五年级 连续自然数

第22讲
连续自然数
在数学问题中，连续自然数（包括连续偶数，连续奇数，连续质数）是一类特殊的数列。

它与自然数的性质、运算性质有着广泛的联系，可以提出很多问题，是课外活动及数学竞赛中常见的题目。

例1在1~1999这1999个数中，有个数与4567相加时，至少有一个数位发生进位。

分析和解我们从不发生进位的情况入手，从0~1999这2000个数减去不发生进位的情况即为所求。

将0~1999这2000个数都看成“四位数”（如1看成0001,18看成0018,344看成0344），如果与4567相加不发生进位，个位数字只有0、1、2这三种情况；十位数字只有0、1、2、3这4种情况；百位数字只有0、1、2、3、4这5种情况；千位数字只有0、1这两种情况（因为在0~1999这2000个数中千位数只有0、1两种情况）。

所以，与4567不发生进位的数有
3×4×5×2 = 120（个）
从而1~1999中与4567相加至少发生一次进位的数有
2000－120 = 1880（个）
随堂练习1
在2~2007这2006个数中与1234相加时，至少有一个数位上发生进位的数有个。

分析：不发生进位的分四种情况讨论。

1.一位数的情况有4种 2.两位数的情况有36种3.三位数的情况有294种 4.四位数情况有342种所以2006个数中，有676个数是不发生进位的，则至少发生一位数上的进位的数有1330个。

例2三个连续自然数的和能被13整除，且三个数中最大的数被9除余4，那么，符合条件的最小的三个连续数是。

分析与解设中间数为a，则三个数之和为3a。

由3a能被13整除推知a能被13整除，再由（a + 1）除以9余4，得a最小是39，所以这三个数是38，39，40。

随堂练习2
有些是既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数之和，还能表示成5个连续自然数之和。

例如30满足以上要求，30 = 9 + 10 + 11 = 6 + 7 + 8 + 9 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8。

请你在700至1000之间找出所有满足上述条件要求的数。

（提示：3个连续自然数之和可被3整除，4个连续自然数之和可被2整除，5个连续自然数之和可被5整除）
分析：因为3个连续自然数之和可被3整除，4个连续自然数之和可被2整除，5个连
续自然数之和可被5整除。

所以这个数是3、5、2的公倍数。

所以这些数是750、810、870、930、990。

例3（1）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数能被4整除？
（2）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的数字和能被4整除？
分析与解
（1）由于每连续4个自然数中必有一个数能被4整除。

而3998÷4 = 999余2，余下的两个数为3997、3998，这两个数不能被4整除。

所以在1~3998中共有999
个数能被4整除。

（2）为了方便，将0到3999这4000个数中都看作四位整数abcd（不是4位，则在前面补零，如18 = 0018），由于在abcd中，数字b、c、d各有10种选择（0，1，2，3，4，5，6，7，8，9）。

为满足a + b + c + d能被4整除，在a = 0，1，2，
3中a必唯一确定。

事实上，若b + c + d = 4k,则a = 0；若b + c + d = 4k + 1,则a = 3；若b + c + d = 4k + 3，则a = 1.（k为整数）
综上所述，在0~3998这4000个整数中有1000个数的数字和能被4整除。

因为3999的数字和=3 + 9 + 9 + 9 = 30不是4 的倍数。

0课看为4的倍数，因此在1~3998中，有1000－1 = 999（个）数的数字和能被4整除。

例4 有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号。

1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号整除，1号做了一一验证，只有编号相邻的两个同学说的不对。

问：（1）说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数。

（2）如果告诉你，1号写的是五位数，请求出这个数。

分析与解
（1）首先可以断定编号是2、3、4、5、6、7的同学说的一定都是对的。

不然，其中说得不对的编号乘以2后所得的编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两个同学说的不对”不符合。

因此，这个数能被2、3、4、5、6、7、整除，从而也能被2×5、3×4、2×7整除，即编号为10、12、14的同学说得也对，于是可以断定编号为11、13、15的同学说得不对，不然，说的不对的编号不是连续的两个自然数。

因此，说得不对的两个同学的编号只能是8号和9号。

（2）这个数是2、3、4、5、6、7、10、11、12、13、14、15的公倍数，由于上述12个数的最小公倍数是【2、3、4、5、6、7、10、11、12、13、14、15】=60060 因为60060是一个五位数，二12个数的其他公倍数均不是五位数，而且显然这个数不是8、9的倍数。

所以1号同学写的数就是60060.
随堂练习
在1,2，……，1994这1994个数中选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被26整除，那么，这样的数最多能选出77 个。

