五年制高职数学第二册第十三章函数的极限与连续性题库

五年制高职数学第二册第十三章函数的极限与连续性题库 §13-1 初等函数例1 求函数

)(x f =x sgn =?????>=<-,0,1,0,0,0,1x x x 及g （x ）=??

??>+≤≤<<--1,1,10,201,1x x x x x

的定义域。

例2求下列函数的定义域：（1）y=

431

-+x x (2)y=2

4x - （3）y=lg

1-x +3-x

例3设)(x f =2

+-x x ，求f （0）,f （a ），f [f （x ）]。

例4已知函数

)(x g =??

??>+≤≤<<--,1,1,10,2,01,2x x x x x

求g ??? ?

21，g ??

??-31，g ()1，g ()3。练习1

1．求函数y=432

-+x x 的定义域。 2．球下列函数的函数值（1） )(x f =

322

--x x ，求f （-3），f ??

??a 1；（2） x sgn =??

???>=<-,

0,10,0,

0,1x x x 求3sgn ，sgn ???

??-21，sgn （0）。

例5判断下列函数的奇偶性：

（1）)(x f =x cos x （2）)(x f =x 2+1 （3）)(x f =2x 2 （4）)(x f =x 例6利用函数的图像，指出一下函数的单调区间：（1）y=2-x 2 （2）y=arc x sin 例7指出下列函数在那个区间上有界：（1） y=

,1x

()+∞,1，()+∞,0，

（0，1）

（2） y=ln （x-1），（1，2），（3，+∞），（2，3）

例9设)(x f =x 3，g （x ）=ln x ，求[])(x g f ，[])(x f g ，[])(x f f 。习题13-1

1. 求下列函数的定义域：（1）y=

x -12 （2）y=232

+-x x （5）y=)12lg(32-+-+-x x x 2.设)(x f =x

x -1，求)1(-f ，)(a f ，)(a f ，1)(+a f ，)1(+a f ，[])(x f f

3.设

)(x f ???

???≤≤<≤<21,110,0,1

x x x x x

（1）作出)(x f 的图像（2）求)21

f ，)0(f ， )2

(f ，)2(f ；（3）求)(x f 的定义域 4.判断下列函数的奇偶性：

（1）y=22 （2）y=lg x （3）y=x

x sin

5.指出下列复合函数的的复合过程：（1）y=)4

3(cos 2

x (2)y=ln x 2tan (3)y=5

)

3ln(2

=x (4)y=(arc x cos

例6 讨论函数

??≥+<+=1,121

,2)(X x X x x f

当时的极限1→x

例8 求x

x x 1sin

lim 0

→

练习2

1 指出下列函数是无穷小还是无穷大（1）)0(sin →x x （2）)2(tan π

→

x x

2 利用无穷小性质，求下列极限（1）

x x sin lim

∞

→ （2）

x x x sin lim

∞

→

（3）lim ∞

→x （x x tan sin +）（4）lim

∞

→x x x

arctan 1

习题13-2

1 观察并写出下列极限（1）lim +∞

→x x

)10

2 观察并写出下列极限（3）)2(2

lim -→x x

（4）3

lim

+--→x x x

3 求下列函数当时的极限是否存在出当时的左、右极限，并指

00→→x x

（1） x

x x f =)(

（2） ???≥<+=0

,20,1)(x x x x f x

4 符号函数

??>=<-==0,10,00,1sgn )(x x x x x f

当10→→x x 和时是否有极限？若有极限，请求出极限

5 下列函数自变量X 在怎样的变化过程中为无穷大？又在怎样的变化过程中为无穷小？（1） 1

1-=

x y （2） x y ln =

6 利用无穷小的性质，求下列极限（1）lim

∞

→x 2

sin x

x （2）2

1sin

lim x

x x →

13-3 函数极限的运算法则例1 求)1251(2

lim +-→x x x

例2 求1122

lim

+++→x x x x

例3 求33

lim

-+-→x x x x

例4 已知极限1

lim

++--→x k

x x x 存在，试确定k 的值，并求出这个极限

例5 求lim ∞

→x ??

??????? ??+??? ?

