技术进步对经济增长的贡献

因此沿着一平衡增长路径，人均消费增长率是给定的技术增长率
µ 的一个比例，比值为一个常数，即劳动份额 1 − β 的倒数。 时间偏好 ρ 和风险规避系数 σ 的大小与长期增长率没有关系。
技术进步是经济增长最重要源泉。
κ +λ β (κ + λ ) = ( ρ + σκ ) / β ρ + σκ
(利用（7） )
Solow（1956）使用一个非常简单同时还很容易修改的模型，不 但能解释这种稳定性，还能解释这些增长率的某些相对变化 范围。 Robert Solow模型的成功可以归纳如下： 1、该理论或模型提供了一种总量理论研究必须采用的非常有用 的范式。 2、该理论或模型可以准确解释一些经济发展现象，这是其他形 式的理论所无法做的。 3、尽管作为一种经济发展理论，该理论或模型是失败的，但依 然充满启迪，为后续研究奠定了坚实基础。
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24
6
2、定量分析方面的贡献：与观察性事实相比较
新古典模型的主要贡献，远远超出其在纯粹定性分析方面的，是 其能量化不同因素对增长的影响效应。 理论的任务不是列举显而易见的事实，而是帮助我们在数量上把 那些重要的效应从而无关紧要的效应中筛选出来。索罗和丹尼森 的研究显示，通过研究美国经济和其他发达经济增长，可以实现 这个目标。 根据丹尼森的研究，1909-1957年间美国的实际产出的年增长率、 工时数的增长率和资本存量的增长率数据的显著特征是长期内的 稳定性。因此，索罗模型与美国经济史实比较吻合。
& 根据平衡增长路径定义，K ( t ) / K ( t )是常数，所以方程（7）意味着
N (t ) c (t ) / K (t )
& & & A(t ) K (t ) β −1 N (t )1− β + ( β − 1) A(t ) K (t ) β − 2 N (t )1− β K (t ) + (1 − β ) A(t ) K (t ) N (t ) − β N (t ) = 0
⇒
µ+(β −1)( +λ) +(1−β)λ =0 κ
因此人均消费和人均资本以共同的速度 k 增长 （在K的增长率 中扣除掉人口增长的因素）
15
16
4
整理后有：
κ =
µ
1− β
（9）
5) 储蓄率
s（
β (κ + λ ) ρ + σκ
）
s= =
& & K (t ) K (t ) / K (t ) = & & N (t )c(t ) + K (t ) (N (t )c(t ) + K (t ) ) / K (t )
& N (t ) c (t ) + K (t )
3、生产技术 假设生产技术具有C-D函数形式，产出决定于资本水平、 劳动投 入和“技术”水平 A(t ) ，因此有：
& N(t)c(t) + K(t) = A(t)K(t)β N(t)1−β
其中
0 < β <1
(2)
7 8
& A/ A = µ > 0
2
这是现期效用和资本增长之和，后者以“价格” θ (t ) 定价。一个最 优配置必须在价格 θ (t ) 被正确选择下，在每个时间都使得 H 最大 化。
[
] [
]
方程（3）显示，产品必须在每个时期进行的配置使得他们的价 值相等，在边际上，或者用于消费或者用于投资。显然，如果在 每一个时间 t ，方程（3）的解 (c(t )) ∞ 是一条最优路径，价格 0 θ (t )必须满足（欧拉方程）： ∂ & θ (t) = ρθ(t) − H(K(t),θ (t),c(t),t) ∂K = ρ − βA(t)N(t)1−β K(t)β −1 θ (t) (4)
11 12
3
5、在稳态下，各种变量都以不变的速度增长，即常数增长
& 设人均消费的增长率 c (t ) / c (t ) =
1）资本价格增长率 （ − σk ） 由方程（3）得到：
k
2）资本的边际产出（ ρ + σk 从方程（4）我们得到：
）
& θ = ρ − β A(t ) N (t )1− β K (t ) β −1 θ
第七章 索罗新古典经济增长模型： 技术进步 对增长的贡献
