一类推广的二变量和差分不等式及其在初边值问题中的应用
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ｍ ～ １ ｎ一 １
Hale Waihona Puke Baidu
（ ｍ ， 礼 ） 。 （ ｍ ， ｎ ） ＋ ∑ ∑ ∑ （ ｍ ， ， ） （ ｕ （ ｓ ， ￡ ） ） ，
＝ １ ｓ ｍ ０ ｔ＝ ｎｏ
其中 （ ｉ ＝１ ， ２ ， …， ｋ ） 是单调函数．同年，在没有要求 。 （ ｉ ＝１ ， ２ ， …， ） 是单调函数的情 况下，王五生和周效 良在文献 ［ １ ７ ］ 中考虑 了差分不等式
摘要：建立 了一个二变 量的和差分不等式，该不等式不仅右端和号外的项是 非常数项 ，而且包
含 ｋ项未 知函数和 非线性 函数的复合函数；运用单调化技 巧和 强单调概 念给出了不等式中未
知 函数 的上界估计 ；所得 结果 可以用来估计 Ｃ ｈ ｅ ｕ ｎ ｇ Ｗ Ｓ（ ２ ０ ０ ６ ） 和 王五 生 （ ２ ０ ０ ８ ） 所研究的 不等式 中的未知函数 ； 最后，用研 究不等式得到的结果研 究二变量差分方程初边值问题 的有界
Ｅ— ｍａ ｉ ｌ ：ｗａ ｉ ｌ 【 ｇ ４ ８ ９ ６ ＠１ ２ ６ ． ｃ ｏ ｍ；ｚ ｚ ｌ ｑ ｆ ｎ ｕ ＠ｑ ｑ ． ｃ ｏ ｍ； ｚ ｊ ｈ ｄ ｚ ｘ ｌ ＠ｙ ａ ｈ ｏ ｏ ． ｃ ｏ ｍ． ｃ ｎ
｝基金项 目： 国家 自 然科学基金 （ １ １ １ ６ １ ０ １ ８ ） 、 广西 自然科学基金 （ ０ ９ ９ １ ２ ６ ５ ， ２ ０ １ ２ Ｇｘ Ｎｓ Ｆ Ａ Ａ０ ５ ３ ０ （ 】 ９ ） 、 广西教育厅 科学研 究基金 （ ２ ０ １ １ ０ ６ Ｌ Ｘ ５ ９ ９ ， ２ ０ １ ２ ０ ４ Ｌ Ｘ４ ２ ３） 和广东 省自然科学基金 （ １ ｏ ４ ５ ２ ４ ０ ８ ８ Ｏ １ ０ ０ ４ ２ １ ７ ）资助
１ 引言
Ｇ ｒ ｏ ｎ ｗ ａ ｌ ｌ — Ｂ ｅ ｌ ｌ ｍａ ｎ不等式 ［ １ － ２ 】 是 研究微分 方程和 积分方 程 的解 的存 在性 、唯一性 、有界
性、 稳定性等定性性质的重要工具 （ 参见文献 ［ ３ — ９ ］ ） ． 随着积分不等式和差分方程的发展， 越 来越多的人关注 Ｇ ｒ ｏ ｎ ｗ ａ ｌ ｌ — Ｂ ｅ ｌ ｌ ｍ ａ ｎ不等式的离散形式 （ 参见文献 ［ １ ０ — ２ ０ ］ ） ． 文献 ［ １ １ ］ 中研究 了一个 简单 的差分 不等 式
Ｎｏ ． ２
王五 生等 ：一 类 推广 的二变 量和 差分 不等 式及 其在 初边值 问题 中的应用
３ ４ １
其中 Ｑ （ ， “ ） ： ＝ ｄ ｓ ／ ｗ（ ｓ ） ． ２ ０ ０ ４ 年， Ｃ ｈ ｅ ｕ ｎ ｇ 在文献 ［ １ ３ 】 进一步研究了另一种形式的差分不
等 式
礼一 １
ｕ （ ｎ ） ｎ （ 凡 ） － ４ － ， （ ｓ ） ， “ （ ｓ ） ．
ｓ ＝ ０
