汽车服务系统规划_第1章 线性规划

（二）线性规划问题的数学模型的标准型
1、线性规划问题的标准型
将线性规划问题的标准型规定为：
max z＝c1x1＋c2x2＋…＋cnxn a11 x1＋a12x2＋…＋a1nxn＝b1 a21 x1＋a22x2＋…＋a2nxn＝b2 ………………………………
am1 x1＋am2x2＋…＋amnxn＝bm x1、x2、…、xn≥0
求满足约束条件：
x1＋x2≤6 x1＋2x2≤8 x2≤3 x1、x2≥0
的x1和x2使目标函数（z＝3x1＋4x2）取得最大值。
或 简单地表示为：max z＝3x1＋4x2 x1＋x2≤6
s.t. x1＋2x2≤8 x2≤3 x1、x2≥0
例2-2 某药厂生产A、B、C三种药品。有甲、乙、丙、 丁四种原料可供选择（原料供应量不限），四种原料 的成本分别为每公斤4元、7元、9元、5元。每公斤不 同的原料能提取各种药品的数量如表2-2所示。
a2 j
...
amj
j＝（1，2，…，n） 则：A＝（P1，P2，…，Pn）
x1
从而：
AX＝（P1，P2，…，Pn）
x2 ... xn
＝
n
Pj x j
j 1
n
向量形式： max z＝CX
s.t.
Pj x j ＝b
j 1
X≥0
1）首先，将求目标函数的最小值问题转化为求 目标函数的最大值问题：
的转换和最优性检验； ★运用单纯形表求解线性规划问题。
第一节 线性规划问题及模型
一、线性规划问题示例
例2-1 某企业用A、B、C三种原料生产甲、乙两种产品。 已知的条件如表所示，试制订总利润最大的生产计划。
第一步，选取决策变量（可控因素）： 每个计划期内生产产品甲、乙的件数x1、x2。
第二步，建立目标函数：总利润最大
第一章 线性规划
研究的问题主要有两类：一类是给定了人力、物力 资源，研究如何合理地运用这些资源；另一类是研 究如何统筹安排，尽量以最少的人力、物力资源来 完成一定的任务。
本章重点： ★线性规划数学模型的一般形式及化标准形式的方
法、二维线性规划问题的图解法； ★线性规划问题的基本概念和定理； ★单纯形方法中初始可行基的确定方法、基可行解
策变量取定一组值就代表一个具体的行动方案。 ②目标函数是决策变量x1、x2、…、xn的线性函数。
寻找最优决策，使目标函数取得最大值或最小值。 ③决策变量的取值满足一定的约束条件，可用一组线
性等式或线性不等式来表示。
一般来说，线性规划问题可以用数学语言描述为：
目标函数：max（min）z＝c1x1＋c2x2＋…＋cnxn
z＝3x1＋4x2
第三步，确定约束条件： ①每个计划期内，原料A的用量不能超过6kg，即：
x1＋x2≤6
②每个计划期内，原料B的用量不能超过8kg，即： x1＋2x2≤8
③每个计划期内，原料C的用量不能超过3kg，即： x2≤3
④蕴含约束：产品数非负 x1、x2≥0
综上所述，这个问题的数学描述可归纳为：
满足约束条件： a11 x1＋a12x2＋…＋a1nxn≤（＝，≥）b1 a21 x1＋a22x2＋…＋a2nxn≤（＝，≥）b2 ………………………………………… am1 x1＋am2x2＋…＋amnxn≤（＝，≥）bm x1、x2、…、xn≥0 （非负约束）
此形式多种多样，实际问题中遇到的变量不一定 满足非负的要求，为了寻求一般线性规划问题的统 一解法，我们需要找到一种统一的形式。
第三步，确定约束条件： 种原料的需要量受A、B、C三种药品的产量的限制：
2x1＋x2＋3x3＋2x4＝115 6x1＋6x2＋2x3＋5x4≥260 3x1＋2x2＋2x3＋3x4≤130
蕴含约束：原料数量非负 x1、x2 、x3、x4≥0
综合以上所述，得该问题的数学模型：
min z＝4x1＋7x2＋9x3＋5x4
（3）自由变量转换 ——如果某个变量xi没有非负约束，即不一定满
足xi≥0，则称xi为自由变量。 自由变量可以转化为非负约束的变量，任意一个数
都可以表示为两个非负数的差。
xi xi xi
xi 0
xi 0
3、线性规划问题的矩阵型式
a11 a12 ... a1n
A＝
a21
... am1
s.t.
2x1＋x2＋3x3＋2x4＝115 6x1＋6x2＋2x3＋5x4≥260 3x1＋2x2＋2x3＋3x4≤130 x1、x2、x3、x4≥0
二、线性规划问题数学模型
（一）线性规划问题的数学模型的一般表达式
从以上例子可以看出线性规划问题的三个特征： ①存在着可控制的一组决策变量x1、x2、…、xn。决
（2）约束条件中的线性不等式可以转化为线性等式 ai1 x1＋ai2x2＋…＋ainxn≤bi ai1 x1＋ai2x2＋…＋ainxn ＋xn＋1＝bi xn＋1≥0 ——松弛变量
ak1 x1＋ak2x2＋…＋aknxn≥bk ak1 x1＋ak2x2＋…＋aknxn - xk＋1 ＝bk xk＋1≥0 ——剩余变量
a22 ... am2
... a2n
... ...
... amm
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C＝（c1，c2，…，cn）
b1
b＝
b2 ... bm
x1
X＝
x2
... xm
0
0＝
0
.0..
线性规划问题矩阵形式： max z＝CX
s.t. AX＝b X≥0
4、线性规划问题的向量行式
a1 j
Pj＝
该厂要求每天生产药品A恰好115g，药品B至少260g， 药品C不超过130g。试确定各种原料的每天需要量，使 每天的总成本最小。
第一步，选取决策变量（可控因素）： 设该厂每天需要甲、乙、丙、丁四种原料的数量
分别为x1、x2、x3、x4公斤。
第二步，建立目标函数：总成本最小
z＝4x1＋7x2＋9x3＋5x4
n
max z＝ cjxj j 1 n aijxj＝bi j 1
xj≥0
（i＝1，2，…，m） （j＝1，2，…，n）
2、线性规划问题的标准化 （1）求目标函数的最小值转化为求目标函数的最大值
如果给出的问题是要求： min z＝c1x1＋c2x2＋…＋cnxn
则令： w＝－z 则原问题转化为：
max w＝-c1x1-c2x2-…-cnxn 最后： min z = - max w