25132x x 例6 求lim

∞

→x 3574323

-++-x x x x

例7 求lim

∞

→x 3574323

-++-x x x x

例8 求lim

∞

→x 3

574322

-++-x x x x

例9 求lim

∞

→x ()1

)23(3)1(5

+++++x x x

例10 求??

??--

-→3

lim x x

x 习题13-3 A 组 1 求下列极限（1）2

322

lim

+++→x x x x （2）1

lim

+-→x x x

（3）??? ??

--→321lim

x x （4）444222lim -+-→x x x x （5）2

lim

++-→x x x （6）x x x x x x 23242

lim

++-→

（7）4

522

lim

+--→x x x x （8）1

lim

-+-→x x x x

2 求下列极限（1）lim

∞

→x 1

212

--x x

（2）lim

∞

→x 5

23322

3-+-+x x x x x

（3）lim

∞

→x 1

222

-+-+x x x x （4）lim

∞

→x ???

? ??++--1112

23x x x x （5）lim ∞

→x ???

??-??? ?

21211x x （6）lim ∞

→x （1+++22121…+n 21）

4 已知122

lim

++--→x k

x x x 存在，试确定k 的值，并求出这个极限

5 设,1

212

1)(2

=x x f 求lim ∞

→x )(x f

13-4 两个重要极限例1 求lim

∞

→x x x tan

例2 求lim

∞

→x x

x 5sin

例3 求lim

∞

→x 2

cos 1x

例4 求lim

∞

→x x

x 2sin 3tan

例5 求lim ∞

→x x

x 3sin

例6 求lim

∞

→x x

x ??? ?

+31

2 求下列极限（1）lim ∞

→x x

)21(+

（2）x

x x 3sin lim

→

习题13-4 A 组 1 计算下列极限（1）x

x x 4sin 3sin lim

→ （2）lim

→x x

x 5sin 2tan

（3）lim

→x 22

1cos 1x x

- （4）x x x 3cot 2sin lim 0

→ （5）2

1sin

lim x

x x ∞

→ （6）x

x -→ππ

sin lim

2 计算下列极限

（1）x x x 1

)21(lim -→ （2）lim ∞

→x （1+

2）x 3

（3）x x x 3

)51(lim +→ （4）lim ∞

→x （1+

π1

）x

（5）lim

∞

→x x

x x ??

? ??++1232 13-5 函数的连续性

例2 讨论函数???>+≤=2

,22

,)(2x x x x x f 在X=2处的连续性

例3 讨论函数

?????

=≠=0

,00

,1sin )(x x x

x x f 在X=0 处的连续性

例4 适当选取a 的值，是函数

???

≥+<+=0

,0,)1()(2

x a x x x x f x

在X=0处连续练习1

3 求下列函数的极限（1）)ln 1(lim 1

x x +→

（2）3

822lim

++→x x x

练习2

1 求下列函数的间断点

（1）2

)2(1)(-=x x f （2）?????=≠--=1

,01

,11

)(2x x x x x f 2 证明方程0135

=+-x x 在1与2之间至少存在一个实根

习题13-5 A 组 3 利用定义2证明函数

???>≤+=0

,1)(x e x x x f x

在点X=0处连续 4 讨论函数

???≤≤-<≤<-=21,210,0,1)(2

2x x x x x x x f

在X=0、X=1处的连续性 5 求下列函数的间断点（1）2

)(+=

x x x f （2）x

x f x +=

1)(2

（3）???

??>≤+=0

,3sin 0,2)(2x x

x x x x f

（4） )

2)(1(3)(++-=x x x x f

6 求下列函数的极限（1）)

