第五章 二次曲线的一般理论

F ( x, y) a11x2 2a12 xy a22 y2 2a13x 2a23 y a33 ⑴
x
y
x0 y0
Xt
Yt
⑵
( X ,Y )t 2 2[F1( x0 , y0 ) X ⑷ F2 ( x0 , y0 )Y ]t F ( x0 , y0 ) 0
2. ( X ,Y ) 0，这时又可分三种情况：
分量成比例，则称这二向量是平行的。
⑵ 复直线：
在直角系下,一次方程ax+by+c=0(a,b为复数)所表示的图 形,称为复直线;若a,b,c与三实数对应成比例,则称其为实直 线,否则称其为虚直线。注意:实直线可以有虚点。
注：实直线上有无穷多个复点，但虚直线上只有一个
实点。
⑶ 定比分点：
设有 M1 ( x1， y1 ), M 2 ( x2 ， y2 ),若点 M（x,y）的坐标满点
教学难点：
二次曲线与直线位置的判别方法。
二次曲线的一般理论前言
在平面上，由二元二次方程
a11x2 2a12 xy a22 y2 2a13x 2a23 y a33 0
所表示的曲线，叫做二次曲线。在这一章里，我们将 讨论二次曲线的几何性质，以及二次曲线的化简，最后 对二次曲线进行分类。
一 平面上的复元素
y)
2x
1 2
y
1 2
,
F2
( x,
y)
1 2
x
y
1
F (x, y) 2x 2 xy y2 x 2 y 1
将直线
x y 1 0
化为参数形式
x 1 t
y
t
得: X :Y 1:1 , ( x0 , y0 ) 为(1,0),
因为:
(1,1) 0
3 , F1( x0 , y0 ) F1(1,0) 2
( X ,Y )t 2 2F1( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 )Y t F ( x0 , y0 ) 0 ⑷
对⑶或⑷可分以下几种情况来讨论：
1. (X ,Y ) 0。此时(4)是关于t 的二次方程,
F1( x0, y0 ) X F2 ( x0, y0 )Y 2 ( X ,Y )F ( x0, y0 )
1 0. 方程(4)有两个不等的实根t1与 t2，代入 (2)得 直 线(2)与 二 次 曲 线(1)的 两 个 不 同 的 实 交 点 。
2 0. 方程(4)有两个相等的实根t1与 t2, 直线 (2)与 二 次 曲 线(1)有 两 个 相 互 重 合 的 实 交点 。
3 0. 方程(4)有两个共轭的虚根, 直线(2)与 二 次 曲 线 交 于 两 个 共 轭的 虚 点 。
以
P1
(
x1,
y1
)为始点,
P2
(
x2
,
y2
)为终点的复向量定
义为: P1P2 = ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ，其中 x2 - x1 ，y2 - y1
称为它的分量，记作 P1 P2 { x2 - x1 ， y2 - y1 }，分量不全为
实数的向量称为虚向量，否则称为实向量；若二向量的对应
对应分量为共轭复 数，则称这二向量为共轭复向量。
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注：在复平面上无法推广实平面上的距离公式，这是
因为，在实平面上 d²=（ x2 - x1）²+（ y2 - y1 ）²而在复平
面上，公式右端为一复数，其平方根有两个地位均等的值， 无法确定其中一个为二点间的距离。
三 为了方便起见，特引进一些记号：
F (x, y) a11x2 2a12xy a22 y2 2a13x 2a23 y a33
由弦
M1 MFF212((
的x0,任y0意) 性a1,1 x0 , y0 ) a12
x∴0 x0
aaF12221
F1(x, y) a11x a12 y a13
F2 (x, y) a12x a22 y a23
F3 (x, y) a13x a23 y a33
(x, y) a11x2 2a12 xy a22 y2
a11 a12 a13 A a12 a22 a23
a13 a23 a33
( X ,Y )t 2 2[F1( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 )Y ]t F ( x0 , y0 ) 0
的根，而定理x5y0.02.1((xy0点0 Ctt1(1XYx）0）,y22（（0)是yx00 二 tt次22YX）曲）线yx(010)的t1t1中22t心t22Y，X 其充 要t1条 t件2 是0,：F1( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 )Y 0 ,
