控制系统的数学基础与数学模型

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2传递函数的性质(P30) 传递函数的性质(P30)
性质1 传递函数是复变量s 性质1 传递函数是复变量s的有理真分式函 m≤n，且具有复变量函数的所有性质。 数，m≤n，且具有复变量函数的所有性质。 性质2 G(s)取决于系统或元件的结构和参 性质2 G(s)取决于系统或元件的结构和参 与输入量的形式（幅度与大小）无关。 数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。 性质3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的 性质3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的 关系，但它不提供任何该系统的物理结构。 关系，但它不提供任何该系统的物理结构。 因为许多不同的物理系统具有完全相同的传 递函数。 递函数
电位器(P34) 电位器 将线位移（ 将线位移（角位 移）转变成电压 的元件。 的元件。
U (t ) = E 设K 1 =
θ θ max
E
U (t ) = E
θ (t ) θ max
θ max
则U( t ) = K 1θ 传递函数： 传递函数： U ( s) = K1 θ ( s)
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R ( s ) = L[δ (t )] = 1
c(t ) = L−1[C( s)] = L−1[G( s)R( s)] = L [G( s) • 1] = g(t )
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−1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
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Definition
•
G(s) = Y(s) / X(s) (零输入条件下 零输入条件下) 零输入条件下
Relates the output of a linear system (or component) to its input Describes how a linear system responds to an impulse All linear operations allowed
微分方程及其解的性质 物理模型(physical model) 物理模型 数学模型(mathmatical model) 数学模型
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微分方程解的形式
常微分方程： 常微分方程：
dx d x d x + a n −1 n −1 + … + a1 + a0 x = f ( t ) n dt dt dt 设初始条件为： 设初始条件为： ɺ ( 0) = x 0 , … , x n −1 ( 0 ) = x n − 1 0 ɺ ɺ ɺ x ( 0) = x 0 , x 解的形式为： 解的形式为：
x f (t ) = x f 0 (t ) + xh (t )
λ1 t
n
n −1
= x p ( t ) + (α 1 + β 1 )e
+ (α 2 + β 2 )e
λ2 t
+ … + (α n + β n )e
λn t
x 零初始解（零状态解） 零初始解（零状态解） f 0 (t ) 零输入解 xh (t ) λi 是特征值 特解 x p (t )
[
]
[
]
∫ f (t − τ)f (τ )dτ = F ( s )F ( s )
1 2 1 2 0
t
f (0+ ) = lim sF ( s )
s→∞
lim f ( t ) = lim sF ( s )
t →∞ s→0
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Laplace表
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求拉氏变换与拉氏反变换的方法
查表法(利用附录表直接求取) 查表法(利用附录表直接求取) 部分分式法 (Ci可用待定系数法求得， 可用待定系数法求得， n Ci 亦可用留数法求) 亦可用留数法求) X (s) = ∑
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测速发电机:将角速度转变为电压的装置。 测速发电机 将角速度转变为电压的装置。(P35) 将角速度转变为电压的装置
dθ ( t ) U (t ) = K f ω (t ) = K f dt
U ( s) = Kfs θ ( s)
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建立系统模型例题（P24例2-5）
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L[af1 ( t ) ± bf 2 ( t )] = aF1 ( s ) ± bF2 ( s ) d L f ( t ) = sF ( s ) − f (0± ) dt F ( s) 1 L ∫ f ( t )dt = + ∫ f ( t )dt t = 0± s s
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数学基础
The Complex Plane (review)
Imaginary axis (j)
y
r
u = x + jy
φ −φ x
r
∠u ≡ φ = tan
Real axis
−1
y x
2 2
| u |≡ r ≡| u |= x + y
−y
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u = x − jy
L[ f (t )] = F ( s ) = ∫ f (t )e dt
0
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− st
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拉氏变换定理（附录） 拉氏变换定理
Laplace Transform Properties
Addition/Scaling Differentiation Integration Convolution Initial-value theorem Final-value theorem
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2.2物理系统的微分方程描述 2.2物理系统的微分方程描述 机械系统1(P22) 机械系统1(P22)
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物理系统的微分方程描述 机械系统2
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物理系统的微分方程描述 电学系统(P21)
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建立控制系统数学模型（微分方程） 建立控制系统数学模型（微分方程）的 步骤： 步骤：
2控制系统的数学基础与数学模型 Mathmatic model of control system
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 总结
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数学基础 物理系统的微分方程描述 传递函数 方框图 信号流图
1
2.1数学基础 数学基础(basis 2.1数学基础(basis of mathmatic)