cos(22sin lim

x x x -→

ππ

（2）x

x +→1lim

（3）x

x x 1

lim

-+→

复习题十三

2 选择题

（1）下列函数中是偶函数的是

（A ）13

+=x y （B ）x x y sin += （C ） 3

)1(x y -= （D ） )cos(sin x y = （5）设函数???<<≤=3

2,2

,2x x x x y 它的定义域是

（A ）（-3,3）（B ）(-2,2) (2,3) （C ）（-2，3）（D ） [)3,2- 6 求下列极限

（1）1

lim

--→x x x （2）6

522

lim

++-+-→x x x x x

（3）3

343562lim

x x x x -+-∞

→ （4）lim

∞

→x 1

23323

-+-x x x

第十四章导数和微分 14-1 导数的概念

例3 求下列函数的导数（1）x

y 1=

（2）x y = （3）3

x y =

习题14-1 A 组

1 当质点的运动方程是1232++=t t s ，计算从2=t 到t t ?+=2之间的平均速度，并计算当1.0=?t 时的平均速度，再计算2=t 时的瞬时速度

2 根据导数的定义，求下列函数的导函数和导数值（1）已知x x f -=5)(，求)5(),(-''f x f （2）已知22+=x y ，求2|,=''x y y 4 已知曲线3

31x y =

（1）求该曲线在2=x 处的切线的斜率

（2）求该曲线在2=x 处的切点的坐标及切线的方程

高等数学函数极限与连续习题及答案

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．错误根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在．错误如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ．错误如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．正确根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ．错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ．错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．

关于大学高等数学函数极限和连续

关于大学高等数学函数极限和连续 Last revision on 21 December 2020

第一章函数、极限和连续 § 函数一、主要内容㈠函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ? ? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。㈡函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),

则称f(x)在D内严格单调增加( )；若f(x1)＞f(x2), 则称f(x)在D内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b) ㈢基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c为常数) 2.幂函数： y=x n , (n为实数) 3.指数函数： y=a x , (a＞0、a≠1) 4.对数函数： y=log x ,(a＞0、a≠1) a 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x∈X 2.初等函数:

高等数学函数极限练习题

设 f ( x ) 2 x ，求 f ( x ) 的定义域及值域。 1 x 设 f ( x) 对一切实数 x 1， x 2 成立 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 )，且 f (0 ) 0， f (1) a ，求 f (0 )及 f ( n)．(n 为正整数 ) 定义函数 I ( x) 表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，若 f ( x) 表示将 x 之值保留二位小数，小数第 3 位起以后所有数全部舍去，试用表示 f ( x) 。 I ( x) 定义函数 I ( x) 表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，若 g ( x) 表示将 x 依 4 舍 5 入法则保留 2 位小数，试用 I ( x) 表示 g ( x) 。在某零售报摊上每份报纸的进价为 0.25 元，而零售价为 0.40 元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。若每天进报纸 t 份，而销售量为 x 份，试将报摊的利润 y 表示为 x 的函数。定义函数 I ( x)表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，试判定 ( x) x I ( x )的周期性。判定函数 x x ln( 1 x x )的奇偶性。 f ( x ) ( e 1) 设 f ( x ) e x sin x ，问在 0 ，上 f ( x ) 是否有界？函数 y f ( x ) 的图形是图中所示的折线 O BA ，写出 y f ( x) 的表达式。 x 2 ， 0 x ； x ， x ；设 f ( x) 2 ( x) 0 4 求 f ( x ) 及f ( x ) ． x x 4 x x ，．，． 2 2 2 4 6 设 f ( x ) 1， x 0 ； ( x ) 2 x 1，求 f ( x ) 及 f ( x) ． 1 ， x 0 ． e x ， x ； 0 ， x 0 ；设 f ( x ) 求 f ( x )的反函数 g ( x ) 及 f ( x ) ． x x ( x) x 2， x 0 ，．． 1 x ) ， ( x ) x ， x 0 ；求 f ( x ) ．设 f ( x )( x x 2 ， x 2 0 ． 2 x ， x 0 ；求 f f ( x ) 设 f ( x ) x 0．． 2 ， 0 ， x ； x ， x ； ( x ) 求 f ( x) ( x )．设 f ( x ) x ， x 0 ． x ， x ． 1

高等数学(同济五版)第一章函数与极限知识点

第一章函数与极限一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性：对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。

