用Mathematica研究自然对数的底数e

用Mathematica 研究自然对数的底数e
作 者：陈 龙
摘要：e 是一个奇妙有趣的无理数，它取自瑞士数学家欧拉的英文字头。

e 与π被认为是数学中最重要的两个超越数，e 、
π及i （i 为虚数单位）三者间存在1-=i
e
π的关系。

本文利用Mathematica 软件研究了自然对数的底数e ，介绍了e 的
一些相关知识、e 与自然对数的关系以及e 的值的计算方法等。

关键词：Mathematica ，e ，自然对数
一、引言
远在公元前，圆周率π就被定义为“周长与直径之比”。

自古以来，π的近似值一直取为3.14或
7
22()742851
.3 =。

通过许多数学家的努力，π的近似值位数不断增加。

目前用电脑计算圆周率。

由于电脑速度等功能不断改进，今后π的近似值位数会越来越多。

另外一个奇妙有趣的无理数是e ，它取自瑞士数学家欧拉（Euler ，1707-1783）的英文字头。

欧拉首先发现此数并称之为自然数e 。

但是，这种所谓的自然数与常见正整数1，2，3，……截然不同。

确切地讲，e 应称为“自然对数a e log 的底数”。

e 与π被认为是数学中最重要的两个超越数（transcendental number ，若一数为()0=x
f 之根，其中f 为某一至少一次的整系数多项式，则此数称为代数数（algebraic number ），否则称为超越数）。

e 、
π及i （i 为虚数单位）三者间存在1-=i
e
π的关系。

本文主要介绍e 的一些知识以及用
Mathematica
软件来计算e 。

二、欧拉数e
考虑数列{}n a ，n a =∑
=n
i i 0!
1=!
1!
21!
111n +
++
+
，1≥n ，其中!n =()1231⋅⋅⋅⋅- n n ，1≥n ，1!0=，
应用下述关于级数收敛的基本定理之一可证明出其极限存在。

定理1.设数列{}n a 为单调且有界，则当∞→n 时，a a n →（a 为一有限数）。

首先，对n a =∑
=n
i i 0
!
1，显然{}n a 为单调递增数列。

其次，1a =2，2a =
2
5，而3≥n 时，
n a =1+1+
n ⋅⋅⋅++⋅⋅+⋅+ 321
4321
321
2
1
<1+1+1322
1
212121
-++++n
= 1+
2
11211-
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-n
<3，
即数列{}a 以3为一上界。

故有定理1知，数列{}a 收敛至一实数，由于此极限值与圆周率π一样在许
多数学的公式中出现，所以不可避免的需要给它一个特别的符号。

欧拉似乎是第一个体会到此数之重要性的数学家，他并以e 来表示此数。

后来符号e 就被广为采用，后人并称e 为欧拉数（Euler ’s number ）以纪念他。

由于e 为∞→n 时n a 之极限，故e 可表示为
（1） e =∑
∞
=0
!
1i i 。

以下说明如何以n a 来求e 之近似值，事实上n a 收敛至e 的速度极快。

这里借助一几何级数，对任意m n >，
n a = m a +
()()!
1!
21
!11
n m m +
+++
+
< m a +()()()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++++++++--12
1111111!11
m n m m m m < m a +
()1
111!11
+-
+m m
= m a +!
1
m m ⋅
故对∀m n >，
（2） m a <n a <m a +!1m m ⋅ 。

若令∞→n ，则上式为
（3） m a < e <m a +!
1m m ⋅ ∀1≥m 。

即对∀1≥m ，m a 与e 之差最多为
!
1m m ⋅。

由于!m 随着m 增长速度极快，故m a 为e 的一个很好的估计值。

例如，若m =10，则10a 与e 之差小于7
10
-，因此经由计算10a ，得到e =2.718281…。

1
[_]!n
i a n i ==
∑
N[a[10],50]
2.7182818011463844797178130511463844797178130511464 N[E,50]
2.7182818284590452353602874713526624977572470937000 N[a[10]-E,50]
8
2.731266075564247442020627801803943404255357509524910--⨯ 7
[10]10a E --<
True
当然若m 取大一些便可再更精确些，如e =2.71828182845904523536028…。

