鲁棒控制器设计1讲解
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F1(s) 2 3s 5s2 3s3 s4 F2 (s) 2 3s 6s2 3s3 s4 F3(s) 2 2s 5s2 4s3 s4 F4 (s) 2 2s 6s2 4s3 s4
鲁棒控制系统
鲁棒控制系统设计
希望
T (s) Y (s) 1 R(s)
系统的伯德图平整，具有无限带宽的0db增益并且相角始终为零
r1
4，5, r2
[3,4], r3
[2,3]
取k＝1，此时闭环传递函数的分母为
其中
s4 r3s3 r2s2 r1s 1 s3 2s2 2s 1 s4 p3s3 p2s2 p1s 2 p1 [2,3], p2 [5,6], p3 [3,4]
此时上面的闭环系统稳定当且仅当下面的四个多项式稳定
T (s) Y (s) Gc (s)G1(s)G2 (s) R(s) 1 Gc (s)G1(s)G2 (s)
Y(s)
G2 (s)
D(s) 1 Gc (s)G1(s)G2 (s)
鲁棒控制系统
T (s) 对D(s) 的灵敏度
SGT
1
1 Gc (s)G1(s)G2 (s)
要想降低系统的灵敏度S，就应该提高环路开环增益L(jw)
鲁棒控制系统
常用乘性摄动来描述受控对象的不确定性 乘性摄动更符合直觉 在低频段对象模型精确，乘性摄动较小 在高频段对象模型不够精确，乘性摄动较大
鲁棒控制系统
具有不确定参数的系统
假设系统的特征多项式为
其系数满足
f (s) ansn an1sn1 a1s a0
ai ai ai , i 0,1,, n,0 [ai , ai ]
鲁棒控制系统
鲁棒控制系统
鲁棒控制系统
鲁棒性分析
鲁棒控制系统
系统设计目标是输入的跟踪误差 e(t) 保持在很小的范 围内，同时将干扰 d(t) 引起的输出维持在较低水平 上。
鲁棒控制系统
系统对受控对象的灵敏度为
S (s) [1 Gc (s)G(s)]1
当 Gp (s) 1 时，闭环系统的传递函数为
鲁棒控制系统
鲁棒控制系统
• 参数变化； • 未建模动态特性； • 平衡点的变化； • 传感器噪声； • 不可预测的干扰输入；
鲁棒控制系统
鲁棒控制系统
鲁棒控制系统
鲁棒控制系统的特点 灵敏度低 在参数的允许变动范围内能保持稳定 当参数发生较剧烈变化时，能够恢复和保持预期性能
鲁棒控制系统
鲁棒控制系统
鲁棒控制系统
H控制理论提出的背景
现代控制理论的许多成果在理论上很漂亮，但实际应用 并不成功。主要原因是忽略了对象的不确定性，并对系统所 存在的干扰信号作了苛刻的要求。
加拿大学者Zames在1981年提出了著名的H控制思想，
考虑如下一个单输入单输出系统的设计问题：对于属于一个 有限能量的干扰信号，设计一个控制器使得闭环系统稳定且
鲁棒控制系统
设计鲁棒控制器应当要求 应具有较宽的带宽，以便系统输出能很好地重现R(s) 应增大环路增益L(s)，以便最小化灵敏度S 应主要通过增大 Gc (s)G1(s) 来提高环路开环增益L(s), 以便同时减小 Y (s) / D(s) ，因为 Y (s) / D(s) 1/ GcG1(s)
GK ( j) P( j)K ( j),
GB
P( j)K( j) 1 P( j)K( j)
如果P(s) 具有误差 P(s) P0(s) P(s)，那么相应地开环和闭环频 率特性也具有误差
干扰对系统期望输出影响最小。由于传递函数的H范数可描
述有限输入能量到输出能量的最大增益，所以用表示上述影
响的传递函数的H范数作为目标函数对系统进行优化设计，
就可使具有有限功率谱的干扰对系统期望输出的影响最小。
w
对于反馈系统 r e
u
y
-
kK(s)
P(s)
其中K(s)为控制器，w 为干扰信号，r 为参考输入
注：定理中的四个多项式通常被称作Kharitonov顶点多项 式。Kharitonov定理的意义在于它将区间多项式中无穷 多个多项式的稳定性与四个定点的稳定性等价起来，将无 穷检验变为有限检验（顶点检验）。
