变化率问题 PPT

v
49 65 0
0
49
t
平均速度不能反 映他在这段时间 里运动状态，需 要用瞬时速度描 述运动状态。
拓展探究2
当点B逼近于点A时，也即 x 0 时，割线AB会有什么变化？其斜
率有会有什么变化？
B y=f (x)
几何画板研究
A
PART
课堂小结
平均变化率 的定义
y f (x2 ) f (x1)
数与形
随着气球体 积逐渐变大, 它的平均膨胀 率逐渐变小.
平均膨胀率
几何画板 研究图像
r(V ) 3 3V
4
情境二 高台跳水
吴敏霞跳水视频
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高
h 度 (单位:m)与起跳后 的时间 t (单位:s) 存在
函数关系
h(t) 4.9t2 6.5t 10
思考：如何描述其运动状态呢？
13-16岁 2.12 1.61 0.17(m / 年) 16 13
16-22岁 2.26 2.12 0.02(m / 年)
●
22 16
22 年龄
PART
情境一 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径 增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢？
负，但不为0
平均变化率的几何意义 f (x2 ) f (x1) x2 x1
思考：从几何角度看，它又可以表示什么？
表示割线AB的斜率
A( x1, f ( x1)) f (x2)
B( x2, f ( x2 ))
f (x1)
y=f (x)
B
A
x2-x1
f ( x2 ) f ( x1)
x1
x2
求平均变化率的主要步骤
③求已知函数的最大值与最小值。
④求长度、面积、体积、重心等。
PART
引例
引例
身高
姚明● ● ●
数与形
陡缓
身高差 年龄差
思考：哪个年龄段身高变化最快？
1.61 0.8 ●
●
4
● ● ●
●
●
●
●
●
7 10 13 16
4-13岁 1.61 0.8 0.09(m / 年) 13 4
x
x2 x1
求平均变化 率的步骤
平均变化率 的几何意义
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；
((32))计再算计平算均自变变化量率的改y变 量f (xΔ2)x＝f (xx12)－x1；
x
x2 x1
表示函数图象上两点A(x1,f(x1)), B(x2,f(x2)) 连线（割线）的斜率。
反思与感悟
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；
(3)计算平均变化率
y x
f (x2 ) f (x1) x2 x1
PART
例练 求平均变化率 (1)函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1]上的平均变化率 ；
(2)函数f (x) = x2 +1在[x0 ,x0+x ]的平均变化率。
PART
拓展探究1 h(t) 4.9t2 6.5t 10
在问题一高台跳水中，计算运动员在 0 t 65 这段时间
里的平均速度，并思考下面的问题：
49
（1）运动员在这段时间里是静止的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？
h O t 65 65
98 49
h( 65) h(0)
高中数学人教A版选修1-1
3.1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题
PART
引言
“人类精神的 最高胜利”
引入函数
产生微积分
牛顿 莱布尼茨
微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接相关： ①已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与 加速度；已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程。 ②求曲线的切线。
x2 x1
作用：刻画函数 值在区间[x1，x2]
上变化的快慢.
平均变化率
理解
用 x x2 x1，则 y f (x2 ) f (x1) y可正、
可负、可0
f (x2 ) f (x1) 一变 y 二变 f (x1 x) f (x1)
x2 x1
x
x
思考：x和 y 的范围有要
求吗？
x 可正、可
v h(t2 ) h(t1) t2 t1
平均速度反映物体 在某时间段里速度 的平均变化情况.
PART
思考：1、在上述案例中，我们如何刻画物体的变化率？ 2、他们有什么共同之处吗？
气球膨胀
f ( x2 ) f ( x1) x2 x1
定义：如果问题中的函数关系用y=f(x)表示， 把这个式子 f (x2 ) f (x1) 称为函数y=f(x)从x1到x2的
h(t) 4.9t2 6.5t 10
如果用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运动状态, 那么:
0 t 0.5
v
h(0.5) h(0) 0.5 0
4.05
m s
1 t 2
v
h(2) h(1) 2 1
8.2 m s
思考：在时间[t1，t2],运动员的平均速度是多少？
1L 1dm3
我们知道，气球的体积v（单 位：L）与半径 r（单位:dm）
之间的函数关系是 V (r) 4 r3
3
气球试验
如果将半径表示为体积的 函数，那么 r(V ) 3 3V
4
几何画板
数据计算
体积增加 量相同时
半径的增加 量越来越小
吹气球试验
体积增加 量不同时
半径的增量 体积的增量 越来越小