Ｐ ａ ｃ ｈ ｐ ａ ｔ ｔ ｅ 在 文献 『 １ ２ １ 中研 究 了和差 分 不等式
给 出 了未 知 函数 的估计
收稿 日期： ２ ０ １ １ — １ ０ — １ ０ ； 修订 日 期： ２ ０ １ ２ — １ ２ — ０ ３
ｉ ＝１ ８ ＝ｍ ｏ ｔ ＝ ｎｏ
此 式把 （ １ ． １ ）式 中 的常 数 ｃ和 函数 Ｕ ｐ ， ｄ （ ｓ ， ） ，ｅ （ ｓ ， ） ， Ｕ ｑ ， 乱 叫（ ）分 别推 广 成 函数 ａ （ ｍ， ｎ ） ， 矽（ ） ， ＾（ ｓ ， ） ， （ ｓ ， ） ， ｌ （ ） ， ｐ ２ （ ｕ ） ， 没有 要求 （ ｉ ＝１ ， ２ ） 是 单 调函数 ． ２ ０ ０ ９ 年 ，郑克 龙等 在文献 ［ １ ６ ］ 中又进一步讨论了不等式
性 、唯一性和连续依赖性．
关键词：和差分不等式；单调化 ；强单调性 ；有界性．
Ｍ Ｒ（ ２ ０ ０ ０ ）主题分类：３ ９ Ａ１ ０ ； ２ ６ Ｄ１ ５ ； ２ ６ Ｄ１ ０ 中图分类号：Ｏ １ ７ ８ 文献标识码： Ａ
文章编号：１ ０ ０ ３ — ３ ９ ９ ８ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ — ３ ４ ０ — １ ４
ｎ一 １ ｎ一１ ｍ 一 １ ｎ一 １
“ （ ｍ ， ｎ ） ｃ ＋∑ ∑ ｄ （ ｓ ， ￡ ） （ ｓ ， ￡ ） ＋∑ ∑ ｅ （ ｓ ， ） （ ｓ ， ） 叫 （ 乱 （ ｓ ， ） ） ， （ １ ． １ ）
其中 ｃ ， Ｐ和 ｑ都是 常数 ， ｃ ０ ， Ｐ＞ｑ＞０ ， ｄ ，ｅ 是 定义 在 格子 ｚ 上 的非 负函数 ； Ｗ 是 非
数学物理学报
２ ０ １ ３ ， ３ ３ Ａ（ ２ ） ： ３ ４ ０ ３ ５ ３ ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ａ ｃ ｔ ａ ｍｓ ． ｗ ｉ ｐ ｍ． ａ ｃ ． ｃ ｎ
一
类推广的二变量和差分不等式 及其在初边值 问题 中的应 用
王五生 李 自尊 。 周 效良
（ 河池学院数 学系 广西宜州 ５ ４ ６ ３ ０ ０ ； ２百色学院数 学与计算机信息工程系 广 西百色 ５ ３ ３ ０ ０ ０ 。广东海洋大学数学系 广东湛江 ５ ２ ４ ０ ８ ８ ）
。 （ ｍ ， 佗 ） Ｃ ２ ＋∑ ∑ ０ （ ｓ ， ） “ （ ｓ ， ￡ ） ＋∑ ∑ ６ （ ｓ ， ） （ ｓ ， ） 叫 （ 乱 （ ｓ ， ） ） ．
Ｓ＝ ｍ ｏ ｔ ｎ０ ８ ￣Ｔ Ｔ ｔ ０ｔ ＝ ｎｏ
近来 ，这个 不等 式又 被 Ｃ ｈ ｅ ｕ ｎ ｇ和 Ｒｅ ｎ在文 献 ［ １ ４ ］ 中推 广成下 面 的不等式
减连续函数满足 ｗ （ ｕ ） ＞０ ， Ｖ ｕ＞０ ． ２ ０ ０ ８ 年，王五生在文献 ［ １ ５ ］ 中研究了下面的不等式
２ ｍ 一１ ｌ ， ＾ ～１