高等数学1.3-函数的极限

第三节函数的极限（一）教学目的：（1）理解函数极限和左、右极限的概念；（2）理解无穷小概念，掌握其性质教学重点：函数极限的概念，无穷小概念教学难点：函数极限的概念的理解与应用教学方法：讲授法教学时数：2课时本节我们将数列极限的概念推广到一元实值函数，然后研究函数极限的性质及其运算法则. 一、函数极限的概念 1.自变量x 趋于无穷大时函数的极限 1）+∞→x 时的极限： +∞→x 读作“x 趋于正无穷大”，表示x 无限增加，0x > ．例：对于x x f 1)(= ，当自变量+∞→x 时，x x f 1 )(=与常数0无限接近．复习数列极限的定义：数列{}n x 以a 为极限即a x n n =∞ →lim ? 0>?ε，N ?，N n >时,ε<-a x n ．令()n f x n =，则()?=∞ →a n f n lim 0>?ε，N ?，当N n >时，()ε<-a n f ．将n 换成连续变量x ，将a 改记为A ，就可以得到x →+∞时，()A x f →的极限的定义及其数学上的精确描述．定义3.1：设函数)(x f 在),(+∞a 内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X >时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →+∞时的极限，记作()lim x f x A →+∞ =，或()A x f →，（x →+∞）．几何意义：对任意给定的0ε>，在轴上存在一点X ，使得函数的图象 {(,)|(),(,)}x y y f x x a =∈+∞在X 右边的部分位于平面带形),(),(εε+-?+∞A A X 内． 2）x →-∞时的极限： x →-∞读作“x 趋于负无穷大”，表示x 无限增加，0x < ．定义：设函数)(x f 在),(a -∞内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X <-时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →-∞时的极限，记作()lim x f x A →-∞ =

最全大学高等数学函数、极限和连续(新)

第一章函数、极限和连续 §1.1 函数一、主要内容㈠函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ???∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1 (y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1 )=X 且也是严格单调增加(或减少)的。㈡函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x

考研数学高数公式：函数与极限解读

考研数学高数公式:函数与极限第一章:函数与极限第一节:函数函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。基础阶段: 1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段: 1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。冲刺阶段: 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。第二节:极限

极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。强化阶段: 1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列极限和函数极限的概念(数三; ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式; 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数; 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。冲刺阶段: 深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。

高等数学函数极限练习试题

设x x x f += 12)(，求)(x f 的定义域及值域。，，，且成立，对一切实数设a f f x f x f x x f x x x f =≠=+)1(0)0()()()()(212121)()()0(为正整数．及求n n f f 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x f 表示将x 之值保留二位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用)(x I 表示)(x f 。定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x g 表示将x 依4舍5入法则保留2位小数，试用)(x I 表示)(x g 。在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。若每天进报纸t 份，而销售量为x 份，试将报摊的利润y 表示为x 的函数。的取整函数，试判定的最大整数叫做表示不超过定义函数x x x I )(的周期性。)()(x I x x -=? 的奇偶性。判定函数)1ln()1()(x x e x f x x -+?-=+ [ )设，问在，上是否有界？f x e x f x x ()sin ()=+∞0 函数的图形是图中所示的折线，写出的表达式。y f x OBA y f x ==()() ???≤≤-<≤=????≤≤+<≤=．，；，．，；，　设64240)(42220)(2 x x x x x x x x x x f [][]．及求)()(x f x f ?? [][]设，；，．，求及．f x x x x x f x f x ()()()()=-≤>???=-101021??? ???>-≤=????>≤-=．，；，．，　；，设000)(00)(2 x x x x x x x e x f x []．及的反函数求)()()(x f x g x f ? []设，，；，．求．f x x x x x x x x f x ()()()()=+=<≥???1 2002?? []设，；，　．求．f x x x x f f x ()()=+<≥???2020 ．求．，；，．，；，设)()( 111)(000)(x x f x x x x x x x x x f ?+? ??≥<+=????≥<=

高等数学函数与极限试的题目

高等数学第一章函数与极限试题一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有（A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1)(1 -= -x x e x f 则（A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1 -，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1( lim ( ) A.1； B.∞； C.2 -e ； D.2 e 7．极限：∞ →x lim 3 32x x +=（） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0-+→=（） A.0； B.∞； C 2 1； D.2．

