话说二次函数图象与系数abc的关系

话说二次函数图象与系数a 、b 、c 的关系

河北 刘兴宝

二次函数y=ax 2

+bx+c(a ≠0)的系数a 、b 、c 与其图象抛物线的位置及形状有密切联系。因此，在中考试卷中出现的概率比较大，本文就2008年《中学数学教学参考》第1—2期刊登的四川省威远县第一初级中学白飞老师撰写的《函数及其图象：二次函数》一文中的例2为例加以说明。

例：（2007年，天津市）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：

① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ）

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

在贵刊之中刊登的白老师的这篇文章中，给出的答案是：

解析：（1）由开口向下可知a ＜0, 结合由对称轴x=﹣a

b 2=1，可知，b ＞0，再由函数图象与y 轴交于正半轴可知

c ＞0，所以，① 0>abc 是正确的；（2）当x=1时，y ＜0，即a －b+c ＜0，所以，② c a b +<是错误的；（3）根据对称性可知当x=2时，y ＞0，即4a+2b+c ＞0,所以③ 024>++c b a 是正确的；（4）又a －b+c ＜0和a=﹣2b ，所以﹣2

b －b +

c ＜0，可得2c ＞3b ，所以④ b c 32<是错误的；（5）当x=1 时，y=a+b+c 有最大值，当x=m 不等于1时，y=c mb a m ++2;所以，a+b+c ＞c mb a m ++2

,可得⑤ )(b am m b a +>+也是正确的。因此，选择B 。

在上述解答给出的答案中，我认为有两处地方有待于磋商：

第一：① 0>abc 应该是错误的。因为，由抛物线开口向上知a ＜0；由抛物线的对称轴在y 轴右侧知：﹣a b 2＞0，即a

b 2＜0，a 、b 异号，所以，b ＞0；由抛物线与y 轴交于正半轴可知

c ＞0，在a 、b 、c 这三个中有两个符号是同号为正，一个为负号， 所以① 0>abc 是错误的；

第二：④ b c 32<应该是正确的。因为，由b=﹣2a ，a －b+c ＜0得，（﹣2

b ）－b +

c ＜0，即，b c 32<，所以，④ b c 32<是正确的；

除此以外：②、③、⑤的解答都是正确的。所以错误的有：①和②，因此，正确的有3个，故，应该选择B 。

例说二次函数图象与系数的关系（图）

y=ax2+bx+c

耀华中学高宏柏白丽娜

在学习二次函数的图象及其性质时，经常会遇到二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系问题，这类问题比较综合、灵活，很多同学考虑不全面，失分率比较高，甚至有的同学无从下手，特别是初学者尤为明显。下面就以3道题为例来说明这类问题的解答对策：

例1．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示。若

M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|，则下列判断正确的是（）

（A）M>0 （B）M=0

（C）M<0 （D）不能确定

分析：由图象逐步分析系数a、b、c

(1)开口方向确定a的符号：开口向上，a>0

(2)对称轴x=-■的位置确定b的符号：0<-■<1，b<0，且2a+b>0；

(3)与y轴交点确定c的符号：与y轴交于负半轴，c<0

(4)与x轴交点个数确定Δ的符号：有两个交点，Δ>0

(5)特殊点的位置：点（1，a+b+c）在x轴下方，则a+b+c<0；点（-1，a-b+c）在x 轴上方，则a-b+c>0

解：点（1，a+b+c）在x轴下方→a+b+c<0；

点（-1，a-b+c）在x轴上方→a-b+c>0；

开口向上→a>0；

对称轴0<-■<1→b<0，2a+b>0；

所以，M=-a-b-c-a+b-c+2a+b-2a+b

=-2a+2b-2c

=-2(a-b+c)>0

我们在解决二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系问题时，通常要考虑以上5

个方面，在考虑特殊点的位置时，可能还会有其他的情况，如（2，4a+2b+c）等等。请看下面的例题：

例2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（－1，2）、（1、0），给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1。其中正确结论的序号是

分析：针对①，开口向上，a>0；对称轴在y轴右侧，b<0；与y轴交于负半轴，c<0，所以abc>0，①错误。

针对②，对称轴x=-■<1，且a>0→2a+b>0，②正确。

针对③，x=1时，y=a+b+c=0

x=-1时，y=a-b+c=2

两式相加，得a+c=1，③正确。

针对④，由a>0，c<0，a+c=1→a>1，④正确。

所以，②③④正确。

可以看出，从上面5个方面入手还是很奏效的。请再看下面一道例题：

例3．y=ax2+bx与y=ax+b在同一坐标系中的位置大致是（）

分析：首先y=ax2+bx中无常数项，故图象过原点，所以B错误。

A中由y=ax2+bx图象得a>0，b=0；与y=ax+b图象中b>0不符；

D中由y=ax2+bx图象得a>0，b>0；与y=ax+b图象中a<0，b<0不符；

故选C。

反思：在解这道题时，主要是由二者的图象分析系数的一致性，我们就顺利得到了答案。但是二次函数y=ax2+bx与一次函数y=ax+b的图象都过x轴上的同一点，这一点你注意到了吗？它有用吗？