一个重要不等式的简证与求商法的应用

题， 而且证 明过程简单易懂 ， 那么这样 的证明方法就可称得上是好方法． 因此 ， 我们千万不能把最常用的方
罕 ㈡ … ． ㈡ ］ ． ． 【
】 ・
≥ ≥可（） ａ ＝同可 １ ０得 ≥ｌ １理得 ， ， ・ ） （ ≥… ａ≥（ ≥（ ≥… ａ ， ≥ 詈Ｉ ． ）ｎ，）３，） ． ）ｎ … ） ）２，（ Ｉ 詈２ 詈 ，㈡一 ａ Ｓ ａ 一 ， － ａ “ ａ － ａ ㈡ ， ≥ （ （２ － ａ
ｂ ＋Ｃ — ａ
从 墨 ＞故 口６ｃ 时。 ＞ ６ｃ． 而 １ 当 ＞＞＞ ，６２ｎ ｃ ． ０ ２ｃ ¨ 。
例４ 设 ａ ≥６＞ ， 证 ： 。 口 ） ． ０求 口 ｂ ≤（ ６ 丁
证明
（ 用求 商 法 ）
—
（ ｂ － 一ｆ １ ￣ ）ｒ － 旦
—
口６ Baidu NhomakorabeaＩ ’ ｎ Ｊ ｂ
易懂 ， 现证 明如 下．
（ 当且仅当 口 ： ： … ＝ 取到等号） 口 ＝ 口 时， ．
文献［ ］ １ 用数学归纳法证明了这个不等式 ， 笔者发现可用求商法证明这个不等式 ， 其证明过程更简单
证明 求商 ．
㈡ … ａ ㈡ １ － ａ ３
不妨设 ｎ≥口≥…≥ｎ ＞ ， 由￣ ： ０则 １ ２
法最好 ！请看 下例 ． 例 １ 设 ａ ６ ｃ＞ 试证 ：。 口 ｃ 丁ｂ ， ， ０， 口６ｃ≥（ ６ ）￣＊ ａ ｅ
．
（ ３届 美 国数 学奥林 匹克试题 ） 第
（ 显然 ， 这是 上 面重要 不 等式 当 １＝ ７ ３时 的特殊情 形． ， ）
证明
（ 用求商法）
薏＋ （丁 ）詈 ． 警ｃ詈 （丁 ） ａ＝ ）÷ （丁 ≥【 【 ｌ 。 ｂ 了 ＋ ＪＪＪ
．
（９ ９年 青 海省 中学数 学竞 赛试题 ） １７
弊
＝）詈 （ （ （ （ （ （ （ （ ． （ （ 号 詈 号 詈 导 詈 ））））））））） 字 字 字
（）≥ 詈 （）≥， ）≥， ）≥， ）≥， ）≥， 詈 －号 詈 ｔ 字 （ （ （ （ （）≥ （）≥， ）≥， ）≥， 宁 号 詈 ・导 － ， （ （ 字
— 坐
（ １２ —＿ ａｎ …ａ ）
即 【 ）（ … ） ［） 詈 （ 】（ 】， （ ㈡ … 】 （ … ） 】 等） ≥ 詈 （ （ ） ㈡ 】 ） ㈡ “． 詈 ． ． 【 ・
因 此
故 口－ｚ ： 。口…口） 警 ａ ； 。 …ｎ ≥（ 口
由≥ 。 ａ１ ≥得詈－（０ ， ｌ 即 ≤６ｂ且当 。 ＞侍 ≥由 。 （丁 詈 ＝因 等ｂ， 口 （Ｔ当仅 ６， ； ｚ ， ）≥ ）１此 ａ 亦 口＋ ａ ｂ ＋ ≥ ）（ ａ
ａ＝ ｂ时 ， 取到 等 号 ） ． 当我们 在 证 明一 个数 学命 题 时 ， 先想 到 的是 最 常用 的 方法． 首 如果 能 用最 常用 的方 法证 明这 个 数学命
・
３ ６・
中学教研 （ 学） 数
２１ ００生
一
个 重 要 不 等 式 的 简 证 与 求 商 法 的 应 用
●东 洪平 （ 陇南师范高等专科学校数学系 甘肃成县 ７２０ ） ４５０
文献［ ］ １ 提出了一个重要不等式 ：
若 ｉ ｏ ｌ２…，， 口 ａ ≥（ ： 警 ＞ ，： ，， ｎ则 ａ １ …。 口。…Ⅱ）
故 口６ｃ ｅ≥ 。 。
下面再举 ２个用求商法证明不等式的例子． 例 ３ 若 ０＞６＞ Ｏ 求 证 ： ｂ ＞ａ ＋ ｃ”． ｃ＞ ， ｏ。 ｃ ｂＣ ｂ 。
证明 （ 求商 法 ） 用
— —
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不 设ｎ６ｃｄｅ０ 詈 ｌ ≥，得 妨 ≥≥≥≥＞ 由 ≥， ０ ． 可
同理可 得
即
（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）≥， 詈 詈 号 詈 ÷宁寺 ÷字号 号 导字 －
业（ 当且仅 当 口＝ｂ＝ ＝ｄ＝ｅ ， 到 等号 ） ｃ 时 取 ．
（ ９ ８年上 海 市数 学竞 赛 第二 试试题 ） １７
第 ６期
东洪 平 ： 个 重要 不 等 式 的 简证 与 求 商 法 的应 用 一
・３ ・ ７
例 ２ 设 口 ６ｃｄ，＞０ ｉ ｉ：ａ ｃ ｅ≥（６如） ，，， ｅ ， Ｅａ６ｃ ｃ ｎｃ ￣ｉ （ 然， 显 这是 上 面重 要 不等式 当 ｎ＝ ５时 的特 殊情 形 ． ） 证明 （ 求商 法 ） 用
不 设 ≥ ｃ ， 詈 １ ≥， （）≥ ）１ 理 得 妨 口 ≥＞则 ≥， ０ 得詈 （ ＝同 可 ６ ｏ由 可 詈 ． （）≥ （）≥， 丁 詈 ，丁
即
（）（）（）≥ 詈丁 丁詈丁 ，
，
因此— ≥１故 。６。≥（６）￣＋（ ， 。 ｃ 。。丁ｂｃ当且 仅 当 。：６ 时 取 到等号 ） ａ ： ． ，ｂ）ｒ ａｃ —
２ 求 雨 法 及 其 厦 用
（ 当且仅当 口 ＝ｎ ＝… ＝ 时 ， 到等 号 ） 。 ： 口 取 ．
当一个不等式 （ 或等式 ） 的２边是积的形式时 ， 可用求商的方法去证明其成立 ， 这是数学 中最常用的 方法——求商法． 用求商法去证明上面的重要不等式 ， 其证明过程简单、 易懂． 数学竞赛中有几个不等式是 上面重要 不等 式 的特殊 情形 ， 如果 不 知道上 面 的重 要不 等式 ， 这样 的不等 式该 怎样证 明 呢？那 还是 用求商