这是欧拉用笔算得到的e 之小数前23位。

欧拉22岁时，在一篇论文中写着“这个数的对数是1，以e 命名之，它的值为2.71828…，它的常用对数为0.4342944…”。

e 是无理数的证明（这是欧拉在1737年所证出）
，可利用前述（3）对e 的估计式。

设e =q p /为一有理数，其中p ，q 为二互质正整数。

易见2≥q ，此因e 介于2与3之间，故e 不可能为整数。

现由（3）式知
q a < q
p <q a +
!
1q q ⋅ 。

将上式每项各乘以!q 得
!q q a < ()1-q p ! < !q q a +
q
1<!q q a +1。

而由q a 之定义知，!q q a 为一整数，如此则得整数()1-q p !介于两相邻整数!q q a 及!q q a +1之间的矛盾结果。

故e 不是有理数。

下面我们来看另一种常见的引进e 的方法。

考虑数列
n b =n
n ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+11 ，1≥n 。

则由二项式定理（Binomial Theorem ）可得 n b = k
n k n k n ⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=10
= ()()∑
=+--n
k k
n
k n n n k 0
11!
1
= 1+1+
⎪⎭⎫
⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n n n n n 112111!111!21 < ∑
=n
k k 0
!
1
= n a < 3 。

又由上面第三个等号的右侧可看出，n b 的每一项对n 递增，且1+n b 比n b 多一正的项，故{}n b 为一单调递增且有界数列必有极限。

故得证b b n n =∞
→lim 存在。

接着证明e b =。

对n l >，仍由前述第三个等号之右侧可得 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+
+>l l n l n l b l 111!111!2111 。

若先固定n ，而令∞→l ，则上式左侧趋近于b ，而右侧趋近于n a 。

即此时有n a b ≥，而又有n n a b ≤，因此
b a b n n ≤≤， ∀1≥n 。

令∞→n ，由夹逼定理，便得e b b n n ==∞
→lim 。

也就是我们得到下述重要的极限结果：
（4） 1lim 1n
n e n →∞⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭ 。

定理2.（夹逼定理）若三个数列{}n x ，{}n y ，{}n z 从某项开始成立 n n n z y x ≤≤，0n n > 且a z x n n n n ==∞
→∞
→lim lim ，则a y n n =∞
→lim 。

我们发现e 这个奇妙的数居然可用两种完全不同的方式来导出，事实上尚有许多方式皆可导出e 。

三、e 与自然对数
中学学的对数以10为底，称为常用对数，记作N lg 。

但科学上常用的对数却以一个无理数e =2.71828…为底，称为自然对数，记作N ln 或N log 。

早在公元17世纪纳皮尔（J. Napier ）发明对数时，其目的是简化天文数据的计算，将乘法转化为加法来计算。

他希望将每个正实数N 表示为某个给定的正实数a 的幂：N =n a 。

如果N =n a ，M =m a ，则
N M ⋅=n m a +，M ，N 的乘法变成了m ，n 的加法。

根据这种思想可编制出相应的对数表，列出幂（即
真数）N 与指数（即对数）n 之间的对应关系。

但要使得表中相邻两个真数比较接近，就应当取低a 接近
1。

比如取a =1.001。

不难看出,用接近于1的a =1.001为底编制对数表要比以10为底优越。

同时为了提高精确度，还可以
取更接近1的1.0001来代替1.001。

一般地，可以考虑n a =n
n ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+11作为对数的底，n 越大越好。