（ （ ｍ ， 礼 ） ） 。 （ ｍ ， 凡 ） ＋ ∑∑ ∑ｆ ｉ （ ８ ， ￡ ） （ ， “ （ ｓ ， ｔ ） ） ，
Hale Waihona Puke Baidu
（ ｍ ， 礼 ） 。 （ ｍ ， ｎ ） ＋ ∑ ∑ ∑ （ ｍ ， ， ） （ ｕ （ ｓ ， ￡ ） ） ，
＝ １ ｓ ｍ ０ ｔ＝ ｎｏ
其中 （ ｉ ＝１ ， ２ ， …， ｋ ） 是单调函数．同年，在没有要求 。 （ ｉ ＝１ ， ２ ， …， ） 是单调函数的情 况下，王五生和周效 良在文献 ［ １ ７ ］ 中考虑 了差分不等式
摘要：建立 了一个二变 量的和差分不等式，该不等式不仅右端和号外的项是 非常数项 ，而且包
含 ｋ项未 知函数和 非线性 函数的复合函数；运用单调化技 巧和 强单调概 念给出了不等式中未
知 函数 的上界估计 ；所得 结果 可以用来估计 Ｃ ｈ ｅ ｕ ｎ ｇ Ｗ Ｓ（ ２ ０ ０ ６ ） 和 王五 生 （ ２ ０ ０ ８ ） 所研究的 不等式 中的未知函数 ； 最后，用研 究不等式得到的结果研 究二变量差分方程初边值问题 的有界
Ｅ— ｍａ ｉ ｌ ：ｗａ ｉ ｌ 【 ｇ ４ ８ ９ ６ ＠１ ２ ６ ． ｃ ｏ ｍ；ｚ ｚ ｌ ｑ ｆ ｎ ｕ ＠ｑ ｑ ． ｃ ｏ ｍ； ｚ ｊ ｈ ｄ ｚ ｘ ｌ ＠ｙ ａ ｈ ｏ ｏ ． ｃ ｏ ｍ． ｃ ｎ
｝基金项 目： 国家 自 然科学基金 （ １ １ １ ６ １ ０ １ ８ ） 、 广西 自然科学基金 （ ０ ９ ９ １ ２ ６ ５ ， ２ ０ １ ２ Ｇｘ Ｎｓ Ｆ Ａ Ａ０ ５ ３ ０ （ 】 ９ ） 、 广西教育厅 科学研 究基金 （ ２ ０ １ １ ０ ６ Ｌ Ｘ ５ ９ ９ ， ２ ０ １ ２ ０ ４ Ｌ Ｘ４ ２ ３） 和广东 省自然科学基金 （ １ ｏ ４ ５ ２ ４ ０ ８ ８ Ｏ １ ０ ０ ４ ２ １ ７ ）资助
１ 引言
Ｇ ｒ ｏ ｎ ｗ ａ ｌ ｌ — Ｂ ｅ ｌ ｌ ｍａ ｎ不等式 ［ １ － ２ 】 是 研究微分 方程和 积分方 程 的解 的存 在性 、唯一性 、有界
性、 稳定性等定性性质的重要工具 （ 参见文献 ［ ３ — ９ ］ ） ． 随着积分不等式和差分方程的发展， 越 来越多的人关注 Ｇ ｒ ｏ ｎ ｗ ａ ｌ ｌ — Ｂ ｅ ｌ ｌ ｍ ａ ｎ不等式的离散形式 （ 参见文献 ［ １ ０ — ２ ０ ］ ） ． 文献 ［ １ １ ］ 中研究 了一个 简单 的差分 不等 式
Ｎｏ ． ２
王五 生等 ：一 类 推广 的二变 量和 差分 不等 式及 其在 初边值 问题 中的应用
３ ４ １
其中 Ｑ （ ， “ ） ： ＝ ｄ ｓ ／ ｗ（ ｓ ） ． ２ ０ ０ ４ 年， Ｃ ｈ ｅ ｕ ｎ ｇ 在文献 ［ １ ３ 】 进一步研究了另一种形式的差分不
等 式
礼一 １
ｕ （ ｎ ） ｎ （ 凡 ） － ４ － ， （ ｓ ） ， “ （ ｓ ） ．
ｓ ＝ ０
Ｐ ａ ｃ ｈ ｐ ａ ｔ ｔ ｅ 在 文献 『 １ ２ １ 中研 究 了和差 分 不等式