关于作者 索洛（Solow, Robert M.， 1924—）生于美国的纽约， 1951年获得哈佛大学的经济学 博士学位。从1949年开始在麻 省理工学院任教，1996年退休。 因对经济增长理论作出的 杰出贡献而获得1987年诺贝尔 经济学奖。
4）人均消费增长率 对方程（7）
κ =
µ
1− β
& N( t ) c( t ) K( t ) ρ +σκ β−1 1−β + = A( t ) K( t ) N( t ) = . β K( t ) K( t )
（7）
求全微分：
& N( t ) c( t ) K( t ) ρ +σκ β−1 1−β + = A( t ) K( t ) N( t ) = . β K( t ) K( t )
3
4
1
一、索罗模型
1、假设 1）市场结构假设：一个由竞争市场构成的封闭经济；市场由同 质的、理性的经济行为人构成，具有不变的技术报酬。 2）人口或劳动力假设：在时间 t 时人口或用于生产的劳动力 为 N (t ) 。人口增长是外生给定的，增长率为 λ 。 3)人均消费流的偏好假设：真实的人均消费为一种单一产品单位 的流量 c(t )，其中 t ≥ 0 ， 偏好由以下效用函数给定：
K ( 0) > 0
到达平衡wenku.baidu.com长的路径。
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二、索罗模型对经济增长理论的贡献
1、定性分析方面的贡献：区别了水平效应和增长效应 从定性的意义上，该模型强调 “水平效应”与“增长效应” 之间的区别。 前者指某些参数的变化提高了总产出水平或人均产出水平，但不会提高 增长速度。后者指某些参数的变化提高了增长速度，而不是产出水平。 这种区分对于思考政策变化效应是最基础性的。 索罗在1956年的论文得出储蓄率的变化是水平效应的观点，当时引起了 学术界的震惊，但今天非常不幸地被普遍忽视。 一种有影响的观点认为，使储蓄更具有吸引力的税收结构的改变将 对经济增长产生巨大而持久的影响。这一观点听起来很有道理，而且可 能事实上也是正确的，但根据新古典增长理论的含义，这明显是错误的。 Krueger(1983)和Hargerger(1984)对贫困中国家增长经历非常有价值 的调查，证明无效率贸易障碍对经济增长的限制，拆除这些障碍是对几 个迅速增长经济作出解释的关键。 Krueger(1983)和Hargerger(1984)概括 的事实是没有疑义的，但从我们刚刚提及的新古典模型，却不能期望得 到拆除贸易障碍将带来增长率持续上升的结论。根据这个理论，贸易障 碍拆除只能是一种水平效应，即生产可能性曲线的一次性向上移动，而 不是增长效应。
lim e − ρtθ (t ) K (t ) = lim e − ρ tθ (0)e −σκ t K (0)e(κ + λ )t = lim θ (0) K (0)e(κ + λ − ρ −σκ )t
t →∞ t →∞ t →∞
19
20
5
根据方程（10）
s=
& K (t ) β (κ + λ ) = & N (t )c(t ) + K (t ) ρ + σκ
β −1 1−β 两边同时除以 A(t)K(t) N(t) ，得到：
也是常数，或者对 K = Nc 求全微分，有同样的结果：
& & & K (t ) N (t ) c (t ) = + =κ +λ K (t ) N (t ) c (t )
（8）
& & & A(t) K(t) N(t) +(β −1) +(1−β) =0 A(t) K(t) N(t)
（10）
低时间偏好率
ρ
和低风险规避率 σ 导致一个高储蓄率，反过来，与
平衡增长路径上相对高的产出水平相联系。从长期看，一个节俭社会将 比一个不节俭的社会更富裕，但不是增长得更快。
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18
为使方程（9）和（10）表现的平衡路径满足方程（5）横截面条 件，就必须有：
要使横截性条件成立，即
lim e− ρtθ (t ) K (t ) = 0
[
]
9
10
将方程（3）代入方程（2），得到资本的一阶微分方程；与方程 （4）一起，构成资本及其价格的微分方程组：
求解这个系统，将存在一组路径参数（( K (t ),θ (t ))），其中满足初 始条件 K (0) 和横截面条件