与直线
x x0 Xt
y
y0
Yt
…………………………⑵
的交点，可以采用把直线方程⑵代入曲线方程⑴然
后讨论关于t 的方程。
(a11X 2 2a12 XY a22Y 2 ) t 2 2{(a11x0 a12 y0 a13)X (a12 x0 a22 y0 a23)Y} t (a11x02 2a12 x0 y0 a22 y02 2a13x0 2a23 y0 a33) 0 ⑶
⑶当或I 2Y:
0 时，曲线有二相同实渐近方向。 X (a12 I2 ) : a22 (a22 0)
事实上， X :Y 为渐近方向 ( X ,Y ) 0
或 X :Y 1:a01(1或X02:1) 2a(1a21X2 Y0, aa1122Y02, a120 0)
1
可见，对椭圆
x2 y2 a2 b2
x
y
x0 y0
Xt
Yt
⑵
( X ,Y )t 2 2[F1( x0 , y0 ) X ⑷ F2 ( x0 , y0 )Y ]t F ( x0 , y0 ) 0
例 求直线 x y 1 0 与二次曲线 2x 2 xy y 2 x 2 y 1 0 的交点。
解:
F1 ( x,
a11
(
X Y
)2
2a12
X Y
a22
0
(a11 0)
或命题a2：2 (任YX一)2二次2a曲12线YX至多a有11 二 渐0 近(方a2向2 ，0具) 体地
⑴当或I 2
a12
Xa1Y1 a 21
a012 a 22
(a011时，0,曲a1线2 有0二, a共12轭复0)渐近方向；
⑵当XI 2:Y 0 时(，a12曲线有 I二2 不) :同a11实渐(a近11 方 向0)；
F2
(x0
,
y0
)
F2
(1,0)
3 2
, F(1,0) 0
所以直线在二次曲线上，即直线上所有点均为交点。
§5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线
教学目标：
⑴理解二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念； ⑵掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线的求法； ⑶能根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。
教学重点：
⑶弄清移轴变换和转轴变换对二次曲线方程系数的影响规 律，以及这两种坐标变换在化简二次曲线方程中所起的作 用；
⑷能判别二元二次方程所表示的曲线的类型，熟练地化简 二次曲线方程，并写出相应变换关系式，作出其图形。
教学重点： ⑴二次曲线由渐近方向、中心、标准方程得出的不同分类 方法；
⑵二次曲线方程的化简、分类与作图。
二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念及求法。
教学难点：
根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。
§5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线
1.二次曲线的渐近方向
定义5.2.1 满足条件Φ(X,Y)=0的方向X:Y叫做二
次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向。
命题：任一二次曲线至多有二渐近方向，具体地
⑴当 I 2
即:⑴椭圆型:I2>0；⑵抛物型:I2＝0；⑶双曲型:I2<0 2. 二次曲线的中心与渐近线
定义5.2.3 如果点C是二次曲线的通过它的所有弦 的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次 曲线的中心。
定理5.2.1 点C(x0 ,y0)是二次曲线(1)的中心，其充 要条件是：
FF21((
x0 , x0 ,
1 F1( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 )Y 0。此 时(4)是 关 于 t 的 一 次 方 程,直 线(2)与 二 次 曲 线(1)有 唯 一 实交点。
2 F1( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 )Y 0。而F ( x0 , y0 ) 0。(4)是矛盾方程,直线(2)与二次曲线(1)无交点。