同济大学(高等数学)_第一章_函数极限

第一篇函数、极限与连续第一章函数、极限与连续高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识. 第1节集合与函数 1.1 集合 1.1.1 集合讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素. 通常用大写字母A 、B 、C 、表示集合，用小写字母a 、b 、c 、表示集合的元素. 如果a 是集合A 的元素，则表示为A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，则表示为A a ?，读作“a 不属于A ”. 一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作Φ. 集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A ，可表示成 A ={1,2,3,4,5}；第二种是描述法，即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ，则集合M 可表示为 {}P x x M 具有性质|=. 例如，集合A 是不等式022<--x x 的解集，就可以表示为 {} 02|2<--=x x x A . 由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有：（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ，即 {} ,,,3,2,1,0n N =；（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作+ N ，即 {} ,,,3,2,1n N =+；（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ，即 {} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=；

函数的极限及函数的连续性典型例题

函数的极限及函数的连续性典型例题 Last revision on 21 December 2020

函数的极限及函数的连续性典型例题一、重点难点分析： ① 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 ②要掌握常见的几种函数式变形求极限。 ③函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。 ④计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则。 ⑤若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。二、典型例题例1．求下列极限 ①② ③④ 解析：①。 ②。 ③。 ④。例2．已知，求m,n。解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式， ∴ x=-2是方程x2+mx+2=0的根， ∴ m=3代入求得n=-1。

例3．讨论函数的连续性。解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的，又， ∴，∴ f(x)在x=1处连续。由，从而f(x)在点x=-1处不连续。 ∴ f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。例4．已知函数, (a,b为常数)。试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。解析：∵且， ∴，∴ a=1, b=0。例5．求下列函数极限 ①② 解析：①。②。

例6．设，问常数k为何值时，有存在解析：∵，。要使存在，只需， ∴ 2k=1，故时，存在。例7．求函数在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限解析：由，，∵，∴ f(x)在x=-1处极限不存在。三、训练题： 1．已知，则 2．的值是_______。 3. 已知，则=______。 4．已知，2a+b=0，求a与b的值。 5．已知，求a的值。参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0

高等数学(函数与极限)完全归纳笔记

目录：函数与极限 (1) 1、集合的概念 (1) 2、常量与变量 (2) 2、函数 (3) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (4) 5、复合函数 (5) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (8) 9、函数的极限 (9) 10、函数极限的运算规则 (11) 一、函数与极限 1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。

高等数学-函数与极限-教案.

第一章函数与极限教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数一、集合 1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a M.

集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A ={a , b , c , d , e , f , g }. 描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A ={a 1, a 2, ? ? ?, a n }, M ={x | x 具有性质P }. 例如M ={(x , y )| x , y 为实数, x 2+y 2=1}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N ={0, 1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. N +={1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z ={? ? ?, -n , ? ? ?, -2, -1, 0, 1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x ∈A , 则必有x ∈B , 则称A 是B 的子集, 记为A ?B (读作A 包含于B )或B ?A . 如果集合A 与集合B 互为子集, A ?B 且B ?A , 则称集合A 与集合B 相等, 记作A =B . 若A ?B 且A ≠B , 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠?B . 例如, N ≠?Z ≠?Q ≠?R . 不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 或x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 且x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差), 记作A \B , 即 A \ B ={x |x ∈A 且x ?B }. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合A 都是I 的子集. 此时, 我们称集合I 为全集或基本集. 称I\A 为A 的余集或补集, 记作A C . 集合运算的法则: 设A 、B 、C 为任意三个集合, 则 (1)交换律A ?B =B ?A , A ?B =B ?A ; (2)结合律 (A ?B )?C =A ?(B ?C ), (A ?B )?C =A ?(B ?C ); (3)分配律 (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C ), (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C );

