（ % &） #& 收敛时， 在什么情况下 （ % &）在无穷远处的极限为零。 以下就是经过对 （ % &）作某些限制而
对上述不等式两边关于 , 在 ［ !， !，" "］上积分有
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无穷限积分的被积函数在无穷远处的极限
戴培良
（ 常熟理工学院 数学系， 江苏 常熟< !$=="" ）
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摘< 要：无穷限反常积分收敛时， 其被积函数在无穷远处的极限不一定为零。当对被积函数作某 些限制时， 其在无穷远处的极限可以为零。 关键词：收敛性； 极限； 无穷限； 反常积分 中图分类号：>$?$< < < 文献标识码：@< < < 文章编号：$""A B !?CD （ !""# ） "# B """$ B "D
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