论模n剩余类环Z_n的性质与扩张

s - t = nk, s = t + nk
如果 ( t, n ) = d > 1, 则由上式可知 , d 是 s与 n 的一个公因数 , 这与 ( s, n ) = 1 矛盾 。 因此 ( t, n ) = 1。 定理 2114 设 0 ≠ s ∈ Z n , 则
( 1 ) s是 Z n 中的可逆元 Ζ ( s, n ) = 1; ( 2 ) s不是 Z n 中的可逆元就是零因子 。
2008 年 8 月 第 27 卷 第 8期
绵阳师范学院学报 Journal of M ianyang Nor mal University
Aug . , 2008 Vol . 27 No. 8
论模 n 剩余类环 Zn 的性质与扩张
唐再良
(绵阳师范学院数学与计算机科学学院 ,四川绵阳 621000)
自 1910 年狄德金和克隆尼克共同创立环论以来 , 学者们就对各种环进行了深入系统的研究 , 并开辟了 许多新的研究领域 , 取得了许多有意义的研究成果 。 模 n剩余类环就是其中研究比较透彻的一种特殊的环 。 模 n的剩余类环为有限可换环 、 整环及域都提供了丰富的例证 , 但其性质散见于各种论著之中 , 本文特以从 模 n 剩余类环的定义出发 , 对模 n 剩余类环的基本性质进行系统的论述 , 并在此基础上 , 集中讨论模 n 剩余 类环的一般性质 , 同时给出模 n 剩余类环的一些有意义的扩张性质及其证明 。
i + j = i 百度文库 j, i j = ij, 则 Z n 关于这两个运算做成一个环 , 且是一个具有单位元的交换环 , 称之为以 n为模的剩
余类环 , 或简称模 n 剩余类环 。 定义 2 对任意 i ∈ Z n , 若类 i中有一个整数与 n互素 , 则这个类中所有整数均同 n互素 , 因此称类 i与 n 互素 。 定义 3 称环 Z n 的一个非空子集 A 叫做 Z n 的一个理想子环 , 假如 : ( i) [ a ] ∈ A, [ b ] ∈ A ] [ a - b ] ∈ A;
摘 要 : 从模 n 剩余类环的定义出发 , 系统论述了模 n 剩余类环的基本性质 , 并利用定义和基本性质对模 n 剩余类环的一般性质进行了深入的讨论 , 同时给出了模 n 剩余类环的一些有意义的扩张性质及其证明 。 关键词 : 模 n 剩余类环 ; 基本性质 ; 扩张性质 中图分类号 : 015313 文献标识码 : A 文章编号 : 1672 2 612x ( 2008 ) 08 2 0006 2 06
( ii) [ a ] ∈ A, [ b ] ∈ Z n ] [ b ] [ a ], [ a ] [ b ] ∈ A.
在代数运算中 , 我们都知道若 a = 0, b = 0, 则必有 ab = 0, 相反若 ab = 0, 则必有 a = 0或 b = 0成立 , 而在环中是否还存在这样的运算性质呢 ? 我们有 定义 4 模 n 剩余环 Z n 中 , 如果任意元 [ a ] ≠ 0, [ b ] ≠ 0, 但 [ ab ] = 0, 那么称 [ a ] 为 Z n 的一个左零 因子 , [ b ] 为 Z n 的一个右零因子 , 若 Z n 的左零因子与右零因子都为 [ a ], 则称 [ a ] 为 Z n 的零因子 。 定义 5 一个环 < Z n , +, ・> 中若有元素 e使得 Π [ a ] ∈ Z n , 有 [ e ] [ a ] = [ a ] [ e ] = [ a ], 那么称元 素 [ e ] 叫做环〈 Z n , +, ・ 〉 的单位元 , 记为 1R。 在模 n 剩余环 Z n 中 , 1R 为 [ 1 ]. 定义 6 在环〈 Z n , +, ・ 〉 中 , 如果 Π [ a ] ∈ Z n , 满足 :任意 Π [ b ] ∈ Z, 有 [ a ] [ b ] = [ b ] [ a ] = 1R , 则
0 预备知识
