用Mathematica研究自然对数的底数e

用Mathematica 研究自然对数的底数e

作 者：陈 龙

摘要：e 是一个奇妙有趣的无理数，它取自瑞士数学家欧拉的英文字头。e 与π被认为是数学中最重要的两个超越数，e 、

π及i （i 为虚数单位）三者间存在1-=i

e

π的关系。本文利用Mathematica 软件研究了自然对数的底数e ，介绍了e 的

一些相关知识、e 与自然对数的关系以及e 的值的计算方法等。

关键词：Mathematica ，e ，自然对数

一、引言

远在公元前，圆周率π就被定义为“周长与直径之比”。自古以来，π的近似值一直取为3.14或

7

22()742851

.3 =。通过许多数学家的努力，π的近似值位数不断增加。目前用电脑计算圆周率。由于电脑速度等功能不断改进，今后π的近似值位数会越来越多。

另外一个奇妙有趣的无理数是e ，它取自瑞士数学家欧拉（Euler ，1707-1783）的英文字头。欧拉首先发现此数并称之为自然数e 。但是，这种所谓的自然数与常见正整数1，2，3，……截然不同。确切地讲，e 应称为“自然对数a e log 的底数”。

e 与π被认为是数学中最重要的两个超越数（transcendental number ，若一数为()0=x

f 之根，其中f 为某一至少一次的整系数多项式，则此数称为代数数（algebraic number ），否则称为超越数）。e 、

π及i （i 为虚数单位）三者间存在1-=i

e

π的关系。本文主要介绍e 的一些知识以及用

Mathematica

软件来计算e 。 二、欧拉数e

考虑数列{}n a ，n a =∑

=n

i i 0!

1=!

1!

21!

111n +

++

+

，1≥n ，其中!n =()1231⋅⋅⋅⋅- n n ，1≥n ，1!0=，

应用下述关于级数收敛的基本定理之一可证明出其极限存在。

定理1.设数列{}n a 为单调且有界，则当∞→n 时，a a n →（a 为一有限数）。

首先，对n a =∑

=n

i i 0

!

1，显然{}n a 为单调递增数列。其次，1a =2，2a =

2

5，而3≥n 时，

n a =1+1+

n ⋅⋅⋅++⋅⋅+⋅+ 321

4321

321

2

1

<1+1+1322

1

212121

-++++n

= 1+

2

11211-

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-n

<3，

即数列{}a 以3为一上界。故有定理1知，数列{}a 收敛至一实数，由于此极限值与圆周率π一样在许

多数学的公式中出现，所以不可避免的需要给它一个特别的符号。欧拉似乎是第一个体会到此数之重要性的数学家，他并以e 来表示此数。后来符号e 就被广为采用，后人并称e 为欧拉数（Euler ’s number ）以纪念他。由于e 为∞→n 时n a 之极限，故e 可表示为

（1） e =∑

∞

=0

!

1i i 。

以下说明如何以n a 来求e 之近似值，事实上n a 收敛至e 的速度极快。这里借助一几何级数，对任意m n >，

n a = m a +

()()!

1!

21

!11

n m m +

+++

+

< m a +()()()⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛++++++++--12

1111111!11

m n m m m m < m a +

()1

111!11

+-

+m m

= m a +!

1

m m ⋅

故对∀m n >，

（2） m a

若令∞→n ，则上式为

（3） m a < e

1m m ⋅ ∀1≥m 。

即对∀1≥m ，m a 与e 之差最多为

!

1m m ⋅。由于!m 随着m 增长速度极快，故m a 为e 的一个很好的估计值。例如，若m =10，则10a 与e 之差小于7

10

-，因此经由计算10a ，得到e =2.718281…。

1

[_]!n

i a n i ==

∑

N[a[10],50]

2.7182818011463844797178130511463844797178130511464 N[E,50]

2.7182818284590452353602874713526624977572470937000 N[a[10]-E,50]

8

2.731266075564247442020627801803943404255357509524910--⨯ 7

[10]10a E --<

True

当然若m 取大一些便可再更精确些，如e =2.71828182845904523536028…。这是欧拉用笔算得到的e 之小数前23位。欧拉22岁时，在一篇论文中写着“这个数的对数是1，以e 命名之，它的值为2.71828…，它的常用对数为0.4342944…”。

e 是无理数的证明（这是欧拉在1737年所证出）

，可利用前述（3）对e 的估计式。设e =q p /为一有理数，其中p ，q 为二互质正整数。易见2≥q ，此因e 介于2与3之间，故e 不可能为整数。现由（3）式知

q a < q

p

!

1q q ⋅ 。

将上式每项各乘以!q 得

!q q a < ()1-q p ! < !q q a +

q

1

而由q a 之定义知，!q q a 为一整数，如此则得整数()1-q p !介于两相邻整数!q q a 及!q q a +1之间的矛盾结果。故e 不是有理数。

下面我们来看另一种常见的引进e 的方法。考虑数列

n b =n

n ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+11 ，1≥n 。

则由二项式定理（Binomial Theorem ）可得 n b = k

n k n k n ⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=10

= ()()∑

=+--n

k k

n

k n n n k 0

11!

1

= 1+1+

⎪⎭⎫

⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n n n n n 112111!111!21 < ∑

=n

k k 0

!

1

= n a < 3 。

又由上面第三个等号的右侧可看出，n b 的每一项对n 递增，且1+n b 比n b 多一正的项，故{}n b 为一单调递增且有界数列必有极限。故得证b b n n =∞

→lim 存在。

接着证明e b =。对n l >，仍由前述第三个等号之右侧可得 ⎪⎭

⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+

+>l l n l n l b l 111!111!2111 。