动态模型

• 3. 模型分析 模型：B’=f1(B,F)B, F’=f2(B,F)F • (1) 平衡态(equilibrium)分析 • 水平集(level set): 使一个种群保持不变的状态空 间的点集。 • B水平集： f1(B,F) = 0 • F水平集： f2(B,F) = 0 • 平衡点：两个种群均保持不变的状态点集 • N*: f1(B,F) = 0 且 f2(B,F) = 0 • N*01: B=0 且 f2(B,F) = 0 • N*10: F=0 且 f1(B,F) = 0 • N*00: B=0 且 F=0
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（3）结论 对每种鲸鱼（蓝鲸或长须鲸）存在两类增长限制 第一种是由于与另一种鲸的竞争， 第二种是由于拥挤造成的同一鲸种内部的竞争。 因此，对每一个鲸种存在一个点， 在这一点鲸鱼由于拥挤会主动停止增长。 且存在另一点， 在这一点鲸鱼通过竞争阻止另一种鲸鱼的增长。 两种鲸鱼能够共存的条件是 每种鲸达到限制自己增长的点要在达到它限制另 一种鲸鱼的增长的点之前达到。
• 问题1. 在鲸鱼问题中我们应用了一个种群增长 的Logistic模型， • 没有种群间相互竞争的种群P的增长率为 • g(P)=r(1-P/K)P • 在这个问题中我们将采用较简单的增长模型 • g(P)=rP
• (a) 两种鲸鱼种群能否共存？建一个动力系统 模型描述种群的动态。 • (b) 画这个模型的向量场。确定每个平衡态的 位置。 • (c) 确定状态空间每个平衡态是否稳定。 • (d) 假设存在5,000 条蓝鲸和 70,000条长须鲸， • 关于这两种鲸鱼的将来这个模型能预测些什么
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问题2. 在这个问题中我们将采用较复杂的增 长模型 • g(P)=(r/c)(P-c)(1-P/K)P • 其中参数c表示种群水平的最小值，低于这个水 平种群将出现负增长。 • 假设=10-7, 且最小值的种群水平是蓝鲸3,000条， 长须鲸15,000条。
• (a) 两种鲸鱼种群能否共存？建一个动力系统模 型描述他们的动态。 • (b) 画出这个模型的向量场。确定每个平衡态是 否稳定。 • (c) 假设存在5,000 条蓝鲸和 70,000条长须鲸， 关于这两种鲸鱼的将来这个模型能预测些什么？ • (d) 假设我们低估了蓝鲸的最小有效种群值，这 个值实际上接近 10,000. 于是两个种群会发生 什么变化？
• 问题 4. 蓝鲸最喜欢的一种食物是所谓的磷虾。
• 这些极小的虾状动物被大量地吞噬，为巨大的 鲸鱼提供主要的食物来源。 • 磷虾的最大饱和种群为 500吨/英亩。 • 当缺少捕食者，环境不拥挤时，磷虾种群以每 年25%的速率增长。 • 磷虾500吨/英亩可以提高蓝鲸2%的年增长率， • 同时150,000条蓝鲸将减少磷虾10%的年增长率。
（4）灵敏性分析：平衡点的对的α灵敏性 当 α= 10-7时，有B*=35294, F*=382353。 在这一点可算得 S(B*, α)=-3.6, S(F*, α)=0.122 可知蓝鲸种群对α更灵敏。 如果α= 10-8时，有B*=138207, F*=393090。 可算得 S(B*, α), S(F*, α)
• 例 鲸鱼问题 • 蓝鲸(blue whale)和长须鲸(fin whale)是两个生 活在同一海域习性相似的生物种群。 • 它们之间存在竞争。 • 内禀增长率(intrinsic growth rate) 估计 • 蓝鲸为每年5%，长须鲸为每年8%。 • 环境承载力（环境能够容纳的鲸鱼的最大数量） (environment carrying capacity)估计 • 蓝鲸为150,000条，长须鲸为400,000条。 • 鲸鱼相互间竞争的程度是未知的。 • 在过去的100年剧烈的捕捞已经使鲸鱼数量减少， 蓝鲸大约5,000，长须鲸大约70,000。 • 蓝鲸是否会灭绝？
• (a) 确定鲸鱼与磷虾是否可以在平衡态共存。建 一个动力系统模型描述它们的动态。 • (b) 画出这个模型的向量场。确定每个平衡态是 否稳定。 • (c) 描述两个种群随时间的变化。假设初始状态 为蓝鲸 5,000条、磷虾750吨/英亩。 • (d)对(c)得到的结论如何敏感地依赖磷虾25%的 年增长率的假设？
400000
F*=rBKF(αKB-rF)/D=1.6×103(1.875×106 α-1)/D
D=α2KBKF-rBrF.=(1.5×1013α2-1) × 0.004
• 水平集 与B=0相交 与F=0相交 斜率 • f1=0 N*01 (0.08/α, 0) B’=0 • f2=0 (0, 0.05/α) N*10 F’=0
