计算机图形学(圆弧的扫描转换II)

b2(xi+1) ≥ a2(yi－0.5)
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圆弧之Bresenham算法实现
• x0=0, y0=R
d1 =3–2*R • 当di ≤ 0时 xi= xi-1+1 di+1=di+ 4xi-1+6 • 当di>0时 xi= xi-1+1，yi= yi-1-1 di+1=di+4(xi-1-yi-1)+10
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判别式的改进
设与当前圆周最近的像素点是P，圆下面可能穿越的区 域只能有五种情况： ① H点在圆外，L点在圆内 – R＝7，xp=1, 取H点； – R＝13，xp=7, 取L点； ② H点与L点都在圆内 – R＝9，xp=3, 取H点 ③ H点与L点都在圆外 – R＝7，xp=4, 取L点 ④ H点在圆上，L点在圆内 – R＝13，xp=4，取H点 ⑤ H点在圆外，L点在圆上 – R＝5，xp=2，取L点
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Bresenham算法画圆举例
例子：画圆心(0,0)，半径R=5的圆
x0=0,y0=5 点亮点(x0,y0)=(0,5)
d1=3-2R=-7≤0
点亮点(x1,y1)=(1,5) d2=d1+4x0＋6=-1≤0 点亮点(x2,y2)=(2,5) d3=d2+4x1＋6=9>0
void bresenham_arc(int R, int color) { int x,y,d; x=0; y=R; d=3-2*R; while(x<y){ DrawPixel(x,y,color); if (d<=0) d+=6; else{ d=d-4*y+10; y-=1; } d+=4*x; x+=1; } if(x==y) DrawPixel(x,y,color); }
不能精确求出圆的内接多边形顶点，取得 越小，误差越小
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多边形迫近法的改进
设圆心在坐标原点O(0,0)，内接正 多边形的三个相邻点为Pi-1, Pi, Pi+1， 如图所示。 Pi-1A平行OPi+1， Pi+1A 平行OPi-1 有：OA 2cos OP i OPi 1 OPi 1 或： OPi 1 2cos OPi OPi 1
xi 1 R cos( i ) xi cos yi sin yi 1 R sin( i ) xi sin yi cos
Pi+1
或表示为矩阵形式
x i 1 cos y sin i 1 sin x i y cos i
个像素是取Hi+1还是Li+1，应 计算如下的判别式: di+1 = D(Hi+1)+D(Li+1) = [(xi-1+1+1)2+yi-12-R2]+[(xi-1+1+1)2+(yi-1-1)2-R2] = [D(Hi)+2xi-1+3]+[D(Li)+2xi-1+3] = di+4xi-1+6
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Pi+1 Pi

A
O
Pi-1
xi 1 xi xi 1 2 cos 设Pi点的坐标为(xi, yi)，则 yi 1 yi yi 1
只需两次乘法，但须知道圆上两个相邻内接多边形的顶点
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只需要讨论第一象限椭圆弧的生成, 在生成这段椭圆弧时， 要分两部分完成 ■ 上半部分，斜率的绝对值<1,单位步长应为X方向 ■ 下半部分，斜率的绝对值>1,单位步长应为Y方向
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椭圆上半部分的生成
设与当前椭圆弧最近的像素点是P(xi,yi)
下一个候选像素点只能是正右方的点 Pu(xi+1,yi)或者是右下方的Pd(xi+1,yi-1)
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判别式di的增量计算
di = D(Hi)+D(Li) = [(xi-1+1)2+yi-12-R2]+[(xi-1+1)2+(yi-1-1)2-R2] 若di > 0，表示Li点更接近圆 周，点亮Li(xi-1+1,yi-1-1)，下
一个像素是取Hi+1还是Li+1，
应计算如下的判别式: di+1 = D(Hi+1)+D(Li+1)
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C