教学难点： 移轴变换和转轴变换对二次曲线方程系数的影响规律及其 在化简二次曲线方程中所起的作用。
§5.1 二次曲线与直线的相关位置
教学目标：
⑴了解复平面的特征； ⑵熟记二次曲线方程中的有关记号； ⑶掌握二次曲线与直线的相关位置及判别方法。
教学重点：
二次曲线方程中的有关记号及二次曲线与直线的 相关位置。
x x1 x2 , y y1
1
1
分点,λ-定比, 特别地,
y2 ( M1M
1) ,则称 M 为线段 M1
2
的中点为(
x1
2
x2
,
y1
2
M y2
的定比
2
)。
⑷ 共轭复元素：
若 x1与 x2 ，y1 与 y2 分别为共轭复数，则称 P（ x1 , y1 ） 与 P （ x2 ， y2 ）为一对共轭复点。显然实点与其自身共 轭；二共轭复点连接线段的中点为实点。若二直线li ： a i x+ bi y+ ci =0，i =1，2 满足 a1 与 a2 共轭， b1 与 b2 共轭， c1 与 c2 共轭，则称 l1 与 l2 是一对共轭复直线，若二向量的
3 F1( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 )Y F ( x0 , y0 ) 0. 此 时(4)是 恒 等 式, 直 线(2)全 部 在 二 次 曲 线(1)上 。
F ( x, y) a11x2 2a12 xy a22 y2 2a13x 2a23 y a33 ⑴
I1 a11 a22
a11 a12 a13 I3 a12 a22 a23
a13 a23 a33
A*
a11 a12
a12 a22
I2
a11 a12
a12 a22
K1
a11 a13
a13 a22 a33 a23
a23 a33
二次曲线与直线的相关位置
讨论二次曲线
F ( x, y) a11x2 2a12 xy a22 y2 2a13 x 2a23 y a33 …⑴
a11 a 21
a12 0 时，曲线有二共轭复渐近方向； a 22
⑵当 I 2 0 时，曲线有二不同实渐近方向；
⑶当 I 2 0 时，曲线有二相同实渐近方向。
事实上，X :Y 为渐近方向 (X ,Y ) 0
a11 X 2 2a12 XY a22Y 2 0
a11 X 2 2a12 XY a22Y 2 0
第五章 二次曲线的一般理论
主要内容
• ⑴二次曲线与直线的相关位置 • ⑵二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 • ⑶二次曲线的切线 • ⑷二次曲线的直径 • ⑸二次曲线的主直径与主方向 • ⑹二次曲线方程的化简与分类 • ⑺用不变量化简二次曲线的方程
第五章教学要求
教学目的： ⑴了解复平面的特征；
⑵掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线、直径 、主方向和主直径概念及求法；
y0 ) y0 )
a11 a12
x0 x0
a12 a22
y0 y0
a13 a23
0 0
(*)(5.2 1)
证：“ ”设 C( x0 , y0 )是中心，而 M1 M 2 是过 C 的任一
弦，该弦所在直线
l：
x
y
x0 y0
tX tY
，
( X
,Y
)
0
令 Mi ( x0 + ti X , y0 + ti Y)，i =1,2，则 t1 , t2 是方程
设在平面上建立了一个直角坐标系{O ; i , j} ，今将
平面上点的概念扩充如下：任意一对有序复数（x, y）都
是平面上一点 P 的坐标，若 x, y 全为实数，则称 P 为实
点，否则称 P 为虚点，实点和虚点统称为复点。点的概
念扩充以后，原来的实平面即变为复平面。
今在复平面上引入下列复元素
⑴ 复向量：
1 ，∵
I2
a2 0
∴它有二共轭复渐近方向；
0 1
1 a2b2
0
b2
对双曲线
x2 a2
y2 b2
1 ，∵
I2
1 a2b2
0
∴它有二不同实渐近方向；
对双曲线 xy 1 ，∵
I2
1 4
0
∴它也有二不同实渐近方向；
对抛物线 y2 2 px ，∵
0 I2 1
0 0
0
∴它有二相同的实渐近方向；
定义5.2.2 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆 型的,有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的, 有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的。