高考理科数学复习题解析 用样本估计总体

高考数学复习 第二节 用样本估计总体

[考纲传真] 1.了解分布的意义与作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释.4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．理解用样本估计总体的思想，会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．

1．作频率分布直方图的步骤

(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；

(2)决定组距与组数；

(3)将数据分组；

(4)列频率分布表；

(5)画频率分布直方图．

2．频率分布折线图和总体密度曲线

(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．

(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．

3．茎叶图的优点 茎叶图的优点是不但可以记录所有信息，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便.

注意：茎叶图中茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．

4．样本的数字特征

(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．

(2)中位数：把n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．

(3)平均数：把a 1＋a 2＋…＋a n n

称为a 1，a 2，…，a n 这n 个数的平均数． (4)标准差与方差：设一组数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为–

x ，则这组数据的标准差和方差分别是

s ＝1n ⎣⎡

⎦⎤x 1－–

x 2＋x 2－–x 2＋…＋x n －–x 2 s 2＝1n ⎣⎡⎦

⎤x 1－–x

2＋x 2－–x 2＋…＋x n －–x 2 [常用结论] 1．频率分布直方图的3个结论

(1)小长方形的面积＝组距×频率组距

＝频率． (2)各小长方形的面积之和等于1.

(3)小长方形的高＝频率组距，所有小长方形高的和为1组距

. 2．平均数、方差的公式推广

(1)若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为–

x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，mx 3＋a ，…，mx n ＋a 的

平均数是m –

x ＋a.

(2)数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2

.

①数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差也为s 2；

②数据ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2.

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．

( )

(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中. ( )

(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越高．

( )

(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次． ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×

2．(教材改编)一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为( )

A ．4

B ．8

C ．12

D ．16

B [设频数为n ，则n 32＝0.25，∴n ＝32×14

＝8.] 3．(教材改编)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )

A ．91.5和91.5

B ．91.5和92

C ．91和91.5

D ．92和92

A [∵这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96， ∴中位数是91＋922＝91.5，平均数–

x ＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968

＝91.5.] 4．某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55)，[55,60]，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的有________人．

48 [由频率分布直方图可知45岁以下的教师的频率为5×(0.040＋0.080)＝0.6，所以共有80×0.6＝48(人)．]

5．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．

0.1 [5个数的平均数–x ＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，所以它们的方差s 2＝15

[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2

]＝0.1.]

茎叶图的应用

1此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为 ( )

A ．117

B ．118

C ．118.5

D ．119.5

B [22次考试中，所得分数最高的为98，最低的为56，所以极差为98－56＝42， 将分数从小到大排列，中间两数为76,76，所以中位数为76，

所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为42＋76＝118.]