考研数学(三)真题解析求数的极限

2015考研数学（三）真题解析：求函数的极限
来源：文都教育
函数极限是研究生入学考试的一个高频考点，无论是大题还是小题，都有可能出现。

2015年数三试题考察函数极限时，小题第1题以选择题的形式考察（分值4分），考察极限的敛散性的判定，小题第9题以填空题的形式考察（分值4分），考察利用等价无穷小求极限，解答题15题通过求解函数极限确定未知参数（分值为10分），考察利用泰勒公式求极限，总分18分，占12%。

老师提醒考生，在复习时，一定要熟练掌握求函数的极限。

一、回顾知识点
求函数极限的常规方法有以下几种：利用等价无穷小求极限；利用洛必达法则求极限；利用泰勒公式；利用单调有界存在准则求极限；利用夾逼存在准则求极限；利用中值定理求极限
二、真题解析
（1）设{}n x 是数列.下列命题中不正确的是
（A ）若lim n →∞x n =a ，则lim n →∞x 2n =lim n →∞
x 2n +1= a. （B ）若lim n →∞x 2n =lim n →∞x 2n +1= a ，则lim n →∞
x n = a. （C ）若lim n →∞x n =a ，则lim n →∞x 3n =lim n →∞
x 2n +1= a. （D ）若lim n →∞x 3n =lim n →∞x 3n +1=a ，则lim n →∞
x n = a. 【解析】选择（D ）
方法：举反例：1
31,31133+-=+=+n a x n a x n n ，231223++=+n a x n ， 显然a x a x x n n n n n n 2lim ,lim lim 23133===+∞→+∞
→∞→，但a x n n ≠∞→lim 。

本题主要考察数列收敛的条件，属于基础题型。

（9）2
ln(cos )lim
x x x →∞= . 【解析】211cos lim )]1(cos 1ln[lim )ln(cos lim 202020-=-=-+=→→→x x x x x x x x x 本题主要考察利用等价无穷小求极限，必须掌握常见的等价无穷小量，属于基础题型。

（15）（本题满分10分）
设函数3()ln(1)sin ,().f x x a x bx x g x kx =+++=若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小，求,,a b k 的值. 【解析】由)(3
2)1ln(33
2x o x x x x ++-=+，
)
(
6
sin
3
3
x
o
x
x
x+
-
=
得
)
(
3
)
2
(
)
1(
)
(
3
2
)
(3
3
2
3
2
3
2
x
o
x
a
x
a
b
x
a
x
o
bx
ax
ax
ax
x
x
f+
+
-
+
+
=
+
+
+
-
+
=，
因为)
(
~
)
(x
g
x
f，
所以
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
-
=
+
k
a
a
b
a
3
2
1
，解得
3
1
,
2
1
,1-
=
-
=
-
=k
b
a
本题主要是考察利用泰勒公式求极限，需要掌握常见函数的泰勒展开，在题目考察类型在以往真题出现过，文都模拟题出现过两次，相信考生一定能熟记于心。

以上是老师对2015年考研数三试题求函数极限部分的解析，希望对考生有所帮助。