同济大学(高等数学)_第一章_函数极限

高等数学函数及极限教案

列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A ={a , b , c , d , e , f , g }. 描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A ={a 1, a 2, ? ? ?, a n }, M ={x | x 具有性质P }. 例如M ={(x , y )| x , y 为实数, x 2+y 2=1}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N ={0, 1, 2, ???, n , ???}. N +={1, 2, ?? ?, n , ???}. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z ={???, -n , ???, -2, -1, 0, 1, 2, ???, n , ???}. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x ∈A , 则必有x ∈B , 则称A 是B 的子集, 记为A ?B (读作A 包含于B )或B ?A . 如果集合A 与集合B 互为子集, A ?B 且B ?A , 则称集合A 与集合B 相等, 记作A =B . 若A ?B 且A ≠B , 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠?B . 例如, N ≠?Z ≠?Q ≠?R . 不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 或x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 且x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差), 记作A \B , 即 A \ B ={x |x ∈A 且x ?B }. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合A 都是I 的子集. 此时, 我们称集合I 为全集或基本集. 称I\A 为A 的余集或补集, 记作A C . 集合运算的法则: 设A 、B 、C 为任意三个集合, 则 (1)交换律A ?B =B ?A , A ?B =B ?A ; (2)结合律 (A ?B )?C =A ?(B ?C ), (A ?B )?C =A ?(B ?C ); (3)分配律 (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C ), (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C ); (4)对偶律 (A ?B )C =A C ?B C , (A ?B )C =A C ?B C .

高数函数-极限和连续总结

第一章函数.极限和连续第一节函数 1. 决定函数的要素：对应法则和定义域 2. 基本初等函数：（六类）（1）常数函数（y=c ）；（2）幂函数（y=x a ）；（3）指数函数（y=a x ，a>0,a ≠1）;（4）对数函数（y=log a x ，a>0,a ≠1）（5）三角函数；（6）反三角函数。注:分段函数不是初等函数。特例：y =√x 2是初等函数《 3.构成复合函数的条件：内层函数的值域位于外层函数的定义域之内。 4.复合函数的分解技巧：对照基本初等函数的形式。 5.函数的几种简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。第二节极限 1.分析定义 ?&>0(任意小) ??>0 当|x |>e（或0<|x ?x 0| 称 lim x →∞f (x )=0 (或lim x →x0f (x )=A ) 2.极限存在的充要条件 lim x →x0f (x )=A ?lim x →x 0+f (x )=lim x →x 0 ?f (x )=A 3.极限存在的判定准则（1）夹逼定理 f 1（x ）≤f (x )?f 2(x ) ,且 lim x →x0f 1(x )=A = lim x →x0f 2(x ) 所以lim x →x0f (x )=A （2）单调有界准则 · 单调有界数列一定有极限。 4.无穷小量与无穷大量，则称时，f （x ）为无穷小量，则称时，f （x ）为无穷大量注：零是唯一的可作为无穷小的常数。性质1 有限多个无穷小的代数和或乘积还是无穷小。注：无限个无穷小量的代数和不一定是无穷小量性质2 有界变量或常数与无穷小的乘积还是无穷小。 ~ 5. 定义设是同一极限过程中的无穷小，则 ∞=→)(lim 0x f x x ）（或∞→→x x x 00)(lim 0=→x f x x ）（或∞→→x x x 0 )(,)(x x ββαα==, 0)(≠x β且, 0lim =βα

函数极限与连续

第三节函数极限与连续一、函数极限内容网络图二、内容与要求 1. 理解函数极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系. 2. 掌握函数极限的性质及四则运算法则

3. 掌握函数极限存在的夹逼准则，并会利用它求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 4. 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限. 5. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型. 6. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质. 重点函数极限的性质及四则运算法则、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）难点函数极限的概念、函数极限的性质、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法、用等价无穷小求极限. 三、概念、定理的理解与典型错误分析 1．函数极限的概念定义1.10 。定义1.11 把1中“”换成“”。定义1.12 把1中“”换成“”。定理1.4 且定义1.13 设在的某空心邻域内有定义，若存在一个常数A，，都有。定义1.14 设在的某左半邻域内有定义，若存在一个常数A，时，都有。

此时也可用记号或表示左极限值A，因此可写成定义1.15设在的某右半邻域内有定义，若存在一个常数，当时，都有。此时也可用或表示右极限。因此可写成。定理 1.5 且该定理是求分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法，而如果在的左右极限存在且相等，则在该点的极限存在，否则不存在。定义1.16时，都有。此时称时，是无穷大量。而，只要把公式中“”改成“”，，只要把上式中“”改成“”。定义1.17 。当时，都有。读者同理可给出定义。注：（常数）与的区别，前者是表明函数极限存在，后者指函数极限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势。因此，给它一个记号，但还是属于极限不存在之列，以后，我们说函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。定义1.18 。称当是无穷小量。这里的可以是常数，也可以是。定理1.6 。其中。定义1.19 若时，都有，称时是有界量。