在一个集合 Z 里 , 固定 n ( n 可以是任何形式 ) , 规定 Z 的元间的一个关系 R, aR b, 当而且只当 n | a - b 的时候 。 这里 , 符号 n | a - b表示 n能整除 a - b。 这显然是一个等价关系 。 这个等价关系普通叫做模 n的同余关 系 , 并且用 a ≡ b ( n ) 来表示 。 等价关系决定了 Z 的一个分类 。 这样得来的类叫做模 n的剩余类 。 下面列出文献 [ 1 ]、 [ 2 ]、 [ 3 ]、 [ 4 ]中 本文将要用到的几个主要概念 。 定义 1 任取正整数 n, 令 Z n = { 0, 1, 2, …, n - 1 } , 即 Z n 为 n个剩余类的集合 , 对任意 i, j ∈ Z n , 规定
收稿日期 : 2008 2 04 2 16 作者简介 : 唐再良 ( 1958 - ) ,男 ,教授 ,主要研究方向 : 环论与符号计算 。
第 8期 称 [ a ]是 定义 ) 环 , 其中 定义
唐再良等 : 论模 n剩余类环 Z n 的性质与扩张
Z n 中的可逆元 , 且 [ b ] 为 [ a ] 的逆元 。
a
所以 ( [ i ] ) 做为一个理想 , 显然 ( [ i ] ) 是主理想 。 由定理 219的证明过程可以看出 :所有循环子群 (对加法 ) 加上乘法都是模 n剩余类环 Z n 的主理想 。 由 定理 218、 219 可得
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绵阳师范学院学报 (自然科学版 )
第 27 卷
定理 2110 环 Z n 有且只有 T ( n ) 个子环 (其中 T ( n ) 表示 n 的正因子的个数 ) , 而且 Z n 是一个 n 阶循 环环 , 从而其子加群 、 子环 、 理想是一致的 。 定理 2111 Zm 与 Z n 同态 (即存在 Zm 到 Z n 的同态满射 ) 当且仅当 n | m 。 证明 设 φ是 Zm 到 Z n 的一个同态满射 , 分别用 a 表示 a ′ 表示 Zm 与 Z n 的元素 , 则 φ( 1 ) = 1′ ,φ ( 0 ) = 0 ′ 但由于 m 1 = 0 且 1 ′ 的阶是 n, 故由上得 0 ′= φ ( 0 ) = φ ( m 1 ) = mφ ( 1 ) = m l′ , ∴n | m. ( k ∈ Zm , k ′ 反之 , 设 n | m 。 下证 φ: k |→ k ′ ∈ Z n ) 是 Zm 到 Z n 的满同态 。 若 k1 = k2 , 则 m | ( k1 - k2 ) . 但 n | m , 故 n | ( k1 - k2 ) , 从而 k ′ 是 Zm 到 Z n 的一个映射 , 又显然 φ 2即φ 满射且保持运算 , 故 φ是同态满射 。 因此 Zm ～ Z n . 定理 2112 环 Z n 中的任何两个不同的子环不同构 。 证明 ( 1 ) 若环 Z n 的两个子环不同阶 , 则结论显然成立 。 ( 2 ) 设 R 为 Z n 的任意 k阶子环 , 则 k | n。 而 ( Z n , +) 为 n阶循环群 , 故对 n的每个正因数 k, ( Z n , +) 有 且仅有一个 k 阶子群 , 从而 Z n 有且仅有一个 k 阶子环 。 于是可知 , Z n 的任何两个不同子环不同构 。 定理 2113 设 s ∈ Z n , 若 ( s, n ) = 1, s = t, 则 ( t, n ) = 1。 证明 因为 s = t, 故 n | ( s - t) , 从而有整数 k 使
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所有可逆元作成乘法群 ) 中 , 适合 a = a 的元素 a 称为环 Z n 的一个幂等元 。 定义 9 设 a, b ∈ Z n , 若存在 q ∈ Z n 使得 b = a q, 则称 a整除 b, 记为 a | b, 称 a为 b的因数 , 而称 b为
a 的倍数 。 否则 , 称 a 不整除 b, 记为 a 8 b。
证明 ( 1 ) 设 s是 Z n 中的可逆元 , 即存在 t ∈ Z n 使 s t = 1, 即 st = 1, n | ( st - 1 ) . 于是存在整数 k 使 su + nv = 1. 从而 ( s, n ) = 1。 反之 , 若 ( s, n ) = 1, 则存在整数 u, v使 su + nv = 1. 由此可得 su + nv = 1, 但 nv = 0, 故 su = 1. 即 s是 Z n 的可逆元 。