分析：要使得这些数中的每两个数的和都能被26整除，那么，所选的数是26的公倍数。

又因为676中有两个26，所以在所选的数中可随意添加一个不是26的公倍数，所以这样的数可以选出77个。

例5
在15个连续自然数中最多有多少个质数？最少有多少个质数？
分析与解
2~16这15个连续自然数中有6个质数：3、5、7、11、13、17.
3~17这15个连续自然数中有6个质数：3、5、7、11、13、17
15个连续自然数中最多有6个质数，理由如下：可设这15个连续自然数中最小的一个不是2、3.这时，这15个连续自然数中的偶数都不是质数，剩下的奇数至多有8个，而3个连续奇数中必有一个是3的倍数，因而这8个奇数中至少有两个不是质数，从而至多有6个质数。

在15个连续自然数中可以没有质数（质数个数为0），例如
16！+2，16！+3,16！+4，……16！+16（16！=1×2×3×4×5……×14×15×16 16！读作16的阶乘，他表示从1到16个数的连乘积）。

随堂练习
五个连续自然数，每个数都是和数，这五个连续自然数的和最小是130 。

分析：把质数从小到大排列3、5、7、11、13、17、19、23、29、31……，由此可以发现，在23到29之间刚好有5个数，所以这五个自然数的和最小为130.
练习题
1.请在下列（A）~（E）中找出3个连续两位数的积。

B
A.1321
B.12144
C.980100
D.5812
E.44568
分析：设这个数为a-1，a，a+1，那么三个数的积为a(a²-1)
2.有四个学生，他们年龄是四个连续自然数，这四个数相乘得3024.这四个学生中
年龄最大的是9 岁。

分析：设这个数为a-1，a，a+1，a+2，所以4a+2=3024，所以a=7，所以年纪最大的学生为9.
3.四个连续自然数积为1680，这四个数中最小的是 5 。

分析：1680=16×3×5×7=5×6×7×8，所以这四个数中，最小的数是5.
4.用1、2、3、4、5、6、7七个数组成三个两位数，一个一位数，并且使这四个数
的和等于100，我们要求最大的两位数尽可能小，那么这三个数的和是42。

分析：要使两位数尽量小，所以个位数尽量大，所以100-7=93。

所以这三个两位数为42,36,15。

5.三个连续自然数的后面两个数的积与前面两个数的积之差是114，那么这三个数
的和是171。

分析：设这个数为a，则这三个数为a-1，a，a+1，有因为a(a+1)-a(a-1)=2a,所以2a=114，所以a=57,所以三个数的和是171。

6.数2,4,6,8,10,12，……是连续偶数，若五个连续偶数的和是320.问这5个数中最
小的一个数是多少？
分析：设这5个数为2a,2(a+1),2(a+2),2(a+3),2(a+4),所以10a+20=320，a=30，所以最小的一个数是60。

7.将1、2、3、4、5、6、7、8分成三个组。

分别计算各组的和，已知这三个和互
不相等，且最大的和是最小的和的两倍。

问在最小的和是多少？
分析：1+2+3+4+5+6+7+8=45，最大的和是最小的和的两倍，3a+b=45,所以通过带入数字计算可以得出b=8.
8.有若干个连续奇数1,3,5,7,9,11，……，擦去其中的一个奇数后，剩下的奇数之和
为1998.那么擦去的奇数是27 。

分析：设一共有n个奇数相加，那么（1+n）n÷2所得的数与1998最相近的数为2025,2025-1998=27，所以减去的数是27。

9.从1~9这9个数字中取出三个可以组成六个不同的三位数。

如果六个三位数的和
是3330，那么这六个三位数中最大的是951。

分析：假设这三个数是a,b,c,那么这六个数为abc,acb,bac,bca,cab,cba,所以个位上，十位上，百位上都是2（a+b+c）,所以2（a+b+c）+20(a+b+c)+200(a+b+c)=3330,由此可以求出a+b+c=15，要使这个数字最大，那么在百位上取9，所以这个数字为951。

10.某个自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示为10个连续自然
数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是495 。

分析：因为这个数可以表示成9个连续的自然数，所以能被9整除，同理，也可以被5和11整除，所以求9，11,5的最小公倍数，即495。

11.n个连续自然数相加，和能否等于1991，如果能，有几种不同的答案；如果不能，
说明理由。

分析：当n等于2是，1991=995+996,1991=181×11，所以1991=176+177+……
+186=80+81+82 (101)
12.把自然数按由小到大的顺序排列起来组成一串数1,2,3，……，9,10,11,12，……。

把这串两位以上的数全部隔开成一位数字，组成第二串数：1,2,3,4， (9)
1,0,1,1,1,2，……。

第一串数中100的个位数字0，在第二串数中是第192 个数。

分析：从1到100这100个数中，有9一一位数，有90个两位数，所以从1到99一共有189个数，所以100的个位数上的0在第192个数。

13.在两位数10,11，…，99中，将每个被七整除余2的数的个位与十位之间添加一
个小数点，其余的数不变。

问：经过这样改变后，所有数的和是4316.4 。

分析：从10到99这些数中，满足条件的数是满足7n+2这个式子的。

由等差数列求和公式可知，这些数的和为654，加上小数点后为65.4，所有数的和为：（10+99）×90÷2-654+65.4=4316.4。