鲁棒控制系统
考虑下图所示的闭环系统 u -
y G(s)
其中
k
G(s, r)
N (s) D(s, r)
于是有
T (s) Gc (s)G(s) 1 Gc (s)G(s)
S(s) T(s) 1
由灵敏度函数定义可知，要提高鲁棒性，就必须减小 S(s) 的取 值。
鲁棒控制系统
加性摄动
受控对象模型可描述为
幅值有界的摄动
Ga (s) G(s) A(s)
假设 Ga (s) 和 G(s) 在s右半平面上极点个数相同 那么，若对于所有 w 都有
我们称为区间多项式，为了判定系统的稳定性，应该研究所有
可能的参数组合，这是个无穷检验问题。
前苏联数学家 Kharitonov于1978年给出了关于判断区间多
项式族鲁棒稳定性的四多项式定理，为研究参数不确定系统的
鲁棒性分析奠定了基础。
鲁棒控制系统
Kharitonov定理： (1)中的每一个多项式均稳定当且仅当 下面的四个多项式稳定
P1(s) a0 a1s a2s2 a3s3 a4s4 a5s5 P2 (s) a0 a1s a2s2 a3s3 a4s4 a5s5 P3(s) a0 a1s a2s2 a3s3 a4s4 a5s5 P4 (s) a0 a1s a2s2 a3s3 a4s4 a5s5
, N(s)
m i0
qisi , D(s, r)
n i0
ri si , ri
ri , ri
闭环传递函数为
GCL
(s,
r)
1
G(s, r) kG(s,
r)
Gcl(s)的分母为
D(s, r) kN(s)
鲁棒控制系统
例：
G(s, r)
s4
s3 2s2 2s 1 r3s3 r2s2 r1s 1
A( j) 1 G( j)
则系统的稳定性不变
鲁棒控制系统
乘性摄动
受控对象模型可描述为
幅值有界的摄动
Gm (s) G(s)[1 M (s)]
假设 Gm (s) 和 G(s) 在s右半平面上极点个数相同
那么，若对于所有 w 都有
M ( j) 1 1 G( j)
则系统的稳定性不变.---鲁棒性稳定判据
鲁棒控制系统
鲁棒控制系统设计
希望
T (s) Y (s) 1 R(s)
系统的伯德图平整，具有无限带宽的0db增益并且相角始终为零
r1
4，5, r2
[3,4], r3
[2,3]
取k＝1，此时闭环传递函数的分母为
其中
s4 r3s3 r2s2 r1s 1 s3 2s2 2s 1 s4 p3s3 p2s2 p1s 2 p1 [2,3], p2 [5,6], p3 [3,4]
此时上面的闭环系统稳定当且仅当下面的四个多项式稳定
T (s) Y (s) Gc (s)G1(s)G2 (s) R(s) 1 Gc (s)G1(s)G2 (s)
Y(s)
G2 (s)
D(s) 1 Gc (s)G1(s)G2 (s)
鲁棒控制系统
T (s) 对D(s) 的灵敏度
SGT
1
1 Gc (s)G1(s)G2 (s)
要想降低系统的灵敏度S，就应该提高环路开环增益L(jw)
鲁棒控制系统
常用乘性摄动来描述受控对象的不确定性 乘性摄动更符合直觉 在低频段对象模型精确，乘性摄动较小 在高频段对象模型不够精确，乘性摄动较大
鲁棒控制系统
具有不确定参数的系统
假设系统的特征多项式为
其系数满足
f (s) ansn an1sn1 a1s a0
ai ai ai , i 0,1,, n,0 [ai , ai ]
鲁棒控制系统
鲁棒控制系统
鲁棒控制系统
鲁棒性分析
鲁棒控制系统
系统设计目标是输入的跟踪误差 e(t) 保持在很小的范 围内，同时将干扰 d(t) 引起的输出维持在较低水平 上。
鲁棒控制系统
系统对受控对象的灵敏度为
S (s) [1 Gc (s)G(s)]1
当 Gp (s) 1 时，闭环系统的传递函数为
鲁棒控制系统
鲁棒控制系统
