第九讲 分形与分数维

积若用半径为 2 的圆去覆盖，至少需
1 1, 2 1 n n r 次迭代后， 的圆变成长半轴为 ，短半轴为 N 1 2 的椭圆，此时面
n
N ( 2 )
n
1 2
n n
个。严格讲前面可乘一有界正因子 C ( n) ，从而
9.3
D lim
则
rn 1 q e b rn
旋转自相似结构为
r eb r
（9.9）
习题
D m

k 1
m
k
m1
(9.5)
9.3
混沌吸引子的分数维
这对于任意吸引子都有意义的： 定常： 周期： 准周期：
1 0, 2 0, 3 0 m 0, D； 0
1 0, 2 0, 3 0 m 1, D； 1
1 2 0, 3 0 m 2, D 。 2
9.1
分形的描述之一 —— 分数维
D lim
0
一个集合的容量维 D定义为
ln N ( ) ln(1/ )
（9.1）
这里， 是长度尺寸，N ( )是覆盖所需的长度为
合，单元为边长 的正方形，对空间来说为边长为 的立方体。由于
单元的数目。对于平面上集
lim
ln N ( ) ln( ( ) N ( )) lim , 0 ln(1/ ) 0 ln(1/ )
1 3 32
ln 3n ln 3 D lim 1.5849 n ln 2n ln 2
类似地，
L( )
3 2 3 2 D 3 0.4150 垫片面积。 N ( ) 为Sierpinski 4 4 4
9.2
9.2
B. Koch曲线
:
1
一些特殊集合的维数
1 3
1 3
2
N ( ) : 40 1 41
42
从而
ln 4n ln 4 D lim 1.2618 n ln 3n ln 3
可以视为在直线 d 1加了一些涨落：
b 0 为标度因子。 为自相似函数， 为标度指数，
对多元函数来说，若
f (bx, y, z ) b 1 f ( x, y, z ) f ( x, by, z ) b 2 f ( x, y, z ) f ( x, y, bz) b 3 f ( x, y, z )
z 则称 1 , 2 , 3分别为 x, y , 方向上的标度指数。
非线性力学导论
引
言
上一讲8.4节给出的混沌特征中指出，混沌吸引子只能用分数维表征，这一 讲我们讨论集合的分数维及在混沌吸引子中应用。
定义9.1无统一的特征尺寸，在所有尺度上的图案、好像是整体图像的一个
缩影的自相似结构，称为精细结构。
定义9.2 (Mandelbrot) 具有精细结构的图形统称为分形。
所以
ln V0e(1 22 )t 1 1 D lim 2 2 t ln e3 t 3 3 （Yorke）
当 10, b 8 / 3, 30 时
（9.4）
1 1, 2 0, 3 14.5
此时
1 D 2 14.5 2.07
这里 D 是分数维（ 1 D 2 ），可以验证它是标度指数为
W bx
m
b (1 cosb
n
n 1
x) b W z
（9.8）
9.6 自相似结构－螺旋结构
对数螺旋结构为
r aeb
任选 ，取
r1 aeb1 , r2 aeb1 ,, rn aeb1 n1 ,
9.4
Koch曲线长度
自相似结构
（9.6）
L( ) L(br) b L(r )
即当尺寸放大 b 倍，则曲线长度放大 b 倍。因为 0 所以实际长度为缩小， 因为细节被忽略。
9.4
设
自相似结构
9.4.1 任意函数的自相似关系
f (bx) b f ( x),b 0
d D d 1 记 d D 0.2618 , 由(9.1) 可得
则
N ( ) D
L( ) N ( ) 1D
为Koch曲线长度。
9.2
C. Sierpinski垫片
一些特殊集合的维数
:
N ( ) :
1 1 1 2 2 2
V b 1 2 3 D 1 2 3 1 ( 11Biblioteka 12
1
3
)
（9.7）
9.5 自相似函数－Weierstrass函数
W x
m
b


