多元函数的基本概念极限和连续性

多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质
思考题
若点( x, y)沿着无数多条平面曲线趋向于 点( x0 , y0 )时，函数 f ( x, y)都趋向于 A，能否 断定 lim f ( x, y) A？
( x , y )( x0 , y0 )
思考题解答
不能.
例
f
(x,y) Nhomakorabea(
x3 y2 x2 y4
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为E 的导集 .
若点 ，则称
的x0某一个邻域内除点 为点x0集E的孤立点。
外x其0 余各点都不属于E
内点一定是聚点；
边界点可能是聚点；（孤立点是边界点，但不
是聚点）
例如 {( x, y) | x2 y2 1}
边界上的点都是聚点也都属于集合．
例如 {( x, y) | 0 x2 y2 1}
n维空间中邻域、区域等概念
邻域： U (P0 , ) P | PP0 | , P Rn
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
二 、二元函数的定义
设 D是平面上的一个点集，如果对于每个点
P( x, y) D，变量z按照一定的法则总有确定的值 和它对应，则称z是变量 x, y的二元函数，记为 z f ( x, y)（或记为z f (P)）。
lim f (P) A.
P P0
四、多元函数的连续性
定义3 设n 元函数 f ( P ) 的定义域为点集D, P0
是其聚点且
P0
D
，如果
lim
P P0
f (P)
f ( P0 )
则称n 元函数 f ( P ) 在点P0 处连续.
设 P0是函数 f (P)的定义域的聚点，如果 f (P)在点 P0处不连续，则称 P0是函数 f (P)的
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
(2) 聚点
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称P 是E 的聚点.
聚点可以属于E , 也可以不属于E (因为聚点可以为
例3
求极限
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
.
y0
解
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
y0
lim
x0
sin( x2 x2 y
y)
x2 y x2 y2
,
y0
其中
lim
x0
sin( x
x2 2y
y
)
y0
u x2 y sin u
lim 1, u0 u
x2 y x2 y2
1x 2
t 0
t0 1 / t t0
所以 limt ln t 0 即lim x2 y2 ln(x2 y2 ) 0
t 0
x0 2
y0
从而 lim xy ln(x2 y2 ) 0， 故 lim(x2 y2 )xy e0 1
x0
x0
y0
y0
一、 填空题:
练习 题
1、 若 f ( x, y) x 2 y 2 xy tan x ,则 f (tx, ty) =____. y
为二元函数的图形.
（如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面.
例 描绘下列函数的图形 (1) z=x2 y2 (2) z2 x2 y2
例如, z sin xy 图形如右图.
例如, x2 y2 z2 a2
z
左图球面.
D {(x, y) x2 y2 a2}.
o
y
单值分支: z a2 x2 y2
z f ( x, y)当 x x0， y y0时的极限， 记为 lim f ( x, y) A
x x0 y y0
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 |）.
说明：
（1）定义中 P P0 的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x, y); x x0 y y0
x
z a2 x2 y2.
三、多元函数的极限
定 义 1 设 函 数 z f (x, y) 的 定 义 域 为 D, P0 ( x0 , y0 )是其聚点，如果对于任意给定的正
数 ，总存在正数 ，使得对于适合不等式 0 | PP0 | ( x x0 )2 ( y y0 )2 的 一 切 点，都有| f ( x, y) A | 成立，则称 A 为函数
lim
x0
x2
kx 2 k2
x2
ykx
1
k k
2
其值随k的不同而变化， 极限不存在．
故函数在(0,0)处不连续．
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D
上至少取得它的最大值和最小值各一次．
（2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如
果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上 取得介于这两值之间的任何值至少一次．
x0 0,
lim
x0
sin( x2 y) x2 y2
0.
y0
例4
证明
lim
x0
x3 y x6 y2
不存在．
y0
证 取 y kx3,
lim
x0
x
x3 y 6 y2
lim x0
x3 kx3 x6 k2x6
1
k k
2
,
y0
ykx3
其值随k的不同而变化，
故极限不存在．
确定极限不存在的方法：
利用点函数的形式有n元函数的极限
定义 2 设 n元函数 f (P)的定义域为点集
D, P0是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，
总存在正数 ，使得对于适合不等式 0 | PP0 | 的 一 切 点 P D ， 都 有 | f (P) A | 成立，则称 A 为n元函数 f (P) 当 P P0时的极限，记为
说明：
n维空间的记号为 Rn;
n维空间中两点间距离公式
设两点为 P( x1, x2 ,, xn ), Q( y1, y2 ,, yn ), | PQ | ( y1 x1 )2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 .
特殊地当 n 1, 2, 3 时，便为数轴、平面、
空间两点间的距离．
点集 (x, y) x 1是开集， 1O 1 x
但非区域 .
• 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域 , 否则称为无 界域 .
（4）n维空间
设 n为取定的一个自然数，我们称 n元数组 ( x1 , x2 ,, xn )的全体为 n维空间，而每个 n元 数组( x1 , x2 ,, xn )称为n维空间中的一个点， 数 xi称为该点的第 i 个坐标.
