【新高考数学】 圆锥曲线核心考点精讲汇编(含答案解析)

3.如果 A(1, 3) 关于直线 l 的对称点为 B(5,1) ，则直线 l 的方程是
。
4．圆 (x 2)2 (y 12)2 4关于直线 x y 8 0 对称的圆的方程为
。
第 1 讲 直线方程
考法一 斜率与倾斜角
1．直线 3x y 1 0 的倾斜角为
。
【答案】 60
【解析】直线 3x y 1 0 变形为 y 3x 1 所以 k 3
3 4
，
要使直线
l
与线段
AB
相交，则直线
l
的斜率
k
满足
kPB
k
或
k
k PA
，
k
4 或
k
3 4
即直线 l 的斜率的取值范围是 (, 4] [ 3 , ) ， 4
考法二 直线方程
1．过点 P（4，－1）且与直线 3x－4y＋6＝0 垂直的直线方程是
。
【答案】4x＋3y－13＝0
3
4
【解析】因为两直线垂直，直线 3x﹣4y+6=0 的斜率为 ，所以所求直线的斜率 k=﹣
的直线的倾斜角
的范围是
π 4
,
3π 4
，则实数
m
的取值范围是。
【答案】 0 m 4
【解析】当 m 2 时，直线的倾斜角为 π ，满足题意； 2
当m
2
时，直线
AB
的斜率为
3 1 m2
tan
π 4
1 ，或
31 m2
tan
3π 4
1 ，
所以
4m m2
0
或
m m
2
0
，解得
2
m
4
或
0
m
2
.
综上，实数 m 的取值范围是 0 m 4 .
设倾斜角为 则 k tan 3 因为 0 180 所以 60
2．已知双曲线 x2 y2 1 的一条渐近线倾斜角为 5 ，则 a
。
a
6
【答案】-3
【解析】由双曲线方程可知： a 0 ，渐近线方程为： y
1 x， a
一条渐近线的倾斜角为 5 ，
6
1 tan 5 3 ，解得： a 3.
。
考法二 直线方程
1．过点 P（4，－1）且与直线 3x－4y＋6＝0 垂直的直线方程是
。
2．过点 M 2,1 ，且与点 A1, 0 ， B 3, 0 距离相等的直线方程是
。
3．已知点 A（1，2），B（3，1），则线段 AB 的垂直平分线的方程是
。
考法三 直线的位置关系
1．直线 l1 : ax 3y 1 0,l2 : 2x (a 1) y 1 0 ，若 l1//l2 ，则 a 的值为 。
。
3．若点 P 是曲线 y x2 ln x 上任一点，则点 P 到直线 x y 4 0 的最小距离是
。
4．动点 P 在直线 x y 1 0 上运动， Q 1,1 为定点，当 PQ 最小时，点 P 的坐标为________．
考点五 定点问题
1．已知实数 a, b 满足 a 2b 1 ，则直线 ax 3y b 0 必过定点，这个定点的坐标为 。
2．方程 (a 1)x y 2a 1 0 ( a R )所表示的直线恒过定点
。
考法六 对称问题
1．点 (2, 0) 关于直线 x y 1 0 对称的点的坐标为
。
2．已知直线 l1 : 2x y 1 0 ，直线 l2 与 l1 关于直线 l : y x 对称，则直线 l2 的方程为、
2．若 a，b 为正实数，直线 2x (2a 3) y 2 0 与直线 bx 2 y 1 0 互相垂直，则 ab 的最大值
为
。
3．若直线
x
ay
2
0
与
3x
6y
1
0
垂直，则二项式
ax2
1 x
5
的展开式中
x
的系数为
。
4．已知直线 l1 ： x sin y 1 0 ，直线 l2 ： x 3y cos 1 0 ，若 l1 l2 ，则 sin 2 。
所以直线 ax + by + c = 0 的斜率 k a 1， b
设其倾斜角为 (0 ) ，所以有 k tan 1，所以 3 4
6．已知点 A2, 3 ，B 3， 2 ,直线 l 的方程为 kx y k 1 0 ，且与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k
的取值范围为
。
【答案】 (, 4] [ 3 , ) 4
【解析】直线 l：kx y k 1 0 整理为 k x-1 y-1 0 即可知道直线 l 过定点 P 1,1 ，
作出直线和点对应的图象如图： A(2, 3) ， B(3, 2) ， P(1,1) ，
kPA
3 1 2 1
-4 ， kPB
2 1 3 1
的范围是
π 4
,
3π 4
，则实数
m
的取值范围是。
5．函数
y
a
sin
x
b
cos
x
的一个对称中心为
4
,
0
，则直线
ax
+
by
+
c
=
0
的倾斜角大小为
。
6．已知点 A2, 3 ，B 3， 2 ,直线 l 的方程为 kx y k 1 0 ，且与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k
的取值范围为
5．已知曲线 f x x cos x 3x 在点 0, f 0 处的切线与直线 ax 2 y 1 0 平行，则实数 a 的值
为
。
考法四 距离问题
1．点 P 2, 0 到双曲线 y2 x2 1的一条渐近线距离为
。
9 16
2．若直线 l1 : x ay 6 0 与 l2 : a 2 x 3y 2a 0 平行，Fra Baidu bibliotek l1 与 l2 间的距离为
a
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3．直线
l
的倾斜角
4
,
3
，则其斜率的取值范围为
。
【答案】 (1, 3)
【解析】直线的倾斜角为
2
，则斜率为
tan
，
y
tan
x
在
0,
2
上为增函数.
由于直线
l
的倾斜角
4
,
3
，所以其斜率的取值范围为
tan
4
,
tan
3
，即
(1,
3) .
4．过点
A 2,1 ,
B m,3
5．函数
y
a
sin
x
b
cos
x
的一个对称中心为
4
,
0
，则直线
ax
+
by
+
c
=
0
的倾斜角大小为
。
3
【答案】
4 【解析】令 y f (x) a sin x b cos x
因为函数
y
a
sin
x
b
cos
x
的一个对称中心为
4
,
0
，
所以有 f (0) f ( ) 0 ，所以 b a 0 ，即 a b ， 2
【新高考数学】圆锥曲线核心考点精讲汇编
第 1 讲 直线方程
1．直线 3x y 1 0 的倾斜角为
考法一 斜率与倾斜角 。
2．已知双曲线 x2 y2 1 的一条渐近线倾斜角为 5 ，则 a
。
a
6
3．直线
l
的倾斜角
4
,
3
，则其斜率的取值范围为
。
4．过点
A 2,1 ,
B m,3
的直线的倾斜角