材料力学公式附录

附 录
一、应力与强度条件 1、拉压 []
σ≤σmax
max A
N =
2、剪切 []
τ≤τmax A
Q =
挤压 []
挤压挤压挤压σ≤σA
P =
3、圆轴扭转 []
τ≤τmax Wt
T =
4、平面弯曲 ①[]
σ≤σmax
z
max W M =
②[]
max t max t max max σ≤σy I M z
t =
max c max max σy I M z
c =
[]
cnax σ≤
③[]
τ≤τz
*
max
z max max b
I S Q =
5、斜弯曲 []
σ≤σmax
y
y
z
z max W M
W M +
=
6、拉（压）弯组合 []
σ≤σmax
max z
W M A
N +
=
[]
t max t z
max t σ≤σy I M A
N z
+
=
[]
c max
c z
z max c σ≤σA
N y I M =
注意：“5”与“6”两式仅供参考
7、圆轴弯扭组合：①第三强度理论 []
σ≤τ4σσz 2
n
2
w 2n
2w r3W M M +=
+=
②第四强度理论 []
σ≤75.0τ3σσz
2
n 2
w 2n
2w r4W M M
+=
+=
二、变形及刚度条件
１、拉压 ∑
∫d )(Δi
i L EA
x
x N EA L N EA
NL L ===
２、扭转 ()
∫Σ
Φp
p
i i p
GI
dx
x T GI
L T GI
TL ===
π
180Φυ0
p
GI
T L
=
=
（m / ）
３、弯曲 (1)
积
分
法
:
)
()('
'x M x EIy =
C x x M x EI x EIy +==d )()(θ)(∫'
D Cx x x x M x EIy ++=d ]d )([)(∫∫
(2)叠加法:()21,P P f …=()()21P f P f ++…， ()21,θP P =()()
++21θθP P … (3)基本变形表(注意：以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情况赋予正负号)
EI
ML B =
θ EI PL
B 2θ2
=
EI qL
B 6θ3
=
EI
ML
f B 22
=
EI
PL
f B 33
=
EI
qL
f B 84
=
EI
ML B 3θ=
,EI
ML A 6θ=
EI
PL
A B 16θθ2
=
= EI
qL
A B 24θθ3
=
=
EI
ML
f c 162
=
EI
PL
f c 483
=
EI
qL
f c 3844
=
P
A
B M
A
B A B
q
L L
L
L
L
(4)弹性变形能(注：以下只给出弯曲构件的变形能,并忽略剪力影响,其他变形与此相似,不予写出)
EI
L M U 22
=
=i
i i EI L M 2Σ
2
=()∫
22
EI
dx
x M
(5)卡氏第二定理(注：只给出线性弹性弯曲梁的公式)
==
i i ∂∂ΔP U
()()
∫i
∂∂Σdx P x
M EI x M 三、应力状态与强度理论 １、二向应力状态斜截面应力
α2sin τα
2cos 2σσ2
σσσαxy y
x
y
x ++=
α2c o s τα2s i n 2σσταxy y
x
+=
２、二向应力状态极值正应力及所在截面方位角
2
2min
max τ)2σσ(
2
σσσσxy y
x
y
x +±+= y
x
xy σστ2α2tg 0=
３、二向应力状态的极值剪应力
2
2max τ)2σσ(
τxy y
x
+=
注：极值正应力所在截面与极值剪应力所在截面夹角为450
４、三向应力状态的主应力：321σ≥σ≥σ
最大剪应力：2σστ3
1
max =
5、二向应力状态的广义胡克定律
（1）、表达形式之一（用应力表示应变）
)μσσ(1εy x
x E =
)μσσ(1εx y
y E =
)σσ(μεy x z E
+=
G
xy xy τγ=
（2）、表达形式之二（用应变表示应力）
)μεε(μ
1
σ2
y x x E +=
)μεε(μ
1
σ2
x y y E +=
0σ=z xy xy G γτ=
6、三向应力状态的广义胡克定律
()
[]z
y x
x E
σσμσ
1ε+=
()z y x ,, G
xy xy
τγ=
()
zx yz xy ,,
7、强度理论
（1）[]
111σ≤σσ=r ()321
2σσμσσ+=r []σ≤ []
b
b n σσ=
（2）[]
σ≤σσσ3
13=r ()()()[]2
1
3
2
3
2
2
2
1
4σ
σ
σσ
σσ2
1
σ++=r []σ≤ []s
s
n σ
σ=
8、平面应力状态下的应变分析 （1）α2sin 2
γα
2cos 2εε2
εεεα++=
xy y
x
y
x
+
=
α2s i n 2
εε2
γαy
x
α2c o s 2
γxy
（2）
2
2
min
max 2
γ2
εε2
εεεε+
±
+=
xy y
x
y
x
y
x
xy εεγα2tg 0=
四、压杆稳定
1、临界压力与临界应力公式（若把直杆分为三类）
①细长受压杆 p λ≥λ ()
2
min
2
cr μπL EI P =
2
2
cr λ
πσE =
②中长受压杆 s p λ≥λ≥λ λσcr b a
=
③短粗受压杆 s λ≤λ “cr σ”=s σ 或 b σ
2、关于柔度的几个公式 i
L μλ=
p
2
p σπλE =
b
a s
s σλ=
3、惯性半径公式A
I i z =
（圆截面 4
d i z =
，矩形截面12
min b i =
（b 为短边长度））
五、动载荷（只给出冲击问题的有关公式） 能量方程 U V T ΔΔΔ=+ 冲击系数 st
d Δ211h K +
+=（自由落体冲击） st
2
d Δg v K =
（水平冲击）
六、截面几何性质
1、 惯性矩（以下只给出公式，不注明截面的形状）
∫2
ρdA I P ==
32
π4
d
()4
4
α
132
πD D d
=α
∫64
π4
2
d dA y I z =
=
()4
4
α
1
64
πD
12
3
bh
12
3
hb
32
π3
max
d y I W z z =
=
()4
3
α
1
32
πD
6
2
bh
6
2
hb
2、惯性矩平移轴公式
A a I I 2
zc z +=。