n
(1 cos bn x)， 1 b 2, 2 D
的自相似函数
L( ) 3 N ( ) 3D 0.2731
9.3
混沌吸引子的分数维
某一映射的混沌吸引子是指：最后的点都被引入某一容量维(面积或体积) 为零的集合，而不是一个或可数个点集。现在来研究这种集合的维数。
9.3
混沌吸引子的分数维
9.3.1 二维映射
类似Henon映射，通常不稳定的不动点的Floguet乘子
(c) D 2 ，这里因为是耗散系统，存在
1 2 ，所以 1
1 D 2
ln 1 ln 2 0
ln 1 ln 2
9.3
混沌吸引子的分数维
9.3.2 三维自治系统
象Lorenz的三维动力系统进入混沌区后，平衡点的局部不稳定和全局稳定 相结合，产生混沌吸引子。其Lyapunov指数为
9.3
混沌吸引子的分数维
1 2 。假定 n
9.3.3 任意维自治系统的混沌吸引子（某不动点附近）
将Lyapunov指数由大到小排列：

k 1
m
k
0,

k 1
m 1
k
0
这样必有 m1 为
0 。进一步假定 k 0, k m 1,,，则 n Yorke公式可推广
0 N1 ( ) N 2
所以上述 单元可以换成任意其它单元，譬如在空间中， 单元可换成球或四面 体等等，因为它们与 立方体只差一有界的比例常数 ( )，从而与覆盖数 N ( ) 之比是一有界量。
9.1
分形的描述之一 —— 分数维
N ( ) ( ) / , lim ( ) 为长度 0
1 0, 2 0, 3 0
由耗散性
1 2 3 1 3 0 3 1
微立方体 V0经过时间 t后的体积为
V (t ) V0e(1 3 )t
取
t e ，则
3
9.3
混沌吸引子的分数维
N (e3 t ) V (t ) / e33 t V0e(1 23 ) t
9.3
D1 1
混沌吸引子的分数维
ln 1.923 1.352 ln 0.156 D2 1 ln 3.259 1.495 ln 0.092
即两个不同点附近的混沌吸引子的维数是有差别的。 注： (a) Henon映射在一个方向上伸长、折叠，假定折叠后点的重叠数是比起整体 是一小量（只考虑初始区域在特征方向一侧即可）。 (b) 这里考虑的是不同点邻域内的混沌吸引子的维数，所以可用Floguet乘子。
0
A. 对于不论平面或空间中的，由连续曲线构成的集合
从而
D lim
ln ( ) ln(1/ ) 1 0 ln(1/ )
B. 对于由可度量的曲面构成的集合
N ( ) ( ) / 2 , lim ( ) 0为面积
0
从而
D lim
9.4
取
自相似结构
9.4.2 换一种形式写出上述自相似结构
1 1 ， 2 1 / 2，3 1 / 3
则
f (b1 x, y, z) f ( x, b2 y, z) f ( x, y, b3 z ) b1 f ( x, y, z )
3 2 1 此时，x, y, z 上分别放大 b ， b ， b 倍，从而体积放大倍数为：
1 : ， 1 1 3, 3 ， 3 ， 2 n
N ( ) :
2,
22 ， ， 2n ，
ln 2 n ln 2 D lim 0.6309 n ln 3 n ln 3
即维数比一般离散点集高，但比曲线要低。这里存在分数维。
N ( ) D
ln N ( ) 2 0 ln(1/ )
9.1
同理
分形的描述之一 —— 分数维
C. 由可数个点（不论在平面或空间中）构成的集合
D0
D. 由可度量的块体构成的集合
D3
显然容积维是由普通的点、线、面、体的维数的推广。
9.2
A. Cantor集
一些特殊集合的维数
将线段 (0,1)三等分，去掉中间段。这样连续进行得到Cantor集。
n
混沌吸引子的分数维
ln( 1 / 2 ) ln(1 / 2 )
n n n
1
ln 1 ln 2
（9.2）
联想到前面的Lyapunov指数定义 则
1 ln 1 , 2 ln 2
1 1 D 1 1 2 2
（9.3）
对于Henon映射的两个不同点，Floguet乘子分别为 （-1.933,0.156）和（3.259,-0.092）， 所以
D. Sierpinski海绵
一些特殊集合的维数
边长为1的正方体，等分成27个边长为１/３的小正立方体，去中间7个
1 1 1 : , ， ， 3 3 3 ， 2 n
N ( ) : ， 20 202 ， ，20n ，
从而
ln 20n ln 20 D lim 2.7268 n ln 3 n ln 3