定理 218 模 n 剩余类环 Z n 的所有子群 (对加法 ) 是循环子群 。 上述定理的证明在文献 [ 1 ]、 [ 2 ]、 [ 3 ]、 [ 4 ]、 [ 8 ] 里已有论述 , 这里不再赘述 。 定理 219 模 n 剩余类环 Z n 的所有理想都是主理想 。 证明 对上面的所有循环子群 (对加法 ) , Π ( [ i ] ) , 根据理想的定义 , Π [ a ] ∈ Z n , [ b ], [ c ] ∈ ( [ i ] ) 有 1° [ b] - [ c] = [ b - c] ∈ ( [ i]) ; 2° [ a ] [ b ] = [ ab ] = [ b ] + [ b ] + … + [ b ] ∈ ( [ i ] ) , 同理 : [ b ] [ a ] ∈ ( [ i ] ) ;
2 剩余类环 Z n 的一般性质
利用已有的定义和基本性质 , 可以得出模 n 剩余环 Z n 的更一般的一些性质 。 定理 211 模 n 剩余环 Z n 是交换环 。 定理 212 在模 n 剩余环 Z n 中 , 所有左右零因子都是其零因子 。 定理 213 模 n 剩余环 Z n 是无零因子环的充分必要条件是 n 为素数 。 定理 214 设 〈 Z n , +, ・ 〉 为无零因子环 ( Z n 模大于 1 ) , 那么加群 〈 Z n , +〉 中每一个非零元素的阶必相 同。 定理 215 模 n 剩余环 Z n 为整环的充分必要条件是 n 为素数 。 定理 216 对于 Z p , ( 1 ) Z p 是特征为 p的有单位元的可换环 ; ( 2 ) 环 Z p 是域 Ζ p为素数 ; ( 3 ) 如 p是一 个合数 , 则环 Z p 有零因子 , 从而不是域 。 定理 217
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7 设 R 为任意一个环 , 而 I是 R 的理想 . 那么 R / I称作 R 关于理想 I的剩余类环 (也叫商环或差
R / I中 , 每个元素叫作模 I的剩余类 .
8 模 n剩余环 Z n 的乘法群 G (当 n为素数 , Z n 中的所有非零元作成乘法群 , 当 n为合数 , Z n 中的
1 剩余类环 Z n 的基本性质
我们已经知道对于任意环所具有的一些基本性质 , 那么对于特殊环 — — —模 n 剩余类环 Z n 具有哪些基 本性质呢 ? 根据文献 [ 1 ]、 [ 2 ]、 [ 3 ]、 [ 4 ], 由于 Z n 关于加法是一个加群 , 从而 Z n 有加法的运算性质 ; 由于 Z n 关于乘法是半群 , 而且加法与乘法通过左右分配律相联系 , 从而具有加法与乘法相联系的一些性质 。 并且 有 定理 111 在模 n 剩余环 Z n 中 , 若 [ a ] = [ b ], 则有 ( k = …, - 1, 0, 1, 2, …) a = b + nk 定理 112 在 Z n 中 , 每个元素的 n 倍均为零 。 即 n [ a ] = [ a ] + [ a ] + … + [ a ] = [ na ] = [ 0 ]。 定理 113 设 a, b ∈ Z n , 则 a | b的充要条件为 ( a, n ) | b。
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设 n 是正整数 , p是素数 , Z n 是模 n 剩余类环 , S 是 Z n 的子环 , 则
t r
( 1 ) 设 n = p ( t ≥ 2 ) , | S | = p ( r < t) , 则 S 是有零因子无单位元的环 ; ( 2 ) 设 n = pq, | S | = p, 当 ( p, q) = 1 则 S 是域 , 当 ( p, q) = p时 , S 是零环 ; ( 3 ) 设 n = uv ( u 是合数 ) ≠ 1, | S | = u, 则 S 是有零因子无单位元的环 。