第三章误差的合成与分配

系统误差的合成 一、已定系统误差合成 • 定义： – 误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差 • 表示符号：Δ • 合成方法：按照代数和法进行合成
Δi 为第i个系误差，ai 为其传递系数
在实际测量中，大部分已定系统误差在测量过程中均已 消除，少数未予消除的也只是少数几项，它们按代数和 法合成后，还可以从测量结果中修正，故最后的测量结 果中不再含有已定系统误差。
函数的误差 误差的合成
各个误差互不相关，相关系数 ij 0
合成标准差

(a )
i 1 i i
q
2
当误差传播系数 ai 1 、且各相关系数均可视为0 合成标准差


i 1
q
2 i
随机误差的合成
一、极限误差合成
合成极限误差：
若 ij 0
第三节未定系统误差 和 随机误差的合成
2
2
2
xi 第i个直接测得量 xi 的标准差
ij第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数
f 第i个直接测得量 xi的误差传播系数 xi
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项
f f f 2 2 2 y xn x1 x2 x1 x2 xn
例3：测量某电路的电流I=22.5mA，电压U=12.6V,测量的 标准差分别为 I 0.5mA, u 0.1 V ，求所耗功率P=UI及 其标准差 p 。 解：所耗功率 P=UI=12.6V×22.5×10-3A=0.2835W 因为
P I 22.5 103 A U P U 12.6V I 且U、I完全线性相关，故相关系数 1 ，所以
f ( i 1,2, ,n) 其中： xi
为直接测量值的误差传递系数。
2.函数误差的计算 ——a.已定系统误差 结论：各个直接测量值的已定系统误差对函数总误 差的函数已定系统误差贡献是一种代数和的形式。
f f f y x1 x2 xn x1 x2 xn
随机误差的合成
一、标准差合成

2 ( a ) i i 2 ij ai a j i j i 1 1i j q q
q个单项随机误差，标准差 1 , 2 , , q 误差传播系数 a1 , a2 , , aq
由间接测量的显函数模型求得 ai f xi 根据实际经验给出 知道影响测量结果的误差因素 yi ai i 而不知道每个 a i 和 i
对n个变量各测量N次，其相应的随机误差为：
将右侧方程组中的每个方程两边平方, 可得
将方程组两边相加可得
12 22 n2 将上式等号两边除以N, 根据 可得函数标准差 n
n f 2 f 2 f 2 f f y x1 x 2 xn 2 ij xi xj 1i j xi x j x1 x2 xn 2
本节注意： 注意：在函数式中各观测值是否相互独立？ 例：z=x+y，y=3x，求 z2 。
由于没有考虑x，y之间的相关性，结果错误。
考虑了x，y之间的相关性，结果正确
第二节 随机误差的合成
解决随机误差的合成问题一般基于标准差方和根合成 的方法，其中还要考虑到误差传播系数。
标准差合成 极限误差合成
例2：相对测量时需用54.255mm的量块组作标准件，量块组 由4块量块研合而成，它们的基本尺寸为l1=40mm，l2=12mm, L3=1.25mm，l4=1.005mm。经测量，它们的尺寸偏差及其测量 极限误差分别为 l1 0.7m, l2 0.5m, l3 0.3m, l1 0.1m;
P 2 2 P 2 2 P P p ( ) u ( ) I 2 u I U I U I 3 8.55 10 W
例：用长30 m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的极 限误差为〒5 mm，求全长D及其极限误差。
解：1）函数式 D=10L=10〓30=300 m 按倍数函数式求全长中误差，将得出
x x 与 xx 虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽 j j ii 略不计的弱相关
可判断 ij 1 或 ij 1 的情形 断定 xi 与 x j 两分量间近似呈现正的线性关系或负 的线性关系 当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次 增大或减小，反之亦然
2、试验观察法 （1） 观察法 用多组测量的两误差对应值(ξi, ηi)作图，将它与标准图形相 比，看它与哪一图形相近，从而确定相关系数的近似值。

2.函数误差的计算 ——a.已定系统误差
间接测量的数学模型
y f ( x1，x2 , xn )
直接测量值 间接测量值
若已知各个直接测量值的系统误差 x1 , x2 , , xn 可近似得到函数的系统误差为：
f f f y x1 x2 xn x1 x2 xn
第三章 误差的合成与分配
第一节 函数误差 第二节 随机误差的合成 第三节 未定系统误差 和 随机误差的合成 第四节误差分配 第五节 最佳测量方案的确定
1. 基本概念

