五年制高职数学第二册第十三章函数的极限与连续性题库

五年制高职数学第二册第十三章函数的极限与连续性题库 §13-1 初等函数 例1 求函数

)(x f =x sgn =⎪⎩⎪⎨⎧>=<-,0,1,0,0,0,1x x x 及g （x ）=⎪⎩

⎪

⎨⎧>+≤≤<<--1,1,10,201,1x x x x x

的定义域。

例2求下列函数的定义域： （1）y=

431

2

-+x x (2)y=2

4x - （3）y=lg

2

1-x +3-x

例3设)(x f =2

3

+-x x ，求f （0）,f （a ），f [f （x ）]。

例4已知函数

)(x g =⎪⎩

⎪

⎨⎧>+≤≤<<--,1,1,10,2,01,2x x x x x

求g ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-

21，g ⎪⎭

⎫

⎝⎛-31，g ()1，g ()3。 练习1

1． 求函数y=432

-+x x 的定义域。 2． 球下列函数的函数值 （1） )(x f =

1

322

--x x ，求f （-3），f ⎪⎭

⎫

⎝⎛a 1； （2） x sgn =⎪⎩

⎪⎨⎧>=<-,

0,10,0,

0,1x x x 求3sgn ，sgn ⎪⎭⎫

⎝⎛-21，sgn （0）。

例5判断下列函数的奇偶性：

（1）)(x f =x cos x （2）)(x f =x 2+1 （3）)(x f =2x 2 （4）)(x f =x 例6利用函数的图像，指出一下函数的单调区间： （1）y=2-x 2 （2）y=arc x sin 例7指出下列函数在那个区间上有界： （1） y=

,1x

()+∞,1，()+∞,0，

（0，1）

（2） y=ln （x-1），（1，2），（3，+∞），（2，3）

例9设)(x f =x 3，g （x ）=ln x ，求[])(x g f ，[])(x f g ，[])(x f f 。 习题13-1

1. 求下列函数的定义域： （1）y=

x

x -12 （2）y=232

+-x x （5）y=)12lg(32-+-+-x x x 2.设)(x f =x

x -1，求)1(-f ，)(a f ，)(a f ，1)(+a f ，)1(+a f ，[])(x f f

3.设

)(x f ⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧≤≤<≤<21,110,0,1

x x x x x

（1） 作出)(x f 的图像 （2） 求)21

(-

f ，)0(f ， )2

1

(f ，)2(f ； （3） 求)(x f 的定义域 4.判断下列函数的奇偶性：

（1）y=22 （2）y=lg x （3）y=x

x sin

5.指出下列复合函数的的复合过程： （1）y=)4

3(cos 2

π

x (2)y=ln x 2tan (3)y=5

)

3ln(2

=x (4)y=(arc x cos

)2

例6 讨论函数

⎩

⎨⎧≥+<+=1,121

,2)(X x X x x f

当时的极限1→x

例8 求x

x x 1sin

lim 0

→

练习2

1 指出下列函数是无穷小还是无穷大 （1）)0(sin →x x （2）)2(tan π

→

x x

2 利用无穷小性质，求下列极限 （1）

x

x x sin lim

∞

→ （2）

x x x sin lim

∞

→

（3）lim ∞

→x （x x tan sin +）（4）lim

∞

→x x x

arctan 1

习题13-2

1 观察并写出下列极限 （1）lim +∞

→x x

)10

1(

2 观察并写出下列极限 （3）)2(2

2

lim -→x x

（4）3

92

3

lim

+--→x x x

3 求下列函数当时的极限是否存在出当时的左、右极限，并指

00→→x x

（1） x

x x f =)(

（2） ⎩⎨⎧≥<+=0

,20,1)(x x x x f x

4 符号函数

⎪⎩

⎪

⎨⎧>=<-==0,10,00,1sgn )(x x x x x f

当10→→x x 和时是否有极限？若有极限，请求出极限

5 下列函数自变量X 在怎样的变化过程中为无穷大？又在怎样的变化过程中为无穷小？ （1） 1

1-=

x y （2） x y ln =

6 利用无穷小的性质，求下列极限 （1）lim

∞

→x 2

sin x

x （2）2

1sin

lim x

x x →

13-3 函数极限的运算法则 例1 求)1251(2

5

lim +-→x x x