电磁场第2章

带电球壳
多层同心球壳
a
O ρ0
均匀带电球体
第2章 静 电 场
16
• 轴对称分布：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。
• 无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平面、平板等。
第2章 静 电 场
17
2.5 静电场的旋度和电位
2.5.1 电场强度矢量E的旋度
在点电荷q的电场中，任取一条曲线l，积分：
解 ：如图所示，在r>a的区域内，取半径为r的同心 球面为高斯面，根据高斯定理有：
s
Eds

Er
s
ds

Er 4r 2

q
0
Er

q
40r 2
r

a
写成矢量形式，即
E

qr
4 0 r 3
r

a
第2章 静 电 场
22
在r<a的区域内，同样作半径为r的高斯面，有
所以
40 r3
q
r
E 40 r3 0
r<a区域内，有

E

q
4 0 a3
r

3q
4 0 a3

E

q
4 0 a3
r

0
第2章 静 电 场
24
2.6 电偶极子
电偶极子定义为: 一对极性相反
且非常靠近的等量电荷.
解 根据电位定义，在球坐标系
下点P(r，θ，φ)的电位为

s 2 0
ez
；当z→0－时，E
－ s 2 0
ez。
这表明：在薄圆盘的两侧，场强等值反向，这完全是圆
盘上面电荷引起的结果。
当z趋于无穷大时，

1 z
(a2

z2
1
)2



a2 2z3
,
E

sa2 4 0 z 2

q
4 0 z 2
第2章 静 电 场
12
2.4 静电场的散度——高斯定理及其应用

q
4 0
Rp dR R R2
q11
q
( )
C
4 0 R Rp 4 0 R
第2章 静 电 场
20
对于点电荷的电场，其电位为：


1
4 0
R
p
qeR
R R2
dl

q
4 0
(1 R

1 Rp
)

q
4 0R

C
若取 Rp 处的电位为零，则
q 4 0 R
P r, ,
qd cos 4 0r 2
C
可得等位线方程为r2＝k cosθ
电场：
Ep



q
4π0r3
(2cos er
sin e )
电场线 等位线 电偶极子的场图
第2章 静 电 场
26
2.7 电场中的物质
2.7.1 电场中的导体
导体的特点是其中有大量的自由电子，因此导体是指自由 电荷可以在其中自由运动的物质。

dq dS
mC2

l
lim l 0
q l

dq dl
mC

ρ(r)＝qδ(r－r′)
第2章 静 电 场
2.2 库仑定律
0

1
36
109 ( F
/
m)
4
设点电荷q′和q分别位于r′(x′，y′，z′)和r(x，y，z)，如图2－ 2所示，点电荷q′作用于点电荷q的电场力为
设轴线为z轴，两底面分别为S1、S2，侧面为S3，闭合曲面由S1、S2、 S3组成。由高斯定理可得
q
E d s s
s
0
q
E d s1 E d s2 E d s3
s1
s2
s3
s
0
由于电荷分布关于垂直于z轴的任何一个平面为对
称 只dS， 有1 E因re而分zd空量S1间,，d任S即2意。E一e点zEd的rSe2电r, d场S3强度er的dSE3z分量为q零，l l
设空间存在一点电荷 q
'
(
r
)
，则P点的电场强度为：
E
qeR
40 R2
对闭合曲面进行积分
s
E dS

s
q'eR
4 0R2
dS

q'
4 0
s
eR R2
dS
闭合曲面S对点 电荷所在点张 开的立体角
s
E dS
q'
4 0
r' a cosex asiney
r r a2 z2
dl' ad
第2章 静 电 场
9
即
E r 1 40
l
r
r
r
r 3
l
d l

l 4 0
2 0
zez a cos ex a sin ey
s
eR R2
dS


q

0
0
q在 q在
闭 闭
合 合
曲 曲
面 面
内 外
若闭合曲面内有N个点电荷

E dS
N
qi
s
i 1 0
第2章 静 电 场
13
若闭合曲面内有N个点电荷

E dS
N
qi
s
i 1 0
积分形式
若闭合曲面内的电荷分布为 (r)
是MKSA国际单位制中电量的单位，1库仑的电荷是基本
电荷的6.24×1018倍。
在讨论宏观电现象时，通常认为电荷是连续分布的。
第2章 静 电 场 电荷体密度 电荷面密度
电荷线密度 点电荷密度
3
V
lim V 0
q V

dq dV
mC3

s
lim s0
q S
E
在直角坐标系中

E e x x e y y ez z


Ex

E
y



x

y

E
z



z
电位（电势） 函数
第2章 静 电 场
19
E在任意方向的分量
El



l


求出电位的微分 d Eldl E dl
体电荷 vdV
1 V dV C
40 V R
面电荷 s dS
1 s d S C
40 s R
线电荷 l dl
1 l d l C
40 l R
第2章 静 电 场
21
【例2-5】 在半径为a的球体内均匀分布着电荷，总电荷 量为q，求各点的电场E(r)，并计算E(r)的散度和旋度。
电场强度的单位为伏/米(V/m)或牛/库仑(N/C)。
可得到位于r′的点电荷q′在r处产生的电场强度计算式：
E
qeR
40 r r 2
N个点电荷产生的电场强度
n
E
qieRi
i1 40Ri2
第2章 静 电 场
7
【例2-1】求区域V中体电荷密度为ρV的带电体在空间r点的电场 强度E(r)。
s
E
d S