(complex) conjugate
4
数学基础
Laplace Transform
⑴ 拉氏变换定义 设函数f(t) f(t)满足 设函数f(t)满足 t<0时 ①t<0时 f(t)=0 t>0时 f(t)分段连续 ② t>0时，f(t)分段连续
∞
∫
∞
0
f (t )e
− st
dt < ∞
则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作 f(t)的拉氏变换存在， 的拉氏变换存在
画出系统的方块图； 画出系统的方块图； 列写个环节（元件）微分方程； 列写个环节（元件）微分方程； 依据物理系统的特性规律） （依据物理系统的特性规律） 消去中间变量； 消去中间变量； 整理得到包含系统输入、 整理得到包含系统输入、输出变量 关系的微分方程。 关系的微分方程。
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典型元件的微分方程与传递函数
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4几点说明 几点说明
A( s ) a m s m + ... + a1 s + a0 （ s − z1 ）（s − z 2 ⋯ s − z m） ）（ G( s) = = = K* B( s ) bn s n + ... + b1 s + b0 （s − p1 ）（s − p2 ⋯ s − pn） ）（
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2.3传递函数 传递函数Transfer Function(P29) 传递函数
是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中 引申出来的概念。 引申出来的概念。 微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学 模型，在给定外作用和初始条件下， 模型，在给定外作用和初始条件下，解微分方 程可以得到系统的输出响应。 程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数 变化时分析较麻烦。 变化时分析较麻烦。 用拉氏变化法求解微分方程时， 用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制 系统在复数域的数学模型 传递函数。 复数域的数学模型－ 系统在复数域的数学模型－传递函数。 定义：线性定常系统的传递函数， 1定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初 始条件下， 始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的 拉氏变换之比。 拉氏变换之比。
•
Scaling, addition, multiplication
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3传递函数零点与极点 传递函数零点与极点(P32) 传递函数零点与极点
（s − z1）（s − z2）（s − zm） A( s ) am s m + ... + a1s + a0 ⋯ F ( s) = = = K* （s − p1）（s − p2）（s − pn） ⋯ B( s ) bn s n + ... + b1s + b0 A( s ) = am s m + ... + a1s + a0 B( s ) = bn s n + ... + b1s + b0 Poles : s* ∋ B ( s*) = 0 (So , F ( s*) = ∞)， 极点：微分方程的特征根, 决定系统的运动模态 Zeroes : s* ∋ A( s*) = 0 (So , F ( s*) = 0) 零点：决定运动模态的比重，零极点越近，表明该极点的模态所占比重越大 Poles and zeroes are complex Order of system = # poles = n
二阶复合微分环节
G ( s ) = τ 2 s 2 + 2ξτs + 1
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术语
零极点型，首系数为1型
A( s ) a m s m + ... + a1 s + a0 （ s − z1 ）（s − z 2 ⋯ s − z m） ）（ G( s) = = = K* =K n B( s ) bn s + ... + b1 s + b0 （s − p1 ）（s − p2 ⋯ s − pn） ）（
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传递函数的性质
性质4 性质4 如果G(s)已知，那么可以研究系统在各 如果G(s)已知， G(s)已知 种输入信号作用下的输出响应。 种输入信号作用下的输出响应。 性质5 如果系统的G(s)未知， G(s)未知 性质5 如果系统的G(s)未知，可以给系统加上 已知的输入，研究其输出， 已知的输入，研究其输出，从而得出传递函 一旦建立G(s) G(s)可以给出该系统动态特性 数，一旦建立G(s)可以给出该系统动态特性 的完整描述，与其它物理描述不同。 的完整描述，与其它物理描述不同。 传递函数数学模型是（表示） 传递函数数学模型是（表示）输出变量和输入变 量微分方程的运算模型（ 量微分方程的运算模型（operational mode） mode）.
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5典型环节的传递函数 典型环节的传递函数
比例环节 微分环节
G (s) = K
G( s) = s
1 G( s) = 积分环节 s 1 G( s) = 惯性环节 Ts + 11 振荡环节 G ( s ) = 2 2 T s + 2ξTs + 1 一阶复合微分环节 G ( s ) = τs + 1
i =1
S − Pi
留数法
无重根 C i = Lim[( S − Pi ) X ( s )] s→ P 有重根 1 dj
i
i = 0,1,2 ⋯n
r
Cr− j =
j! dS j
[
X ( s )( s + P1 ) S = -P1
]
j = 0,1,2⋯ r − 1
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传递函数反映系统自身的固有特性，由结构参数决定， 传递函数反映系统自身的固有特性，由结构参数决定， 而与系统输入无关。 而与系统输入无关。 一般物理上可实现的系统均有n≥m。 一般物理上可实现的系统均有 。 L-1[G(s)]=g(t)(传递函数的拉氏反变换即为系统的单位 传递函数的拉氏反变换即为系统的单位 脉冲响应)。 脉冲响应 。 只能在零初始条件下使用传递函数的概念。 只能在零初始条件下使用传递函数的概念。即系统中 若有贮能元件时其初始贮能必须释放掉以后才能利用 传函来进行理论分析。 传函来进行理论分析。
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传递函数的性质
性质6 性质6
传递函数与微分方程之间有关系。 传递函数与微分方程之间有关系。
G(s) = C(s) R(s)
d 置换 如果将 S ⇔ dt
传递函数 ⇔ 微分方程
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传递函数的性质
性质7 传递函数G(s) G(s)的拉氏反变换是 性质7 传递函数G(s)的拉氏反变换是 脉冲响应g(t) g(t)。 脉冲响应g(t)。 脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统 脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统 在单位脉冲输入时的输出响应。 在单位脉冲输入时的输出响应。