高等数学第八章需要与mm讲义m综合
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高等数学第八章需要与mmm综合
精品jing
高等数学课程1(2)
高等数学1(2)
向量代数与空间解析几何
多元函数、极限、连续、偏导数、 下册 全微分、偏导数应用
二重积分、三重积分及应用 曲线积分、曲面积分及应用 无穷级数
高等数学课程1(2)
高等数学1(2)
必修，本学期96学时，考试课，6学分
期末成绩
向量
rOM
称为点M关于原点O的向径.
一个点与该点的向径有相同的坐标.记号 (x, y,z)
既可以表示点M，又表示向径 OM
注意区分.
z C
Q
特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 A , B , C
P ok i
r
j
M
B y
A
x
N
坐标面上的点 P, Q , N;
z
o
x
坐标面 :
平时成绩占20% 期末卷面占80%
出勤6分满 作业6分满 测验8分满
（一般平时成绩平均分16分）
要求
1、保证出勤，认真听懂课，不懂处及时 问,学会问. 2、课后复习，及时并独立完成作业. 3、临上课前一天看书了解学过知识.
4、关键处记笔记，学会归纳整理，不欠债.
5、选一本合适的参考书. 6、经常翻看上册书(求导\求积的公式和方法.
答疑 质疑
︵
节 日 休 息
︶
时间：星期一 7—8节 (暂定) 地点：E3馆-208\209 教师：数学2教研室教师轮流值班制 人员：信息学院、机械学院的学生
Fra Baidu bibliotek
交作业时间：每星期三 下午 E3馆-208室
第八章
空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面
坐标轴 :
y
四、利用坐标作向量的线性运算
设
a (a x,a y,a z)b , (b x,b y,b z),
r x i y j z k
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
P ok i
r j
M
B y
A
x
N
沿三个坐标轴方向的分向量.
显然，给定向量 r ，就确定了点M 及OA、OB、OC
三个分向量，进而确定了x , y , z 三个有序数；反之，
给定三个有序数x , y , z ，也就确定了向量r与点M.
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 oxoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
• 右手法则
2. 向量的坐标表示
任给向量 r ，有对应点M，使 OM
r.
以
OM为对角线，三条坐标轴为棱作长方体
CPMQ — OANB，如图
rO M O N M O O A O BCC z Q
例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
试 a 与 用 b 表 M 示 ,M A ,M B ,M C . D
解: abAC
2MA
D
C
baBD
2MB b
M A 1 2(ab) MB 1 2(ba)A 练M 习： 化C 1 2简(aa b )b M 5 1 2 D b 1 2 (bb a 53 )a
数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
第一节
第八章
向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
“ ” 已知 b＝ a , 则 b＝0 a , b 同向
a∥b
a , b 反向
注：定理1是建立数轴的理论依据.
设点O及单位向量 i 确定数轴ox. i
i 由定理1，必有唯一的实数x，使 xi,实数x叫做数轴上有向线段 的值.
与实数x 一 一对应. 向量 xi 实数x
（实数x叫做数轴上点P的坐标）
分配律 (a b )a b
则有单位 a 向 1 量 a. 因此 aaa
a
定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b
( 为唯一实数)
证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝±
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
b
故ba.
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ()a0 故 0,即.
M aB
化简
a b 5 1b b 3a
2 5
解 a b 5 1b b 3a 2 5
(13)a 15 21 55 b
2a5b. 2
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
zz 轴(竖轴)
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
(ab)c
c
bc
a(bc)
a 三角形法则: ab
b
ab b a
a 运算规律 : 交换律 a b b a
向量的模 : 向量的大小,
向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
M2 M1
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
结合律 (ab)ca(bc)a b c
三角形法则可推广到多个向量相加 .
s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
a4
a5
a3 s
a2 a1
2. 向量的减法
a
三角不等式
3. 向量与数的乘法
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作a.
规定 :
总之: 运算律 :
结合律a ( a ) a (a )a 1 1 可a a 见 a ;a ;
于是点 M 、向量r 与三个有序数x , y , z之间 有
一一对应的关系
M r O x M i y j z k (x,y,z).
故定义：有序数x , y , z 称为向量 r（在坐标系O xyz中）
的坐标，记作
r (x,y,z)或
r{x,y,z}
有序数x , y , z 也称为点 M（在坐标系O xyz中） 的坐标，记作 M(x,y,z).