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
例2
求证lim( x2 x0
y2 )sin
x2
1
y2
0
y0
证
(x2
y2 )sin
x2
1
y2
0
x2
y2
sin
x2
1
y2
x2 y2
0, ,
当 0 ( x 0)2 ( y 0)2 时，
(x2
y2 )sin
x2
1
y2
0
原结论成立．
点 P0
处连续，于是 lim P P0
f (P)
f (P0 ).
例７ 求 lim xy 1 1.
x0
xy
y0
解 原式 lim xy 1 1 lim
x0 xy( xy 1 1) x0
y0
y0
1 xy 1 1
1. 2
五、小结
多元函数的定义 多元函数极限的概念
（注意趋近方式的任意性）
（1） 令 P( x, y)沿 y kx趋向于 P0 ( x0 , y0 )，若 极限值与k 有关，则可断言极限不存在；
（2）找两种不同趋近方式，使lim f ( x, y) 存在， x x0 y y0 但两者不相等，此时也可断言 f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 )处极限不存在．
一、 区域
1. 邻域 点集
例如,在平面上,
PP0 δ 称为点 P0 的 邻域.
U ( P0 , δ ) (x, y)
在空间中,
U ( P0 , ) (x, y, z )
(圆邻域)
(球邻域)
说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 U ( P0).
点 P0 的去心邻域记为
0 PP0 δ
在讨论实际问题中也常使用方邻域, 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含.
• 开区域连同它的边界一起称为闭区域.
例如，在平面上
(x, y) x y 0
开区域
(x, y) 1 x2 y2 4
(x, y) x y 0
闭区域
(x, y) 1 x2 y2 4
y
y
y
O
x
y
O 1 2x
O
x
O 1 2x
整个平面 是最大的开域 ,
y
也是最大的闭域 ;
多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
一般地，求 lim f (P) 时，如果 f (P) 是初等函 P P0
数，且 P0 是 f (P ) 的定义域的内点，则 f (P ) 在
间断点.
例5
讨论函数
f
( x,
y)
x3
x
2
y3 y2
,
( x, y) (0,0)
0,
( x, y) (0,0)
在(0,0)处的连续性．
解 取 x cos ,
y sin
f ( x, y) f (0,0)
(sin3 cos3 ) 2
0, , 当 0 x2 y2 时
2
f ( x, y) f (0,0) 2
lim f ( x, y) f (0,0),
( x, y )(0,0)
故函数在(0,0)处连续.
例6 讨论函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
y2
,
x2 y2 0
0,
x2 y2 0
在(0,0)的连续性．
解 取 y kx
lim
x0
x
2
xy
y
2
y0
。P0
平面上的方邻域为
U (P0,δ ) (x, y)
2. 区域
(1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P :
PE
• 若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,
则称 P 为 E 的内点；
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
• 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
x0 x y
y0
解: 利用ln(1 xy) ~ xy ( (x, y) (0,0) )
lim x ln(1 xy) lim x2 y y x x
x0 x y x0 x y
y0
y0
1,
lim
(x2
x3
)
0,
x0
,
所以极限不存在.
3
2. 求 lim(x2 y2 )xy x0 y0
点集D称为函数的定义域，x, y称为自变量，z称为 因变量，数集{z z f (x, y), (x, y) D}称为值域。
类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2时，n 元函数统称为多元函数.
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念.
例1 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域． x y2
解
3 x2 y2 1
x y2 0
2 x2 y2 4
x
y2
所求定义域为 D {(x, y) | 2 x2 y2 4, x y2}.
（6） 二元函数 z f ( x, y)的图形
设函数z f ( x, y)的定义域为 D，对于任意 取定的 P( x, y) D，对应的函数值为 z f ( x, y)，这样，以 x为横坐标、 y 为纵坐 标、z为竖坐标在空间就确定一点 M( x, y, z)， 当 x, y 取遍 D上一切点时，得一个空间点集 {( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}，这个点集称
(0,0)既是边界点也是聚点但不属于集合
(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
• 若点集 E E , 则称 E 为闭集；
• 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 ,
则称 D 是连通的 ;
D
• 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;
解 lim(x2 y2 )xy lim exyln(x2 y2 )
x0
x0
y0
y0
又 0 xy ln(x2 y2 ) x2 y2 ln(x2 y2 )
2
令 x2 y2 t, 当 (x, y) (0,0) 时有 t 0，
又 limt ln t lim ln t lim(t) 0
)2
,
( x, y) (0,0)
取 y kx,
f
(
x,
kx)
(
x3 k2x2 x2k4 x4 )2
x0 0
但是 lim f ( x, y) 不存在.
( x , y )(0,0)
原因为若取x y2,
f
(
y
2
,
y)
(
y6 y4
y2 y4
)2
1 4
.
练习
ln(1 xy)
1. lim x
是否存在？