N (t )θ (t )
−
1
σ
& + K (t ) = A(t )K (t )β N (t )1−β
∞
∫e
0
−ρt
1 c(t)1−σ −1 N(t)dt 1− σ
[
]
(1)
其中贴现因子 ρ 和相对风险规避系数 σ 都大于0。
5
6
2、总产出 该经济的人均产品从需求的意义上分解为消费和资本积累两部分。 & 以 K (t ) 表示总资本存量， K(t) 为资本存量的变化，那么总产出可 以表示为：
4、最优资源配置 这个简化了的经济面临的资源配置问题，是简单地选择一个人均 消费路径。 在人口增长路径 N(t) 和技术进步路径 A(t) 外生给定下，给定一 条消费路径 c(t ) 和资本初始存量 K (0) ，方程（2）的技术暗含着 一个资本时间路径 K ( t ) 。
对 H 求 c 最大化一阶偏导，得到： 最优化问题的研究，就是在方程（2）约束下，求方程（1）最大 化。构造一个现值汉密尔顿函数：
∂H N (1 − σ )c −σ − Nθ = 0 = ∂c 1 − σ c = θ −1/ σ
(3)
N H ( K , θ , c, t ) = c 1−σ − 1 + θ AK β N 1− β − Nc , 1−σ
资本的边际产出为：
c −σ = θ ⇒ − σ ln c = ln θ
⇒
& θ
θ
= −σ
& c c
βA(t ) N (t )1− β K (t ) β −1 = ρ + σk
(6)
θ&(t ) / θ = −σk
这就是说，沿着平衡增长路径资本的边际产品等于常数。
13
14
3）人均资本增长（ k ） 用K ( t ) 除方程（2），再利用方程（6）得到：
t →∞
ρ + σκ > κ + λ
证明：由 由
θ& = −σ k θ
有 有
θ (t ) = θ (0)e
−σκ t
必有 即
κ + λ − ρ − σκ < 0
& K (t ) / K (t ) = κ + λ
K (t ) = K (0)e(κ + λ ) t
ρ + σκ > κ + λ
代入横截性条件公式：
现在，给定偏好和技术参数（ρ 、 、 、 和 µ ），用方程 σ β λ （9）和（10）可以解出人均资本、人均消费和人均实际产出的 渐近增长率 k ，以及暗含的 。
有
(κ + λ ) = <1 β ρ + σκ s
s
进一步地，还可以用数值方法直接计算出从任何资本初始水平
可以看出，这相当于要求储蓄率小于资本在产出中所占的份额。 在这个条件下，一个从平衡增长路径开始的经济将发现停留在这里是最 优的。
本部分内容主要来自Robert E. LUCAS, Jr.的论文 “ On the Mechanics of Economic Development” （Journal of Monetary Economics 22 (1988) 3-42. North-Holland）。
1
2
卢卡斯认为， Robert Solow and Edward Denison 发展起来并运用到美 国20世纪经历中的经济增长理论，是一个成功的经济增长理论或模型。 丹尼森对美国经济增长最有价值的概述发表在其的专著《美国经济增长 的源泉》（The Sources of Economic Grow in the United States ，1961）中。 根据丹尼森的研究，1909-1957年间美国的实际产出的年增长率为2.9%， 工时数的增长率为1.3%，资本存量的增长率为2.4%。这些数据的显著特 征是长期内的稳定性。即使我们以大萧条的谷底（1933年）为起点，那 么到1957年，这段时间的平均增长率也仅有5%。如果以任何一种合理方 式（即使用峰期到峰期的增长率）剔除商业周期的影响，在任何一个我 们有数据的足够长的随后时期中，美国的产出增长都围绕3%波动，且波 动幅度不超过0.5个百分点。
(2)'
lime−ρtθ(t)K(t) = 0
t→∞
(5)
& θ (t ) = (ρ − βA(t )K (t )β −1 N (t )1−β )θ (t )
(4)'
的唯一解就是最优路径。 在完全竞争和完美信息假设下，这个凸形偏好和技术、不存 在任何外部效应模型所决定的最优路径，同时就是竞争性均衡路 径。