直接测量 直接得到被测量值的测量

间接测量 通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算 出被测量。
函数误差 间接测量误差是各个直接测量值误差的函数，这 种误差称为函数误差。
h l
O
D 2
【解】 建立间接测量大工件直径的函数模型
不考虑测量值的系统误差，可求出在 l 500mm h 50mm, 处的直径测量值 l2
D0 4h h 1300mm
f f f x2 ... xn 根据 y x1 x1 x2 xn l2 5002 f 误差传递系数为： 2 1 1 24 2 h 4h 4 50 f l 500 5 l 2h 2 50
例用弓高弦长法间接测量大工件 直径。如图所示，车间工人用一 把卡尺量得弓高 h 50mm，弦 长l 500mm，工厂检验部门又用高 准确度等级的卡尺量得弓 高 h 50.1mm ，弦长 l 499mm 试问车 间工人测量该工件直径的系统误 差，并求修正后的测量结果。
l2 D h 4h
2 l f f D h D 2 ( )2 l 2 ( )2 h 2 4h l h 52 0.012 242 0.0052 169 104 mm
有
D 0.13mm
故修正后的测量结果 D D0 D 1292.6mm
D 0.13mm
y a1 x1 a2 x 2 an xn
函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系
相关系数的确定
1、直接判断法 可判断 ij 0的情形 断定 xi 与 x j 两分量之间没有相互依赖关系的影响 当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正 负交替变化，反之亦然 xii与 xx x j j属于完全不相干的两类体系分量，如人员 操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量
liml 0.35m, liml 0.25m, liml 0.20m, liml 0.20m.
1 2 3 4
试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及其极限误差。
解：由题意得： l0=l1+l2+l3+l4 所以 l0=l1+l2+l3+l4=(40+12+1.25+1.005)mm=54.225mm 因为l=f(l1，l2，l3，l4 ) 所以
令
f ai , xi
2
2
2
则标准差
y a
2 1
2 x1
a2 x 2 an xn
2 2 2
2
当各个测量值的随机误差都为正态分布时,标准差用 极限误差代替，可得函数的极限误差
lim xi 第i个直接测得量 xi 的极限误差
用弓高弦长法间接测量大工件直径。车间工人用一把卡尺 量得弓高 h 50mm ，弦长 l 500mm，已知车间工人测量该工 件弓高的标准差 h 0.005mm ，弦长的标准差 l 0.01mm ， 试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。 【解】
4
0.352 0.252 0.22 0.22 m 0.5148 m
2、 相关系数估计
相关系数对函数误差的影响 函数随机误差公式
y
2 n f f f f f 2 2 2 ij xi xj xn 2 x1 x2 1i j xi x j x1 x2 xn 2 2 2
l2 D h 4h
已知 h 50 50.1 0.1mm l 500 499 1mm ,代入则得
f f 直径的系统误差 D l h 7.4mm l h
故修正后的测量结果
D D0 D 1300 7.4 1292.6mm
2.函数误差的计算 ——b.随机误差
反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误 差的影响
0 当相关系数 ij 0
2 22 2 2 22 22 2 2 2 y y a a a 1 x 2x 2 an nxn xn x 1 a2 2 1 x 1
ij
1 当相关系数 1 时 ij ij
lim D 10lim L 10 5 50mm
2）实际上全长应是10个尺段之和，故函数式应为 L=l1+l2+…+l10 用和差函数式求全长极限误差，因各段极限误差均相 等，故得全长极限误差为
lim D 10lim L 16mm
按实际情况分析用和差公式是正确的，而用 倍数公式则是错误的。
系统误差的合成 一、未定系统误差合成 对未定系统误差，估计出其可能范围，视为随机 误差进行合成
未定系统误差的取值具有一定的随机性，服从一 定的概率分布，因而若干项未定系统误差综合作 用时，完全可以采用随机误差的合成公式来进行 未定系统误差的合成， 这就给测量结果的处理带 来很大方便。
已定系统误差经修正后，影响测量过程的总误差只 要考虑未定系统误差与随机误差的合成。总误差可 用标准差来表示，也可用极限误差来表示
误差合成总结
已定系统误差 y f x f x f x (1) 1 2 n
x1 x2 xn
随机误差
n f 2 2 f 2 2 f 2 2 f f ( ) x1 ( ) x2 ( ) xn 2 ij xi x j (2) x1 x2 xn 1i j xi x j 2 y
极限误差
lim l
l l0 l [54.225 (4 10 )]mm 54.2254mm
f 2 2 f 2 2 f 2 2 f 2 2 ( ) lim l1 ( ) lim l2 ( ) lim l3 ( ) lim l4 l1 l2 l3 l4
f f f f 1 l1 l2 l3 l4
故，l的系统误差为
f f f f l l1 l2 l3 l4 l1 l2 l3 l4
(0.7 0.5 0.3 0.1) m 0.4 m 所以，量块组按基本尺寸使用的修正值是