第三章 水动力学基础

由上可知，α、α′与流速分布有关，若知断面流速分布 则可解得α、α′ 。其理论值可有 α 2，α 1.33
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3-2 欧拉法的有关概念
液流分类（简化理论研究的方法）
恒定流 运动要素不随时间变化的流动。其特性有：
1.
u u ( x, y , z ) a a ( x, y, z ) （3-15） p p ( x, y , z )
液流分类 均匀流
流线簇彼此呈平行直线的流动。其特性有： 1.过水断面为平面，如图3-2d 2.断面流速分布沿程相同
3. 液流为匀速直线运动，长直管道水流，断面形状一致 的长直渠道水流属此类。
α1 α2 α ；α '1 α '2 α '
非均匀流
定义——流线夹角很大，流线簇弯曲或彼此不呈平行直 线的流动。其特性有：
过水断面——垂直于流线簇所取的断面。
过水断面特性：
1. 沿过水断面方向流速为零。
2. 流线不平行时，过水断面为曲面。（如图3-2c）
3. 流线平行时，过水断面为平面。（如图3-2d）
元流与总流
元流——过水断面无限小的流股，如图3-2，dA1、 dA2 上各点流速压强相等（均匀分布）。
3-1 描述液体运动的两种方法
运动要素描述（三坐标轴分量）
u x u x ( x, y , z , t ) u y u y ( x, y , z , t ) u z u z ( x, y , z , t )
x、y 、z 、t ——欧拉变数
（3-3）
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3-2 欧拉法的有关概念
引用断面平均流速计量的误差修正
误差符号：△u
计算流量的误差
设u=v＋△u (△u 可有正负) ∵ Q udA (v u )dA vA udA vA Q
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3-2 欧拉法的有关概念
1.过水断面为曲面，如图3-2c。
2.流速分布沿程变化 α1≠α2；α1′ ≠ α2 ′。
非均匀流类型
渐变流——近似均匀流，惯性力影响可以忽略不计。
急变流——流线夹角大或曲率大的流动，惯性力不可忽 视。
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（3-9）
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3-2 欧拉法的有关概念
源自文库 断面平均流速
udA Q v dA A
A A
（3-10）
v v(s，t )
当Q为常数时
1 v ，v 与 A 成反比例关系 A
应用断面平均流速，欧拉法三无流可简化一元流。这也 是一种科学手段. 公式（3-10）为大中桥孔径计算的理论依据。
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3-1 描述液体运动的两种方法
du x u x u x u x u x ax ux uy uz dt t x y z du y u y u y u y u y ay uy uy uz dt t x y z du z u z u z u z u z az ux uy uz dt t x y z
取 n-n 作过水断面，取隔离体 dl ，在 n-n 断面上无液流 运动。
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3-1 描述液体运动的两种方法
描述液体运动的两种方法
拉格朗日法（迹线法）概述
把液体看成为质点系 流场由质点迹线构成，综合迹线运动状况，求解液 体运动要素（即 p、v 分布） 迹线方程
x=x(a，b，c，t)
y=y(a，b，c，t)
4.流线与迹线重合
非恒定流
运动要素随时间变化的流动。特性有：
1.
u u ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t )
u p 0， 0 t t
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2.
3. 流线与迹线不重合。
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3-2 欧拉法的有关概念
流量定义公式
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3-2 欧拉法的有关概念
（图3-4）
ds udt
dV dsdA udtdA
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3-2 欧拉法的有关概念
如图3-4a）所示，设元流过水断面为dA，断面上的
令 u=v＋△u 可证明 （见教材）
3 3

A
u 3dA v3 A，Eku Ekv
2
A u 3dA 1 (3-11) 取 A u dA αv A αv Q (3-12) 则 α 3 v A
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3-2 欧拉法的有关概念
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第三章 水动力学基础
3-1 描述液体运动的两种方法 3-2 欧拉法的基本概念 3-3 恒定流连续性方程 3-4 恒定流元流能量方程（元流伯诺里方程） 3-5 恒定流实际液体总流能量方程（总流伯 诺里方程） 3-6 恒定流总流动量方程
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有压流——过水断面周边无自由表面的流动
1. p ≠pa，过水断面大小形状固定不变。
2.流量变化，只会引起断面上 p、v 变化。 3.自来水管中的水流运动属此类。
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3-2 欧拉法的有关概念
无压流——过水断面部分周界有自由表面的流动。
3.