• 只有当 N*10 =150000< 0.08/α 且 • N*01 =400000< 0.05/α • 或 N*10 =150000> 0.08/α 且 • N*01 =400000> 0.05/α • 时N*(>0)存在。
I
II
III
IV
• (2) 平衡态的稳定性(stability)
• 平衡态的稳定性：状态偏离平衡点后，能否返回平 衡态的动态行为。 • 向量场法：在相平面(phase plane)被水平集划分的 区域上分别标出状态变量动态的方向 • 特征值法：如果矩阵 f1 f1 x x2 1 A f 2 f 2 x1 x2 N * 在所讨论的平衡点处的特征值全部具有负实部，则平衡点 是稳定的。 如果有一个特征值具有正实部，则平衡点是不稳定的。
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问题3. 再次考虑鲸鱼问题， 假设=10-8。 在这个问题中考察捕捞对两种鲸鱼的影响。 设捕捞努力量为E船/天， 得到蓝鲸的年捕捞量qEB和长须鲸的年捕捞量qEF， 其中假设参数q（捕捞能力）约为10−5
• (a)在什么条件下两种鲸鱼种群能在目前的捕 捞状况下持续共存？建一个动力系统模型描 述它们的动态。 • (b) 画出这个模型的向量场，满足(a)的条件。 • (c) 求使得长须鲸种群减少到现在的约70,000 条的最小捕捞努力量。假设在开始捕捞前有 蓝鲸150,000条、长须鲸400,000条。 • (d) 如果继续按(c)给定的努力量捕捞这两个 种群将发生什么变化？画出此时的向量场。 这就是导致国际捕鲸协会(IWC)号召国际禁 止捕鲸的原因。
• 一. 假设： • 1. 两个生物种群 B(t),F(t)竞争同一资源. • 2. 无竞争时，种群均为logistic增长。 • 3. 竞争种群存在将降低种群的增长率。 • 4. 增长率的减少量与当时竞争种群的数量成比 例。
• 二. 建模 • 1. 参量、变量 • 种群数： B(t), F(t); • 内并增长率： rB, rF; • 环境载力：KB, KF; • 竞争力：CB, CF. • 为简单起见，令 CB = CF = α
• 2. 模型 • 无竞争 dF F dB B rF (1 )F rB (1 ) B, dt KF dt KB 竞争模型 dF F dB B rF (1 ) F BF , rB (1 ) B BF, dt KF dt KB
dB B 0.05(1 ) B BF , dt 150000 dF F 0.08(1 ) F BF , dt 400000 状态空间： S {( B, F ) : B 0, F 0}
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• 关于平衡点的稳定性对竞争力的灵敏性， • 不难看出，由于 B*<KB=150000,F*<KF=400000总是成立的。 • 只要α< 1.25×10-7, 稳定性是保持不变的。 • 我们的结论对于竞争力是不灵敏的 • 对于内禀增长率和环境承载量也同样。
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（5）稳健性分析 考虑函数f1和 f2的形式。 假设B’/ B和 F’/F分别是B和F线性函数。 这些直线表示了一个种群或另一个种群停止增长 的点。 去掉这个线性的假设。 设如果g1和g2是非线性的， 只要向量场具有相同的一般特征， 我们所有的分析结果仍然是对的。
动态系统模型
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动态模型描述状态变量随时间演变的行为 空间飞行、电流的动态、化学反应、 生物种群增长、金融投资、年金的增长、 军事战斗、疾病的传播、污染的控制等。 动态模型易于组建但难于求解。 精确的解析解仅对很少的特殊情况存在
• 数值方法常常不能对系统的行为提供全面的定 性解释。 • 定性分析是分析动态模型不可缺少的工具。
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情况I, III 将出现蓝鲸灭绝的情况。 而情况II 和 IV 蓝鲸将不会灭绝。 这时有 N*01=400000<0.05/α 也就是说当种群之间相互竞争的强度 α< 0.05/4×105=1.25×10-7 时，蓝鲸对于任何的初始状态度是不会灭绝的。
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水平集是两条直线 f1=0, f2=0.
平衡态：N*00=(0,0),
N*01=(0,KF)=(0,400000), N*10=(KB,0)=(150000,0), N* = (B*,F*), B*=rFKB(αKF-rB)/D=6×102(8×106α-1)/D,