Er
s
dS

Er 4r 2

q
0


q
4 3
r
3
V

4 3
r
3

q 4 a3

qr 3 a3
3
E

qr
4 0 a3
r

a
写成矢量形式，即
E

qr
4 0 a3
(r

a)
第2章 静 电 场
23
r>a区域内，有
qr
E 0
s
Er s3
ds3

Er
2rl

l l 0
Er
l 20r
E

l 2 0 r
er
第2章 静 电 场
15
利用高斯定理计算电场强度
在电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计 算电场强度。
具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解： • 球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。
静电平衡的现象： 第一，导体内的电场为零，E＝0； 第二，导体中的电位处处相等每个
若选取 P( x p , y p , z p ) 为电位参考点，即 P 0
则任意点A(x,y,z)的电位为：
( x p , y p ,z p )
A P E dl
( x,y,z)
对于点电荷的电场，其电位为：


1
4 0
R
p
qeR
R R2
dl
第2章 静 电 场
1
本章提要
库仑定理、电场强度的定义及其物理意义 静电场的旋度和散度 高斯定理及其应用 电介质中的静电场方程 泊松方程和拉普拉斯方程 能量和能量密度
第2章 静 电 场
2
2.1 电 荷
电荷的最小单元为基本电荷数，用e表示
e＝1.602×10－19
(C)
它是一个质子的电量，电子的电量为－e，库仑(C)
E

1
4 0
S

s (r R3
)
R
d
S

线电荷分布
E

1
4 0
l
l (r
R3
)
R
d
l

第2章 静 电 场
8
【例2-2】一个半径为a的均匀带电圆环，求轴线上 的电场强度。
解 假设电荷线密度为ρl，取如图所示的坐标系，圆
环位于xOy平面，圆环中心与坐标原点重合，则 r zez
2 rs
(r2 z2 )3/2
d r
对r′积分可得圆盘在轴线上的电场，
E
r

ez
z
4 0
a 2rs d r
0 (r2 z2 )3/2
E(0,0, z)

ez
s 2 0
z

1 z
(a2

z
2

)
1 2

第2章 静 电 场
11
当z→0＋时，E
q
4 0
V
V (r)
R3
R
d
V
R

r

r

面电荷分布 线电荷分布
Fq

q
4 0
S

S (r R3
)
R
d
S
R

r

r

Fq

q
4 0
l
l (r
R3
)
R
dl
R r r
注意：应用条件
第2章 静 电 场
6
2.3 电场强度
电的场力中。某其点数处学的表电达场式强为度EE(r)定义F 为q单0 位试验电荷在该点所受
10
【例2-3】 计算半径为a、电荷面密度ρS(r)为常数的均匀带电圆 盘在轴线上的电场强度。
解 选择坐标系，使圆盘位于xOy平面，圆盘轴线与z轴重合， 如图所示。在圆盘上取半径为r′、宽度为dr′的圆环，其电荷线 密度为ρl＝ρS dr′，由例2－2已知该带电圆环的电场为
dE r

ez
z
4 0
l
E dl

q
4 0
l
eR dl
R2

q
4 0
RB dR R2
RA

q
4 0
1 (
RA

1 RB
)
B
当积分路径是闭合曲线，A，B两点重合：


E

dl

0
斯托克 斯 定 理


E

0
l
RB
l
q

RA A
第2章 静 电 场
18
真空中电场的基本方程
微分形式：


E


0
E 0

积分形式：
S

C
E dS
1

0
Edl 0
q
2.5.2 电位函数
一个矢量场，如果它的旋度等于零，则可以用一个标量函数的梯
度来表示。因为任意标量函数梯度的旋度恒等于零。

在静电场中， E 0
F

qq
4 0 R 2
eR

qq
40
R R3
电场力的单位是牛顿(N)。
多个点电荷的情况：
q3
q4
q2 q1
q
q5
q7 q6
F

q
4 0
n i 1
qi
eRi Ri2
Ri r ri
eRi

r r
ri ， ri
第2章 静 电 场
5
体电荷分布
Fq

解 如所示，在体电荷区域中某一点r′，取体积元dV′，该体
积元中的电量ρV(r‘)dV′可看成一点电荷，该点电荷在r点的电
场为：
d EV (r)
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1
4 0
V (r) dV
R3
R
E(r)
V
d
EV (r)

1
4 0
V
V (r)R dV
R3
面电荷分布
a2 z2 3/2
ad
1
4 0
2al
a2 z2 3/2
zez
式中，2πaρl表示圆环的电量。当z＝0时，E(r)＝0，表示线电荷 对场的贡献在环心互相抵消。当z→∞时，半径a可以忽略不计，
场强反比于z的平方，相当于带电量Q＝2πaρl的点电荷的电场强 度。
第2章 静 电 场
1 E dS

(r )dV
s
0 V
散度定理
EdV
V
(r)
E
0 微分形式
第2章 静 电 场
14
【例2-4】一条无限长直导线上均匀分布着线密度为ρl的 电荷，应用高斯定理计算周围任一点的电场强度。
解 以直导线为轴线，做半径为r、高为l的圆柱面，如图2－7所示。
r1

r

d 2
cos , r2

r

d 2
cos

P

q
4π 0

d cos
r2

定义偶极矩矢量p，其大小为距离和电荷量的乘积p＝qd，方向
由负电荷指向正电荷，即
p qdez
点P的电位可以写成
P

p cos 40r 2

p er
40r 2
电偶极子等电位面，令P等于常数，即
P

q
4π 0
1 ( r1

1 )
r2

q
4π 0
r2 r1 r1r2
r1、r2为两点电荷到点P的距离，r为坐标原点到点P的距离。
r1

(r2

d2 4

rd
1
cos )2 , r2

(r2

d2 4

rd
1
cos )2
第2章 静 电 场
25
因为r>>d，根据二项展开定理，取近似可得