【优质精选】中小学课件抛物线课件.ppt

3 2
5，∴A、P、F三
点共线时有最小值 3 2
，最小值为 5 .
题型二 抛物线的几何性质和标准方程
【例2】 已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点A(m，－3)到焦点F 的距离为5，求m的值，并写出此抛物线的方程．
分析：因为点A(m，-3)在直线y=-3上，所 以抛物线的开口方向存在向左、向右、向 下三种情况，必须分类讨论．
分析：抛物线上点P到焦点F的距离等于 点P到准线l的距离d，求PA+PF的问题可 转化为PA+d的问题，再运用三点共线可 使问题得到解决．
解：将x=3代入抛物线方程y2=2x，得y=± 6 ∵设抛6物>线2，上∴点点PA到在准抛线物l：线x内=-部1．的距离为d，
2 由定义知PA+PF=PA+d.由图可知当PA⊥l
F
___0__,___2p
y p 2 ________
x2=-2py(p>0)
F
0,
________
p 2
y p 2 ________
图象
焦点到准线的距离
一次项对应的轴上 3. 标准方程中p的几何意义 是表示___________________，
抛物线的开口方向 因为焦点不在准线上，所以p>0.抛物线焦点在__________________，标准方程中一次项系数的正
负号决定了________________，一次项系数为正，抛物线开口____________，一次项系数为负， 抛物线开口____________．
向坐标轴正向
向坐标轴负向
x∈[0，+∞)，y∈(-∞，+∞)
只有一条
对称中心 只有一个 4. 一般地，对以y2＝2px(p>0)为方程的抛物线，具有明显的几何性质(其它抛物线有类似的性质)：
第四节 抛物线
基础梳理
一个定点F和一条定直线l(定点F不在l上)的距 1. 抛物线的定义：平面内到____________________________________________________________叫做抛物线， 离相等的点的轨迹 定点F叫做抛物线的________，定直线l叫做抛物线的________．
基础达标
5 8
,
0
1.(选修2－1P47练习1改编)已知抛物线的标准方 程为2y2＋5x＝0，则它的焦点坐标为
x 5 ________，准线方程为________． 2
解析：化为标准方程为y2=-x，因为
2p= 5 4
，p= 5 2
，所以焦点
坐标是
5 8
,0
，准线方程是x=
5 8
.
2抛. (物选线修的2－标1准P4方8练程习是4_改y_2_=编_±_)焦_4_x点_或_到_x2_=准_±_线_4_y的__距．离是2的
线的离心率为1.注意：这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了．
5. 解决直线与抛物线的位置关系的有关问题时，一般是将直线与抛物线联立，消去一 个变量后转化为关于另外一个变量的一元二次方程的问题，利用判别式和韦达定理、
两点间距离公式等知识求解．
通径 2p 6. 通径：通过抛物线的焦点并且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所得线段叫做该抛物线的 ________，长度是________，通径是抛物线过焦点的弦中____________． 长度最小的弦
4. 已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴
上．又知抛物线上一点A(4，m)到准线距离 为6，则m＝__±__4__2________.
解析：设抛物线的方程为y2=2px(p>0)， 由已知得 p +4=6，∴p=4，∴抛物线
2 方程y2=8x，将A(4，m)代入，得m2=32，
∴m=±4 2 .
5. 设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离 为3，则抛物线的方程__y_2_=_8_x_或__y2_=_-_1_6_x__．
解析：焦点到准线的距离是2，即p=2，但由于 焦点位置不确定，所以其方程可以为y2=±4x或 x2=±4y.
3. 顶点在原点，焦点在y轴上，经过点P(4， －2)的抛物线的标准方程为___x_2_=_-_8_y____．
解析：由于抛物线过点P(4，-2)，且焦点 在y轴上，则焦点一定在y轴负半轴上．设抛 物线方程为x2=-2py，把(4，-2)代入得p=4， 所以抛物线方程为x2=-8y.
解析：抛物线的准线方程为x=- m， 4
则 1 m =3，解得m=8或m=-16.故抛
4
物线方程为y2=8x或y2=-16x.
经典例题
题型一 抛物线的定义及其应用
【例1】 已知抛物线y2＝2x的焦点是 F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PA＋PF的最小值，并求出取最
小值时点P的坐标．
(1)范围：__________________________；
中点 (2)对称性：抛物线__________对称轴，即x轴，抛物线没有____________；
(3)顶点：抛物线________顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的________； (4)离心率：抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定Leabharlann Baidu物
时，PA+d最小，最小值为 7 ，即PA+PF的 2
7
最小值为 2 .此时点P的纵坐标为2，代入 y2=2x，得x=2，即点P的坐标为(2,2)．
变式1－1
若例1中A点坐标变为(2,3)，求PA＋PF的最小值．
解：将x=2代入抛物线方程得 y=±2.∵3>2，∴点A在抛物线外部．
又∵PA+PF≥AF=
解：①若抛物线开口方向向下， 设抛物线方程为x2=-2py(p>0)，
这时准线方程为y= p .
2
由抛物线定义知
p -(-3)=5，解得p=4，
2
所以抛物线方程为x2=-8y. 这时将点A(m，-3)代入方程，得m=±2 6；
②若抛物线开口方向向左或向右，可设
抛物线方程为y2=2ax(a¹0)，从p=|a|知， 准线方程可统一成x=- a的形式，于是由
焦点
准线
2. 抛物线的标准方程：由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情 形(列表如下)：
方程 y2=2px(p>0)
焦点 准线
F
__2p____,__0
x p 2 ________
y2=-2px(p>0)
F
p, 2
________
0
x p 2 ________
x2=2py(p>0)