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高等数学课程1(2)
高等数学1(2)
向量代数与空间解析几何
多元函数、极限、连续、偏导数、 下册 全微分、偏导数应用
二重积分、三重积分及应用 曲线积分、曲面积分及应用 无穷级数
高等数学课程1(2)
高等数学1(2)
必修，本学期96学时，考试课，6学分
期末成绩
向量
rOM
称为点M关于原点O的向径.
一个点与该点的向径有相同的坐标.记号 (x, y,z)
既可以表示点M，又表示向径 OM
注意区分.
z C
Q
特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 A , B , C
P ok i
r
j
M
B y
A
x
N
坐标面上的点 P, Q , N;
z
o
x
坐标面 :
平时成绩占20% 期末卷面占80%
出勤6分满 作业6分满 测验8分满
（一般平时成绩平均分16分）
要求
1、保证出勤，认真听懂课，不懂处及时 问,学会问. 2、课后复习，及时并独立完成作业. 3、临上课前一天看书了解学过知识.
4、关键处记笔记，学会归纳整理，不欠债.
5、选一本合适的参考书. 6、经常翻看上册书(求导\求积的公式和方法.
答疑 质疑
︵
节 日 休 息
︶
时间：星期一 7—8节 (暂定) 地点：E3馆-208\209 教师：数学2教研室教师轮流值班制 人员：信息学院、机械学院的学生
Fra Baidu bibliotek
交作业时间：每星期三 下午 E3馆-208室
第八章
空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面
坐标轴 :
y
四、利用坐标作向量的线性运算
设
a (a x,a y,a z)b , (b x,b y,b z),
r x i y j z k
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
P ok i
r j
M
B y
A
x
N
沿三个坐标轴方向的分向量.
显然，给定向量 r ，就确定了点M 及OA、OB、OC
三个分向量，进而确定了x , y , z 三个有序数；反之，
给定三个有序数x , y , z ，也就确定了向量r与点M.
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 oxoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
• 右手法则
2. 向量的坐标表示
任给向量 r ，有对应点M，使 OM
r.
以
OM为对角线，三条坐标轴为棱作长方体
CPMQ — OANB，如图
rO M O N M O O A O BCC z Q
例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
试 a 与 用 b 表 M 示 ,M A ,M B ,M C . D
解: abAC
2MA
D
C
baBD
2MB b
M A 1 2(ab) MB 1 2(ba)A 练M 习： 化C 1 2简(aa b )b M 5 1 2 D b 1 2 (bb a 53 )a
数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
第一节
第八章
向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
“ ” 已知 b＝ a , 则 b＝0 a , b 同向
a∥b
a , b 反向
注：定理1是建立数轴的理论依据.
设点O及单位向量 i 确定数轴ox. i
i 由定理1，必有唯一的实数x，使 xi,实数x叫做数轴上有向线段 的值.
与实数x 一 一对应. 向量 xi 实数x
（实数x叫做数轴上点P的坐标）
分配律 (a b )a b
则有单位 a 向 1 量 a. 因此 aaa
a
定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b
( 为唯一实数)
证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝±
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
b
故ba.
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ()a0 故 0,即.
M aB
化简
a b 5 1b b 3a
2 5
解 a b 5 1b b 3a 2 5
(13)a 15 21 55 b
2a5b. 2
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
zz 轴(竖轴)
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
(ab)c
c
bc
a(bc)
a 三角形法则: ab
b
ab b a
a 运算规律 : 交换律 a b b a
向量的模 : 向量的大小,
向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
M2 M1
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
结合律 (ab)ca(bc)a b c
三角形法则可推广到多个向量相加 .
s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
a4
a5
a3 s
a2 a1
2. 向量的减法
a
三角不等式
3. 向量与数的乘法
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作a.
规定 :
总之: 运算律 :
结合律a ( a ) a (a )a 1 1 可a a 见 a ;a ;
于是点 M 、向量r 与三个有序数x , y , z之间 有
一一对应的关系
M r O x M i y j z k (x,y,z).
故定义：有序数x , y , z 称为向量 r（在坐标系O xyz中）
的坐标，记作
r (x,y,z)或
r{x,y,z}
有序数x , y , z 也称为点 M（在坐标系O xyz中） 的坐标，记作 M(x,y,z).