集合论在离散数学中的作用探索

㊀[收稿日期]２０１８Ｇ０９Ｇ０６;㊀[修改日期]２０１８Ｇ１２Ｇ０９

㊀[基金项目]河南省教育科学 十三五 规划项目( ２０１８ ＧJ K G H Y B Ｇ００６４);河南理工大学研究生双语教学课程建设项目(２０１７Y S Y ０２);河南理工大学研究生双语教学课程建设项目(２０１８Y S Y ０１

)㊀[作者简介]郑艳梅(１９８４－)

,女,博士,讲师,从事高动态范围图像处理㊁图像质量评价研究．E m a i l :z h e n g y m ０２＠h p

u ．e d u ．c n 第３５卷第２期

大㊀学㊀数㊀学

V o l ．３５,ɴ．２２０１９年４月

C O L L E G E MA T H E MA T I C S

A p

r ．２０１９集合论在离散数学中的作用探索

郑艳梅,㊀芦碧波

(河南理工大学计算机科学与技术学院,河南焦作４５４０００

)㊀㊀[

摘㊀要]在«离散数学»课程中,集合论绝不像表面显现的那么简单,相反地,它可谓一根主线贯穿了整个«离散数学»课程,在该课程的数理逻辑㊁关系㊁图论㊁代数系统等部分均发挥着表达工具或内容支撑的作用．

在本文中,我们就集合论在«离散数学»各部分内容中的作用进行了探索,希望所得结论能引起各位«离散数学»授课教师的重视．

[关键词]离散数学;集合论;数理逻辑;图论;代数系统

[中图分类号]O １４４．１㊀㊀[文献标识码]C ㊀㊀[文章编号]１６７２Ｇ１４５４(２０１９)０２Ｇ００５５Ｇ０４

１㊀引㊀㊀言

目前,几乎国内外所有大学均将«离散数学»作为计算机相关专业的核心课程[１]

．

«离散数学»教学不是简单地传授给学生«离散数学»知识,更重要的是能够培养学生的数学思维能力和动手能力[２

]．

«离散数学»的主要内容包括数理逻辑㊁集合论㊁数论㊁抽象代数和图论等．计算机的发展与«离散数学»各部分均有非常密切的联系,可以说计算机离不开«离散数学»,«离散数学»在计算机相关专业中有着特别重要

的作用[３]

．

经由本门课程,学生学习与计算机相关的研究离散量的数学知识,为后续学习专业课程打下夯实的数学基础．

«离散数学»的内容,在不同教材中,所包含内容不完全一致[４]

．

比如,在左孝凌所著«离散数学»中,共分为五个部分:数理逻辑㊁集合论㊁代数系统㊁图论以及计算机科学中的应用[５]．

在耿素云等所著«离散数学»教材中,共分六部分:数理逻辑㊁集合论㊁图论㊁代数结构㊁组合分析初步以及形式语言与自动机初

步[１]

．

虽然不同教材各有侧重,但是集合论在其中地位不可动摇,均占据了大分量篇幅．集合论部分对学生而言,既熟悉又陌生,也恰是这种既有模糊认识,但又未能准确且全面把握与集

合论相关内容的现实情况,导致学生在初学集合论时,掉以轻心,未能准确掌握其相关概念,以至于在学习后续关系内容时,显得很是吃力．不单单是学生对集合论的基础知识未能上心,部分授课教师也未能重视该部分基础知识的重要性,授课时串讲而过,只是罗列与集合相关概念,比如元素㊁子集㊁空集㊁全集等．继而使得在开讲集合上的二元关系或者笛卡尔积集内容时,学生听得一头雾水,似懂非懂,需要回头温习集合论相关内容．这种现状与集合论在整个«离散数学»课程中的重要地位是不符的．

纵观整个«离散数学»课程,大家会发现集合论在整个课程中占据着至关重要的地位,可以说从数理

逻辑,到关系,再到图论,最后到代数系统,一直都有集合论的身影,只是在不同地方以不同的形式出现．下面我们将分节逐一详细介绍集合论与各部分内容的关系．

２㊀集合论是表示工具

２．１㊀数理逻辑与集合论

在讨论命题公式的类型时,命题公式的类型与使得其值为真的集合直接关联(见表１)．设A为一个命题公式,若A在所有赋值下取值均为真,则称A为永真式或重言式．从集合论的角度而言,若将所有的赋值看做一个全集E,也即使得A成真的赋值为全集,成假的赋值为空集．若A在所有赋值下取值均为假,则称A为矛盾式或永假式．也即使得A成真的赋值为空集,成假的赋值为全集．若A至少存在一组成真赋值,则称A是可满足式．也即使得A成真的赋值E为的一个非空子集X,成假的赋值为其补集 X．

关于命题公式的类型,换个角度从主析取范式来说明．具有n个命题变元的合式公式,共有２n个极小项,不同的n元合式公式的主析取范式,实质上是若干极小项的组合,若将所有极小项看做一个全集E,那么任何一个n元合式公式均由的一个子集构成．若主析取范式包含了所有的极小项,则是永真式;若为空则为矛盾式;若为非空子集,则为可满足式．主合取范式与集合的关系可类似说明．

表１㊀命题公式类型与集合的关系

命题公式类型定㊀㊀义使真值为真的集合/

极小项集合使真值为假的集合/极大项集合

永真式(重言式)若A在所有赋值下取值均为真,则称A为永

真式或重言式

全集E∅

矛盾式若A在所有赋值下取值均为假,则称A为矛

盾式或永假式∅全集E

可满足式若A至少存在一组成真赋值,则称A是可满

足式

非空子集X⊂E X

讨论谓词命题所必需的论域实质即为集合,尤其在证明谓词公式的等值性时,该论域均被设定为有限集合,并采用罗列方法列出其元素．比如,在说明全称量词∀和存在量词∃时,一般设定定义域为D＝{a１,a２, ,a n},对于任意的谓词A(x),在该定义域下,为论述命题公式与谓词公式的关系时,需用到如下两个公式:

∀x A(x)⇔A(a１)ɡA(a２)ɡ ɡA(a n);(１)

∃x A(x)⇔A(a１)ᶱA(a２)ᶱ ᶱA(a n)．(２)对于论域的同样处理方式还出现在对量词否定等值式㊁量词辖域收缩与扩张等值式㊁量词分配等值式的证明中．

２．２㊀图论与集合论

图的定义离不开集合论知识．图论中的图是对现实问题的抽象化,抽象图包含了两个相关联的集合,顶点集和边集．如需借助计算机处理与该图相关的问题,则需借助集合论工具,以集合为单位,先后提供顶点信息㊁边信息甚至边上的权重信息．进一步而言,若假设G＝ V,E ,则空图㊁零图㊁平凡图㊁子图㊁真子图㊁生成子图等均等价于与子集相关的某种关系(见表２),对于图G上的子图G１㊁真子图G２㊁生成子图G３㊁顶点导出子图G４㊁边导出子图G５间还存在如下关系:G１⊆G,G２⊆G１,G３⊆G１,G２ɘG３ʂ∅, G４⊆G１,G５⊆G１等．

表２㊀各类子图与集合的关系

图的类型顶点集边集图的类型顶点集边集

空图V＝∅E＝∅真子图Vᶄ⊆V Eᶄ⊂E

零图Vʂ∅E＝∅生成子图Vᶄ＝V Eᶄ⊆E

平凡图|V|＝１E＝∅顶点导出子图Vᶄ⊆V Vᶄ为两端点的边集

子图Vᶄ⊆V Eᶄ⊆E边导出子图Eᶄ关联的顶点集Eᶄ⊆E

６５大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３５卷