高等数学函数极限

1 第一章函数极限与连续高等数学可以说是变量数学，它的研究对象、研究方法与初等数学相比都有相当大的差异。它主要研究对象是函数，它的主要内容是微积分学，它的主要手段是以极限为工具，并在实数范围内研究函数的变化率及其规律性，从而产生微积分的基本概念及性质。本章主要介绍函数的概念及其基本性质；数列与函数的极限及其基本性质；连续函数的概念及其基本性质，为进一步学好函数的微积分打下一个良好的基础。第一节函数的概念一、几个基本概念 1 常量与变量在日常生活或生产实践中，观察某一个事件的结果往往是用一个量的形式来表现的，在观察的某一个过程中始终保持不变的量称之为常量，经常变化的量称之为变量。通常用小写字母a 、b 、c …… 等表示常量，用小写字母x 、y 、z 、…… 表示变量。例如：圆周率π是永远不变的量，它是一个常量；某商品的价格在一定的时间段内是不变的，所以，在这段时间内它也是常量；又如一天中的气温，工厂在生产过程中的产量都是不断变化的量，这些量都是变量。注意： 1 常量和变量是相对的，它们依赖于所研究的过程和所研究的对象。在不同的过程中常量和变量是可以转化的。如商品的价格，某段时间是常量，另一段时间就有可能是变量了； 2 从几何意义上来表示，常量对应数轴上的定点，变量对应数轴上的动点。 2 集合、区间集合是表示具有同一种属性的全体。例如：某班的全体学生组成一个集合；长虹集团05年度的所有产品组成一个集合；所有正有理数仍组成一个集合等等。有关集合的运算、集合的表示等方面的基本知识，中学数学已有介绍，这里就不一一赘述了下面向读者介绍高等数学中常用的数集及其简明表示符号：开区间：()b a ,={} | b x a x << ；

函数的连续性及极限的

第四节函数的连续性及极限的应用 1?函数在一点连续的定义：如果函数f(x)在点x=X o 处有定义，lim f(x) X X o 存在，且X ini f(x)=f(x o )，那么函数f(x)在点x=x o 处连续. 2.?函数f(x)在点x=x o 处连续必须满足下面三个条件. (1) 函数f(x)在点x=x o 处有定义； (2) lin x f(x)存在； X x o (3) lim f(x)=f(x o ),即函数f(x)在点x o 处的极限值等于这一点的函 x x o 数值. 如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f(x)在点x o 处不连续?那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义. 3函数连续性的运算： ① 若 f(x) , g(x)都在点 X o 处连续，则 f(x) 士 g(x) , f(x) ?g(x), 丄凶9(x)半0)也在点x o 处连续。 g(x) ② 若u(x)都在点X o 处连续，且f(u)在u o =u(x o )处连续，则复合函数 f[u(x)]在点X o 处连续。 4?函数f(x)在(a , b)内连续的定义：如果函数f(x)在某一开区间(a , b)内每一点处连续，就说函数f(x) 在开区间(a , b)内连续，或f(x)是开区间(a , b)内的连续函数. f(x)在开区间(a , b)内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函数f(x)的定义域是]a , b ],若在a 点连续，则f(x)在a 点的极限存在并且等

于f(a),即在a点的左、右极限都存在，且都等于f(a), f(x) 在(a, b)内的每一点处连续，在a点处右极限存在等于f(a)，在b点处左极限存在等于f(b). 5?函数f(x)在［a, b］上连续的定义：如果f(x)在开区间(a, b)内连续，在左端点x=a处有lim f(x)=f(a)， x a 在右端点x=b处有|im f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间］a, b］上连 x b 续，或f(x)是闭区间］a, b］上的连续函数. 6. 最大值最小值定理如果f(x)是闭区间［a, b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a, b］上有最大值和最小值? 7. 特别注意：函数f(x)在x=x°处连续与函数f(x)在x=x°处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。” 二、问题讨论 ?点击双基 1. _________________________________________________ f (x)在x=x o处连续是f (x)在x=X o处有定义的____________________ 条件. A. 充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又

五年制高职数学第二册第十三章函数的极限与连续性题库

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