应用Mathematica 软件：观察当n 趋于无穷大时数列n a =n
n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11和n A =1
11+⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
+n n 的变化趋势：
Do[Print[N[(1+10^(-m))^(10^m)]],{m,1,7}]//求n a ，其中m
n 10= Out[1]：=2.59374
2.70481 2.71692 2.71815
2.71827
2.71828
Do[Print[N[(1+10^(-m))^(10^m+1)]],{m,1,7}]//求n A ，其中m n 10 Out[2]：=2.85312 2.73186 2.71964 2.71842 2.7183 2.71828 2.71828
由Out[1]和Out[2]观察出它们的变化趋势：n a 随着n 的增大而增大，n A 随着n 的增大而减小。

pic1=Plot[(1+10^(-x))^(10^x),{x,1,4},PlotStyle {RGBColor[0,0,1]}]
Graphics
pic2=Plot[(1+10^(-x))^(10^x+1),{x,1,4},PlotStyle {RGBColor[1,0,0]}]
Graphics
pic3=Plot[E,{x,1,4},PlotStyle
{RGBColor[0,0,1]}]
Show[pic1,pic2,pic3]
Graphics
通过观察可以看到，当n 增大时n a =n
n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11递增，n A =1
11+⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
+n n 增减。

随着n 的无穷增大，n a ，n
A 无限接近，趋于共同的极限e =2.71828…，以这个e 为底的对数称为自然对数。

上面是通过对数表的编制来说明自然对数是怎样自然产生的。

虽然当初纳皮尔编制对数表的时候还没
有这样明确地提出自然对数，但他一开始编制的决不是以10为底的常用对数表，他以0.99999为底编制的对数表从本质上接近于自然对数表。

只是到后来，为了使用的方便，才采用换底公式将已编成的对数表改成了以10为底的常用对数表。

在科学中广泛应用以e 为底的自然对数的更直接的理由是：它使涉及到对数的微分和积分公式变得最为简单。

下面来研究与e 有关的极限。

①计算当n x -=10，7,6,5,4,3,2,1=n 时，()()()x x x /1lg +=λ的值。

Do[Print[Log[10,1.0+10.0^(-n)]/(10^(-n))],{n,1,7}] 0.413927 0.432137 0.434077 0.434273 0.434292 0.434294
0.434294
通过观察可以看到，当()∞→n x 趋于0时，()x λ趋近于某一个极限值λ。

λ就是常用对数x y lg =在
1=x 处的导数。

它不是一个简单的数。

定义()x x f y lg 1-==λ，则()x f 在1=x 处的导数
()()
111lim
=∆-∆+→∆x
f x f x
而()()x x x f a
log
10lg /lg ==λ
是以λ
10
=a ()e =为底的对数。

②计算λ
10
=a ()e =
Do[Print[10^Log[10,1.0+10.0^(-n)]/(10^(-n))],{n,1,7}] 11. 101. 1001.
100001.
③计算当n x -=10，7,6,5,4,3,2,1=n 时，()()()x x x /1ln +=μ的值。

Do[Print[Log[1.0+10.0^(-n)]/(10^(-n))],{n,1,7}] 0.953102 0.995033 0.9995 0.99995 0.999995 0.999999 1.
通过观察可以看到当0→x 时，()x μ趋于一个极限值μ()1=μ。

四、e 的计算
上述的①、②也是e 的计算中的一种方法。

下面再介绍几种方法。

1、求极限法
由于无理数e 值是x 无限增大时，x
x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11的极限，通常书写为：±∞→x 时，e x x
→⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+11或
e x x
x =⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+±∞→11lim 。

亦可写为0→x 时，()e x x →+11或()e x x x =+±∞
→1
1lim 。

Limit[(1+x)^(1/x),x 0]
e N[Limit[(1+x)^(1/x),x 0],50]
2.7182818284590452353602874713526624977572470937000 2、泰勒级数法
欧拉认为，一切函数均可展开为无穷级数。

在此，利用指数函数的泰勒级数
x
e = ++
++
+
+
!
!
3!
2!
113
2
n x
x
x
x n
来计算e 。

将1=x 代入上面的级数可以得到 （5） e = ++
++++
!1!31!21!111n
泰勒级数是无穷级数，实际计算时必然只能取它的前n 项，导致截断误差
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++++-=!!2!112n x x x e E n
x
n
但因为无穷级数（5）收敛迅速（极快地趋近于某一定值），所以计算起来相当顺利，且实际截断误差比较
小。

