2017-2018年上海市复旦附中高一上学期期末数学试卷带答案

2017-2018学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷

一.填空题

1．（3分）函数f（x）=的定义域是．

2．（3分）函数y=x2+2（﹣1≤x≤0）的反函数是f﹣1（x）=．

3．（3分）设，，则f（x）•g（x）=．

4．（3分）若正数a、b满足log a（4b）=﹣1，则a+b的最小值为．5．（3分）幂函数f（x）=（t3﹣t+1）x3t+1是奇函数，则f（2）=．6．（3分）函数的单调递减区间是．

7．（3分）函数y=的值域是．

8．（3分）设关于x的方程|x2﹣6x+5|=a的不同实数解的个数为n，当实数a变化时，n的可能取值组合的集合为．

9．（3分）对于函数f（x）=x2+ax+4，若存在x0∈R，使得f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点，已知f（x）在x∈[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a的取值范围．

10．（3分）若函数f（x）=|x﹣1|+m|x﹣2|+6|x﹣3|在x=2时取得最小值，则实数m的取值范围是．

11．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣ax+a，其中a∈R．

①f（﹣1）=；

②若f（x）的值域是R，则a的取值范围是．

12．（3分）已知函数，x∈[1，2]的最大值为f（t），则f（t）的解析式为f（t）=

．

二.选择题

13．（3分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）

A． B．y=（x﹣1）2 C．y=x﹣2D．y=log0.5（x+1）

14．（3分）已知函数y=x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）

A．[1，+∞）B．[0，2]C．[1，2]D．（﹣∞，2]

15．（3分）如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程lg（x+y）=lgx+lgy，那么正确的选项是（）

A．y=f（x）是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y≤4

B．y=f（x）是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y≥4

C．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4

D．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≤4

16．（3分）若函数f（x）的反函数为f﹣1（x），则函数f（x﹣1）与f﹣1（x﹣1）的图象可能是（）

A．B．C．D．

三.解答题

17．已知关于x的不等式log2（﹣2x2+3x+t）＜0，其中t∈R．

（1）当t=0时，求该不等式的解；

（2）若该不等式有解，求实数t的取值范围．

18．已知函数（x＞0）．

（1）求函数f（x）的反函数f﹣1（x）；

（2）若x≥2时，不等式恒成立，求实数a的范围．19．某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为，x∈[0，24），其中a是与气象有关的参数，且．若用每天f（x）的最大值为当天的综合污染指数，并记作M（a）．

（1）令t=，x∈[0，24），求t的取值范围；

（2）求M（a）的表达式，并规定当M（a）≤2时为综合污染指数不超标，求当a在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．

20．指数函数y=g（x）满足g（2）=4，且定义域为R的函数是奇函数．

（1）求实数m、n的值；

（2）若存在实数t，使得不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0成立，求实数k的取值范围．

21．设集合M为下述条件的函数f（x）的集合：①定义域为R；②对任意实数x1、x2（x1≠x2），都有．

（1）判断函数f（x）=x2是否为M中元素，并说明理由；

（2）若函数f（x）是奇函数，证明：f（x）∉M；

（3）设f（x）和g（x）都是M中的元素，求证：F（x）=也是M中的元素，并举例说明，G（x）=不一定是M中的元素．

2017-2018学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.填空题

1．（3分）函数f（x）=的定义域是{x|x≥﹣2且x≠1} ．

【解答】解：由题意，要使函数有意义，则，

解得，x≠1且x≥﹣2；

故函数的定义域为：{x|x≥﹣2且x≠1}，

故答案为：{x|x≥﹣2且x≠1}．

2．（3分）函数y=x2+2（﹣1≤x≤0）的反函数是f﹣1（x）=，x ∈[2，3] ．

【解答】解：∵y=x2+2（﹣1≤x≤0）

∴x=﹣，2≤y≤3，

故反函数为，x∈[2，3]．

故答案为：，x∈[2，3]．

3．（3分）设，，则f（x）•g（x）=x，x∈（1，+∞）．【解答】解：∵，，

∴f（x）的定义域是（1，+∞），g（x）的定义域是[1，+∞），

∴f（x）•g（x）=x，x∈（1，+∞），

故答案为：x，x∈（1，+∞）．

4．（3分）若正数a、b满足log a（4b）=﹣1，则a+b的最小值为1．

【解答】解：根据题意，若正数a、b满足log a（4b）=﹣1，则有a=，即ab=，

则a+b≥2=1，

即a+b的最小值为1；

故答案为：1．

5．（3分）幂函数f（x）=（t3﹣t+1）x3t+1是奇函数，则f（2）=2．

【解答】解：函数f（x）=（t3﹣t+1）x3t+1是幂函数，

∴t3﹣t+1=1，

解得t=0或t=±1；

当t=0时，f（x）=x是奇函数，满足题意；

当t=1时，f（x）=x4是偶函数，不满足题意；

当t=﹣1时，f（x）=x﹣2是偶函数，不满足题意；

综上，f（x）=x；

∴f（2）=2．

故答案为：2．

6．（3分）函数的单调递减区间是（﹣2，1] ．

【解答】解：要求函数的单调递减区间，

需求函数y=，（8+2x﹣x2＞0）的增区间，

由8+2x﹣x2＞0可得﹣2＜x＜4，对应的二次函数，开口向下，

增区间为：（1，4），减区间为：（﹣2，1]．

由复合函数的单调性可知：函数的单调递减区间是：（﹣2，1]．故答案为：（﹣2，1]．

7．（3分）函数y=的值域是（﹣1，）．

【解答】解：函数y===﹣1．

∵2x+3＞3，