• 参数变化； • 未建模动态特性； • 平衡点的变化； • 传感器噪声； • 不可预测的干扰输入；
鲁棒控制系统
鲁棒控制系统
鲁棒控制系统
鲁棒控制系统的特点 灵敏度低 在参数的允许变动范围内能保持稳定 当参数发生较剧烈变化时，能够恢复和保持预期性能
鲁棒控制系统
鲁棒控制系统
鲁棒控制系统
H控制理论提出的背景
现代控制理论的许多成果在理论上很漂亮，但实际应用 并不成功。主要原因是忽略了对象的不确定性，并对系统所 存在的干扰信号作了苛刻的要求。
加拿大学者Zames在1981年提出了著名的H控制思想，
考虑如下一个单输入单输出系统的设计问题：对于属于一个 有限能量的干扰信号，设计一个控制器使得闭环系统稳定且
鲁棒控制系统
设计鲁棒控制器应当要求 应具有较宽的带宽，以便系统输出能很好地重现R(s) 应增大环路增益L(s)，以便最小化灵敏度S 应主要通过增大 Gc (s)G1(s) 来提高环路开环增益L(s), 以便同时减小 Y (s) / D(s) ，因为 Y (s) / D(s) 1/ GcG1(s)
GK ( j) P( j)K ( j),
GB
P( j)K( j) 1 P( j)K( j)
如果P(s) 具有误差 P(s) P0(s) P(s)，那么相应地开环和闭环频 率特性也具有误差
干扰对系统期望输出影响最小。由于传递函数的H范数可描
述有限输入能量到输出能量的最大增益，所以用表示上述影
响的传递函数的H范数作为目标函数对系统进行优化设计，
就可使具有有限功率谱的干扰对系统期望输出的影响最小。
w
对于反馈系统 r e
u
y
-
kK(s)
P(s)
其中K(s)为控制器，w 为干扰信号，r 为参考输入
注：定理中的四个多项式通常被称作Kharitonov顶点多项 式。Kharitonov定理的意义在于它将区间多项式中无穷 多个多项式的稳定性与四个定点的稳定性等价起来，将无 穷检验变为有限检验（顶点检验）。
鲁棒控制系统
考虑下图所示的闭环系统 u -
y G(s)
其中
k
G(s, r)
N (s) D(s, r)
于是有
T (s) Gc (s)G(s) 1 Gc (s)G(s)
S(s) T(s) 1
由灵敏度函数定义可知，要提高鲁棒性，就必须减小 S(s) 的取 值。
鲁棒控制系统
加性摄动
受控对象模型可描述为
幅值有界的摄动
Ga (s) G(s) A(s)
假设 Ga (s) 和 G(s) 在s右半平面上极点个数相同 那么，若对于所有 w 都有
我们称为区间多项式，为了判定系统的稳定性，应该研究所有
可能的参数组合，这是个无穷检验问题。
前苏联数学家 Kharitonov于1978年给出了关于判断区间多
项式族鲁棒稳定性的四多项式定理，为研究参数不确定系统的
鲁棒性分析奠定了基础。
鲁棒控制系统
Kharitonov定理： (1)中的每一个多项式均稳定当且仅当 下面的四个多项式稳定
P1(s) a0 a1s a2s2 a3s3 a4s4 a5s5 P2 (s) a0 a1s a2s2 a3s3 a4s4 a5s5 P3(s) a0 a1s a2s2 a3s3 a4s4 a5s5 P4 (s) a0 a1s a2s2 a3s3 a4s4 a5s5
, N(s)
m i0
qisi , D(s, r)
n i0
ri si , ri
ri , ri
闭环传递函数为
GCL
(s,
r)
1
G(s, r) kG(s,
r)
Gcl(s)的分母为
D(s, r) kN(s)
鲁棒控制系统
例：
G(s, r)
s4
s3 2s2 2s 1 r3s3 r2s2 r1s 1
A( j) 1 G( j)
则系统的稳定性不变
鲁棒控制系统
乘性摄动
受控对象模型可描述为
幅值有界的摄动
Gm (s) G(s)[1 M (s)]
假设 Gm (s) 和 G(s) 在s右半平面上极点个数相同
那么，若对于所有 w 都有
M ( j) 1 1 G( j)
则系统的稳定性不变.---鲁棒性稳定判据