柯西收敛准则的证明(老黄学高数第78讲)
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∴{an}满足柯西收敛准则条件. ∴{an}收敛.
老黄学高数
第78讲
柯西收敛准则的证明
(戴金德基本定理)： 将实数域任意分割成两个非空集A, A -. 设集A中任一元素小于集A -的每一元素，
则必产生实数β，使β是下组的最大值或上组的最小值.
A
A-敛的充要条件： ∀ε>0，∃N，使得当n,m>N时，有|an-am|<ε. 证：[必要性]设{an}收敛于η, 则∀ε>0，∃N， n,m>N时，有|an-η|<ε/2, |am-η|<ε/2, 则 |an-am|=|(an-η)-(am-η)|≤|an-η|+|am-η|<ε. 必要性得证！
(柯西收敛准则)：数列{an}收敛的充要条件：
∀ε>0，∃N，使得当n,m>N时，有|an-am|<ε. [充分性]设∀ε>0，∃N，使当n,m>N时，有|an-am|<ε. 取m’=N+1，则当n>N时，有|an-aN+1|<ε. 解得aN+1- ε<an<aN+1+ε，∴{an}有界.
(柯西收敛准则)：数列{an}收敛的充要条件：
∀ε>0，∃N，使得当n,m>N时，有|an-am|<ε. [充分性]已证{an}有界. 可设a<an<b (或a≤an≤b)， 存在某戴德金分割A, A-，使任一实数c满足
{an}中只有有限多个项落在(-∞,c)上时，A={c}. 对戴金德分界点η，有η-ε∈A， ∃m>N，使η-ε<am<η+ε， 又当m, n>N时，|an-am|<ε. 即有η-2ε<am-ε<an<am+ε<η+ε，∴{an}收敛于η.
注： 若对任一(-∞,c)上只有{an}的0个项，则η=a. 同理，若对任一d∈A-， 在(d,+∞)上都只有{an}的0个项，则η=b.
设数列{an}满足：存在正数M，对一切n有： bn=|a2-a1|+…+|an-an-1|≤M.证明：{an}与{bn}都收敛. 证：由bn=|a2-a1|+…+|an-an-1|，bn+1-bn=|an+1-an|≥0， 又bn≤M， ∴{bn}递增且有上界，∴{bn}收敛. 由柯西收敛准则,∀ε>0,∃N,当m>n>N时,有|bm-bn|<ε， ∴|am-an|=|am-am-1+am-1-am-2…+an+1-an| ≤|am-am-1|+|am-1-am-2|…+|an+1-an|=|bm-bn|<ε，
老黄学高数
第78讲
柯西收敛准则的证明
(戴金德基本定理)： 将实数域任意分割成两个非空集A, A -. 设集A中任一元素小于集A -的每一元素，
则必产生实数β，使β是下组的最大值或上组的最小值.
A
A-敛的充要条件： ∀ε>0，∃N，使得当n,m>N时，有|an-am|<ε. 证：[必要性]设{an}收敛于η, 则∀ε>0，∃N， n,m>N时，有|an-η|<ε/2, |am-η|<ε/2, 则 |an-am|=|(an-η)-(am-η)|≤|an-η|+|am-η|<ε. 必要性得证！
(柯西收敛准则)：数列{an}收敛的充要条件：
∀ε>0，∃N，使得当n,m>N时，有|an-am|<ε. [充分性]设∀ε>0，∃N，使当n,m>N时，有|an-am|<ε. 取m’=N+1，则当n>N时，有|an-aN+1|<ε. 解得aN+1- ε<an<aN+1+ε，∴{an}有界.
(柯西收敛准则)：数列{an}收敛的充要条件：
∀ε>0，∃N，使得当n,m>N时，有|an-am|<ε. [充分性]已证{an}有界. 可设a<an<b (或a≤an≤b)， 存在某戴德金分割A, A-，使任一实数c满足
{an}中只有有限多个项落在(-∞,c)上时，A={c}. 对戴金德分界点η，有η-ε∈A， ∃m>N，使η-ε<am<η+ε， 又当m, n>N时，|an-am|<ε. 即有η-2ε<am-ε<an<am+ε<η+ε，∴{an}收敛于η.
注： 若对任一(-∞,c)上只有{an}的0个项，则η=a. 同理，若对任一d∈A-， 在(d,+∞)上都只有{an}的0个项，则η=b.
设数列{an}满足：存在正数M，对一切n有： bn=|a2-a1|+…+|an-an-1|≤M.证明：{an}与{bn}都收敛. 证：由bn=|a2-a1|+…+|an-an-1|，bn+1-bn=|an+1-an|≥0， 又bn≤M， ∴{bn}递增且有上界，∴{bn}收敛. 由柯西收敛准则,∀ε>0,∃N,当m>n>N时,有|bm-bn|<ε， ∴|am-an|=|am-am-1+am-1-am-2…+an+1-an| ≤|am-am-1|+|am-1-am-2|…+|an+1-an|=|bm-bn|<ε，