高一必修三角函数基本概念

规律方法指导

1.象限角问题

角的终边所在位置角的集合

x轴正半轴

y轴正半轴

x轴负半轴

y轴负半轴

x轴

y轴

坐标轴

是第一象限角，所以

是第二象限角，所以

是第三象限角，所以

是第四象限角，所以

2.角度制与弧度制

(1)可利用比例关系进行角度制与弧度制的互化；

(2)弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：

3.三角函数定义及其应用

(1)三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.、

我们只需计算点到原点的距离,

那么,,

(2)三角函数在各象限的符号：(一全二正弦，三切四余弦)

能迅速准确地判断三角函数值的符号是今后化简求值的关键.要注意在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应关系，即给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(除不存在的情况)；反之，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应.

经典例题透析

类型一：象限角

1．已知角；

(1)在区间内找出所有与角有相同终边的角；

(2)集合，,那么两集合的关系是什么？

解析：(1)所有与角有相同终边的角可表示为：，

则令，

得

解得，从而或

代回或.

(2)因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合;

而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集

合，从而：.

总结升华：(1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个

关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；(2)可对整数的奇、偶数情况展开

讨论.

2．已知“是第三象限角，则是第几象限角?

解法一：因为是第三象限角，所以，

∴，

∴当k=3m(m∈Z)时，为第一象限角；

当k=3m＋1(m∈Z)时，为第三象限角，

当k=3m＋2(m∈Z)时，为第四象限角，

故为第一、三、四象限角.

解法二：把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依

次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，

则原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为的终边

所在的区域.

由图可知，是第一、三、四象限角.

思路点拨：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则原来是第几象限的符号所表示的区域即为(n∈N*)的终边所在的区域.

总结升华：

(1)要分清弧度制与角度制象限角和终边在坐标轴上的角；

(2)讨论角的终边所在象限，一定要注意分类讨论，做到不重不落，尤其对象限界角应引起注意.

举一反三：

【变式1】集合，，则( )

A、B、C、D、

【答案】C

思路点拨：( 法一) 取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4

(法二)在平面直角坐标系中，数形结合

(法三)集合M变形，

集合N变形，

是的奇数倍，是的整数倍，因此.

【变式2】设为第三象限角，试判断的符号.

解析：为第三象限角，

当时，此时在第二象限.

当时，此时在第四象限.

综上可知：

类型二：扇形的弧长、面积与圆心角问题

1．已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？

解：设扇形的圆心角是，因为扇形的弧长是，所以扇形的周长是

依题意，得

≈≈

总结升华：弧长和扇形面积的核心公式是圆周长公式和圆面积公式，当用圆心角的弧度数代替时，即得到一般的弧长公式和扇形面积公式：

举一反三：

【变式1】一个扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积.

思路点拨：运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性质来解决最值问题.

解：设扇形的半径为，则弧长为，

于是扇形的面积

当时，(弧度)，取到最大值，此时最大值为.

故当扇形的圆心角等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是.

总结升华：求扇形最值的一般方法是根据扇形的面积公式，将其转化为关于半径(或圆心角)的函数表达式，进而求解.

类型三：利用三角函数的定义解题

1．已知角的终边过点，求的三个三角函数值.

解析：因为过点，所以，.

当；

，.

当，；.

总结升华：(1)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论；

(2)若角已经给定，不论点选在的终边上的什么位置，角的三角函数值都是确定的；另一方面，如果角终边上点坐标已经确定，那么根据三角函数定义，角的三角函数值也是确定的.

举一反三：

【变式1】已知角的终边上一点，且，求的值.

解析：由题设知，，所以，得，

从而，

解得或.

当时，，；

当时，，；

当时，，.

学习成果测评

基础达标：

1.若是第二象限角，则是第_____象限角，2的范围是__________，是第_____象限角.

2.已知角的终边经过点P(5，-12)，则的值为__________.

3.在半径为R的圆中，的中心角所对的弧长为_____，面积为的扇形的中心角等于_____弧度.

4.与角的终边相同，且绝对值最小的角的度数是_________，合_________弧度.

5.已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？

能力提升：

1.设角属于第二象限，且，则角属于( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.给出下列各函数值：①；②；③；④.其中符号为

负的有( )

A.①

B.②

C.③

D.④

3.等于( )

A. B. C. D.

4.是第四象限的角，则是( )

A.第一象限的角

B.第二象限的角

C.第三象限的角

D.第四象限的角

5.的值( )

A.小于

B.大于

C.等于

D.不存在