给 出 了未 知 函数 的估计
收稿 日期： ２ ０ １ １ — １ ０ — １ ０ ； 修订 日 期： ２ ０ １ ２ — １ ２ — ０ ３
ｉ ＝１ ８ ＝ｍ ｏ ｔ ＝ ｎｏ
此 式把 （ １ ． １ ）式 中 的常 数 ｃ和 函数 Ｕ ｐ ， ｄ （ ｓ ， ） ，ｅ （ ｓ ， ） ， Ｕ ｑ ， 乱 叫（ ）分 别推 广 成 函数 ａ （ ｍ， ｎ ） ， 矽（ ） ， ＾（ ｓ ， ） ， （ ｓ ， ） ， ｌ （ ） ， ｐ ２ （ ｕ ） ， 没有 要求 （ ｉ ＝１ ， ２ ） 是 单 调函数 ． ２ ０ ０ ９ 年 ，郑克 龙等 在文献 ［ １ ６ ］ 中又进一步讨论了不等式
性 、唯一性和连续依赖性．
关键词：和差分不等式；单调化 ；强单调性 ；有界性．
Ｍ Ｒ（ ２ ０ ０ ０ ）主题分类：３ ９ Ａ１ ０ ； ２ ６ Ｄ１ ５ ； ２ ６ Ｄ１ ０ 中图分类号：Ｏ １ ７ ８ 文献标识码： Ａ
文章编号：１ ０ ０ ３ — ３ ９ ９ ８ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ — ３ ４ ０ — １ ４
ｎ一 １ ｎ一１ ｍ 一 １ ｎ一 １
“ （ ｍ ， ｎ ） ｃ ＋∑ ∑ ｄ （ ｓ ， ￡ ） （ ｓ ， ￡ ） ＋∑ ∑ ｅ （ ｓ ， ） （ ｓ ， ） 叫 （ 乱 （ ｓ ， ） ） ， （ １ ． １ ）
其中 ｃ ， Ｐ和 ｑ都是 常数 ， ｃ ０ ， Ｐ＞ｑ＞０ ， ｄ ，ｅ 是 定义 在 格子 ｚ 上 的非 负函数 ； Ｗ 是 非
数学物理学报
２ ０ １ ３ ， ３ ３ Ａ（ ２ ） ： ３ ４ ０ ３ ５ ３ ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ａ ｃ ｔ ａ ｍｓ ． ｗ ｉ ｐ ｍ． ａ ｃ ． ｃ ｎ
一
类推广的二变量和差分不等式 及其在初边值 问题 中的应 用
王五生 李 自尊 。 周 效良
（ 河池学院数 学系 广西宜州 ５ ４ ６ ３ ０ ０ ； ２百色学院数 学与计算机信息工程系 广 西百色 ５ ３ ３ ０ ０ ０ 。广东海洋大学数学系 广东湛江 ５ ２ ４ ０ ８ ８ ）
。 （ ｍ ， 佗 ） Ｃ ２ ＋∑ ∑ ０ （ ｓ ， ） “ （ ｓ ， ￡ ） ＋∑ ∑ ６ （ ｓ ， ） （ ｓ ， ） 叫 （ 乱 （ ｓ ， ） ） ．
Ｓ＝ ｍ ｏ ｔ ｎ０ ８ ￣Ｔ Ｔ ｔ ０ｔ ＝ ｎｏ
近来 ，这个 不等 式又 被 Ｃ ｈ ｅ ｕ ｎ ｇ和 Ｒｅ ｎ在文 献 ［ １ ４ ］ 中推 广成下 面 的不等式
减连续函数满足 ｗ （ ｕ ） ＞０ ， Ｖ ｕ＞０ ． ２ ０ ０ ８ 年，王五生在文献 ［ １ ５ ］ 中研究了下面的不等式
２ ｍ 一１ ｌ ， ＾ ～１
（ （ ｍ ， 礼 ） ） 。 （ ｍ ， 凡 ） ＋ ∑∑ ∑ｆ ｉ （ ８ ， ￡ ） （ ， “ （ ｓ ， ｔ ） ） ，