i
Pi
用正多边形迫近圆弧法
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多边形迫近法的优化
已知点Pi，计算点Pi+1需要作四次乘法，再采 用画直线方法画PiPi+1 为降低计算量，采用cos 1, sin
或cos 1- 2/2, sin ，取 = 2-k，则乘 法可用移位和加减法实现
计算机图形学
第3章 基本光栅图形算法
圆弧的扫描转换
DDA法 正负法 中点法 Bresenham算法 多边形迫近法—圆与椭圆
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生成圆弧之Bresenham算法
基本原理
■ 设与当前圆周最近的像素 点是Pi-1(xi-1,yi-1)
■ 下一个与圆周最近的像素 点只能是正右方的点 Hi(xi-1+1,yi-1)或者是右下方 的点Li(xi-1+1,yi-1-1) ■ 记D(Hi) = (xi-1+1)2+yi-12-R2, D(Li) = (xi-1+1)2+(yi-1-1)2-R2 令判别式Di = |D(Hi)| - |D(Li)| ，然后根据Di的正负来 判断下一个像素点是取Hi 点还是Li 点 ■ 若Di<0，表示Hi点更接近圆周，点亮Hi(xi-1+1,yi-1) ■ 若Di≥0，表示Li点更接近圆周，点亮Li(xi-1+1,yi-1-1)
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判别式的改进
考察圆穿越不同区域时di的符号与Di的符号是否一致
■ 圆穿越①区域时，D(Hi) > 0，D(Li) < 0，有 Di = | D(Hi) |-| D(Li) | = D(Hi) + D(Li) = di ■ 圆穿越②区域时，D(Hi) <0，D(Li) < 0，有 Di = | D(Hi) |-| D(Li) | < 0，di= D(Hi) + D(Li) < 0 ■ 圆穿越③区域时，D(Hi) > 0，D(Li) > 0，有 Di = | D(Hi) |-| D(Li) | > 0，di= D(Hi) + D(Li) > 0 ■ 圆穿越④区域时，D(Hi) = 0，D(Li) < 0，有 Di = | D(Hi) |-| D(Li) | = D(Li) = di ■ 圆穿越⑤区域时，D(Hi) > 0，D(Li) = 0，有 Di = | D(Hi) |-| D(Li) | = D(Hi) = di
椭圆弧 的生成
xi 1 a cos( i ) , yi 1 b sin( i )
Hale Waihona Puke Baidu由此可得
xi 1 xi y M y i 1 i
cos 其中 M b sin a
a sin b cos
= [(xi-1+1+1)2+(yi-1-1)2-R2]+[(xi-1+1+1)2+(yi-1-1-1)2-R2]
= [D(Hi)+2(xi-1-yi-1)+4]+[D(Li)+2(xi-1-yi-1)+6] = di+4(xi-1-yi-1)+10
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判别式di的增量计算
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椭圆的多边形迫近法
设椭圆的中心在原点，长短轴分别为a 和 b，且平行于坐标柚，则该椭圆的参数方 程为 x a cos ，y b sin 设顶点序列的第i个顶点为 Pi ( xi , yi ) (a cos i , b sin i ) ,则 下一个顶点 Pi 1 ( xi 1 , yi 1 )的坐标应满足
设M(xi+1, yi-0.5)为Pu与Pd的中点 ■ 构造判别式： d1i=F(xM, yM)=b2(xi+1)2+a2(yi-0.5)2-a2b2
P(xi,yi) P (x +1,y ) u i i M(xi+1,yi-0.5) Pd(xi+1,yi-1)
■ 如果d1i >0,中点在椭圆外，应取右下方像素Pd(xi+1,yi-1)
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椭圆上半部分的终止条件
椭圆上任意一点P(x,y)的切线斜率为： dy/dx=－2b2x/(2a2y)
上半部分每一点的切线斜率都大于－1， 故上半部分终止的条件为：下一个中点 (xi+1, yi-0.5)的切线斜率小于等于－1，即
－2b2(xi+1)2/2a2(yi－0.5) ≤－1
结论： di的符号与Di的符号是一致的
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判别式di的增量计算
di = D(Hi)+D(Li) = [(xi-1+1)2+yi-12-R2]+[(xi-1+1)2+(yi-1-1)2-R2] 若di ≤ 0，表示Hi点更接近圆
周，点亮Hi(xi-1+1,yi-1)，下一
判别式di的初始值=?
d1 D(H1 ) D(L1 )
2 [( x0 1) 2 y0 R 2 ] [( x0 1) 2 ( y0 1) 2 R 2 ]
[1 R 2 R 2 ] [1 (R 1) 2 R 2 ] 3 2R
点亮点(x3,y3)=(3,4)
按45◦线对称翻转
按X轴对称翻转
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按Y轴对称翻转
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正负法与Bresenham算法比较
正负法主要用于笔式绘图仪中，以迎合绘图 仪只有水平和垂直方向的运动。每次选出的
下一个像素并不一定是离圆弧最近的像素点
Bresenham算法在候选的两个像素中，总是 选定离圆弧最近的像素为圆弧的一个近似点，
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生成椭圆之中点法
已知椭圆中心在(0,0), 长短半轴分别 2 2 x y 为a,b, 则椭圆方程为： 1 2 2 a b
△ 0 b2 x2 a2 y 2 a2b2 F( x, y)
<0 说明(x，y)在椭圆内 F(x,y) =0 说明(x，y)在椭圆上 >0 说明(x，y)在椭圆外
判别式更新为：d1(i+1)=F(xi+2,yi-1.5)=d1i+b2(2xi+3)+2a2(-yi+1)
■ 如果d1i ≤0,中点在椭圆内，应取正右方像素Pu(xi+1,yi)
判别式更新为：d1(i+1)=F(xi+2,yi-0.5)=d1i+b2(2xi+3)
■ 判别式初值为：d10=F(1,b-0.5)=b2+a2(-b+0.25)
因此，Bresenham算法比正负法决定的像素
更合理
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圆的多边形迫近法
基本思想
按一定方式计算给定圆弧轨迹上的一系列顶点， 然后用连接相邻点的一系列直线段来逼近圆弧。
设圆弧所在圆的半径为R，圆弧的起始角和终止角分别为 0 和 1 ， 把圆弧分割成 n 份，则相邻两个顶点之间的夹角为 a (1 0 ) / n 。 设顶点序列的第 i 个点为 Pi ( xi , yi ) (R cos i , R sin i ) ， i 为该点的 幅角。则下一个顶点 Pi 1 的坐标为
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判别式的改进
问题：判别式Di = |D(Hi)| - |D(Li)|的计算要用到绝对值 运算，能否将绝对值运算去掉呢？ 如右图所示，可看出D(Hi)>0, D(Li)<0，因此可以考虑把判 别式改为di=D(Hi)+D(Li)，在 这种情况下di的符号与Di的符 号是一致的。 问题：是不是任何情况下di的 符号与Di的符号都是是一致的 呢？如果是，如何证明？