2.
u p 0, 0 t t （3-16） du as u dt
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dx ux dt dy uy dt dz uz dt
（3-17）
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3-2 欧拉法的有关概念
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3-1 描述液体运动的两种方法
概述
流场——液体的流动空间
动水压强特性：
因水的粘性很小，动水压强与静水压强特性基本相同。 流场中的压强大小受流速影响，各点压强一般情况：
p z C γ
本章理论适用于 v＜50 m/s 的低速流体
本章任务——建立三大方程（质量守恒、能量守恒及动 量守恒关系）求解 p、v、R ，即压强、流速及液流对边 壁的作用力
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（3-6）
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3-2 欧拉法的有关概念
流管与流股
流管——封闭曲线C上各点流线构成的中空管状界 面，如图3-2a。 流股——流管中的液流，如图3-2b。
（图3-2）
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3-1 描述液体运动的两种方法
欧拉法（又称流线法）概述
以流场中各点流速大小为研究对象
各点流速方向用流线表示（待后详述） 运用三大方程求解 p、 v、R 水力学的基本方法
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z=z(a，b，c，t)
（3-1）
a、b、c——质点初始位置；a、b、c、t——拉格朗日变数
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3-1 描述液体运动的两种方法
运动要素描述，见公式（3-2）u x u (a, b, c, t ) x x t 式中：ux、uy、uz——分别为 y 液体质点流速 u 沿三坐标轴 uy u y ( a , b, c , t ) t 的分量； z ax、ay、az——分别为液体质 u u z ( a , b, c , t ) z t 点加速度沿三坐标轴的分量。 （3-2） u 应用场合 a x x a x ( a , b, c , t ) t 研究波浪运动 u y 水文测验，模型试验示踪测 ay a y ( a , b, c , t ) 速 t 因数学关系复杂，水力学 u z 中少用。 az a z ( a , b, c , t ) t
du z 等首项称为当地加速度 dt u u x x 等后三项统称为迁移加速度 x
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（3-4）
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3-2 欧拉法的有关概念
欧拉法有关概念
流线——同一时刻与流场各点速度矢量相切的 曲线。
流谱——流场中的流线图形（如图3-1）
（图3-1）
各点流速为 u，dt 时间内充水的距离为ds，则通过
元流过水断面的液体体积 dV 有： ds udc, dV dsdA udtdA dV dQ udA dt
（3-8）
有： 体积流量
Q udA （m3 / s） A 重量流量 QG γQ （kN / s） 质量流量 Qρ ρQ （kg / s）
实验得出：α=1.05～1. 10，实际工程中常取α=1
计算动量时的修正系数α′（称动量修正系数）
Ku dm u ρdt u 2 dA
A A
Kv m v ρQdtv ρdtv 2 A Ku (证明见教材） Ku α 1 Kv
'
(3-13)
实验得出：α′=1.02~1.05，常取 α′= 1
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3-2 欧拉法的有关概念
流线的性质
光滑曲线（连续介质关系）
流线一般不相交（如图3-1b中的驻点A除外），不成折 线
流线可随时间变化
流线方程
dx dy dz ds ux u y uz u
u——M（x、y、z）点流速
1.自由表面 pγ=0
2.流量变化，过水断面大小形状可随之变化。而流量不 变也可有多种水深流速的组合变化，如水深大流速小， 水深小流速大。 3.水力计算比有压流复杂（详见第六章）。
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过水断面压强分布特性
急变流断面图式（如图3-5）
A A A
又 vA=Q ∴△Q=0（用断面平均流速计算Q时，无误差）
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引用断面平均流速计量的误差修正
计算动能时误差修正系数α（称动能修正系数） 动能 E 1 dmu 2 1 ( ρdQdt )u 2 1 ρdt u 3 dA ku A 2 A 2 A 2 1 2 1 1 2 Ekv mv ρQdtv ρdtv 3 A 2 2 2
水力学中常用（又称为流束理论），如管道中的水流。
一元流动有
u u ( s, t )
u u as u t s p p ( s, t )
（3-5）
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3-2 欧拉法的有关概念
液流计量方法
液体是一种不可数物质，其计量采用如下方法： 流量Q——单位时间内流经过水断面的液体积， 以此作水量计量。 断面平均流速v（断面流速计量）——即断面各点 流速加权均平均值。
总流
元流总和（断面上各点流速压强不等）
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3-2 欧拉法的有关概念
三元、二元及一元流动
三元流动——运动要素为三坐标的函数 u=u(x,y,z,t)
二元流动——运动要素为二坐标的函数 u=u(x,y,t) 一元流动——运动要素为一坐标的函数 u=u(s,t)