用Mathematica 计算e
taylor=N[Sum[1/k!,{k,0,n}],50] 100
2.7182818284590452353602874713526624977572470937000 3、数值积分法
利用定积分
11
-=⎰e dx e
x
计算出⎰10
dx e x 这个积分的数值，再加上1也就得到了e 的值。

要计算定积分S =⎰1
0dx e x ，也就是计算y 轴()0=x 和平行y 轴的直线1=x 以及它们之间的曲线
x
e y =与x 轴所包围着的曲边梯形T 的面积。

为此，用一组平行于y 轴的直线
i x x =()10,111210=<<<<<=-≤≤-n n x x x x x n i 将曲边梯形T 分成n 个小曲边梯形，总面积S 分
成这些小曲边梯形的面积之和。

如果取n 很大，使每个小曲边梯形的宽度都很小，可以将它的上方的边界
()x
e
x f =()i i x i x ≤≤-1近似地看作直线段，将每个小曲边梯形近似地当作梯形来求面积，就得到梯形公
式。

如果更准确些，将每个小曲边梯形的上边界近似地看作抛物线段，就得到辛普森公司。

具体公式如下：
梯形公式：设分点11,,-n x x 将积分区间[]b a ,=[]1,0n 等分，即i x =()n a b i a /-+，n i ≤≤0，所有的曲边梯形的宽度都是()n a b h /-=。

记i x
i e y =。

则第i 个曲边梯形的面积i S 近似地等于梯形面积
()h y y i i +-12
1。

将所有这些梯形面积加起来就得到
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+++++-≈
-20121n n y y y y y n a b S 这就是梯形公式。

辛普森公式：仍用分点i x =()n a b i a /-+ ()11-≤≤n i 将区间[]b a ,=[]1,0分成n 等份，直线
i x x =()11-≤≤n i 将曲边梯形分成n 个小曲边梯形。

再作每个小区间[]i i x x ,1-的中点
()n a b i a x
i /212
1-⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+=-。

将第i 个小曲边梯形的上边界()x
e x
f y ==()i i x i x ≤≤-1近似地看作经过三
点()()x f x ，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=-
-i i i x x
x x ,,211的抛物线段，则可求得 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
++-≈
--i i i i y y y n a b S 2114
其中2
1-
i y
=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
21
i x f =21
-i e 。

于是得到
()()⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
+++
+++++-≈-
-21232
11210426n n n y y y y y y y y n a b S 这就是辛普森公式。

Mathematica 程序
a=0;b=1;y[x_]:=E^x; n=1000;
tixing=N[(b-a)/n*(Sum[y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}]
+(y[a]+y[b])/2),50]+1
simpson=N[(b-a)/6/n*((y[a]+y[b])+2*Sum[y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}] +4*Sum[y[a+(i-1/2)*(b-a)/n],{i,1,n}]),50]+1 2.7182819716491952204449077130791851392005128194662 2.7182818284590458319859045962507336985392014058638
参 考 文 献
1． 李尚志等著，数学实验，高等教育出版社，1999年9月第1版 2． （日）堀场芳数 著，e 的奥秘，科学出版社，1998年2月第1版 3． 黄文璋 著，数学欣赏，中国统计出版社, 2001年12月第1版
4． 张韵华 著，符号计算系统Mathematica 教程，科学出版社，2001年11月第1版
Studying number e by Mathematica
Author ：Chen Long
Abstract ：e is a fantastic and interesting irrational number ，which derives from the beginning letter of Euler who is a Swiss mathematician ．It is thought that the e and pi are the most important transcendental number in mathematics ．The e ，pi ，i (i is an imaginary number unit) satisfy
1-=i
e
π．This text studies number e (base of natural logarithms) using Mathematica, tells some
knowledge about e ，the relation between e and natural logarithms and computation of e, etc ． Keywords ：Mathematica ，e ，natural logarithms。