数学建模关于汽车调度方案

关键字：汽车租赁调度，目标函数，约束条件，LINGO，MATLAB。
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武汉轻工大学 数学建模论文 2015
一、 问题重述
某家汽车租赁公司年初在全市范围内有 379 辆可供租赁的汽车，分布于 20 个代理点中。 每个代理点的位置都以地理坐标 X 和 Y 的形式给出。假定两个代理 点之间的距离约为他们之间欧氏距离的 1.2 倍。 现在需要根据附件所提供的数据解决以下问题： 1.给出未来四周内每天的汽车调度方案，尽量满足需求的前提下，使总的转 运费用最低； 2．因汽车数量不足会带来的经济损失，给出使未来四周总的转运费用及短 缺损失最低的汽车调度方案； 3．综合考虑公司获利、转运费用以及短缺损失等因素，确定未来四周的汽 车调度方案； 4． 为了使年度总获利最大，从长期考虑是否需要购买新车？如果购买的话， 确定购买计划 （考虑到购买数量与价格优惠幅度之间的关系，在此假设如果购买 新车，只购买一款车型） 。
根据附件 6 可得到不同代理点之间的运转费用,通过 Matlab 求得矩阵相乘运 算可得到每趟在各个代理点之间的运转成本。其中：
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则通过 Matlab 计算结果得到的运转费用矩阵如下表格： 表二：任意两个代理点之间的运转费用
设第 n 天总运转费用为，第 n 天每趟从第代理点运到第代理点汽车数量为。 根据假设三，与此同时，满足如下约定： 1.当第代理点拥有量大于需求量时， 。 2.当第代理点拥有量小于需求量时， 。 3.当第代理点拥有量等于需求量时， 。 同时设 0-1 决策变量表示第代理点是否运汽车至第代理点，若，则否；若， 则是。 根据问题中附件 3,：未来四周每个代理点每天的汽车需求量表格， 表三：未来四周每个代理点每天的汽车需求量
三、 模型的假设
1．假设每天调整每辆车都需要相同的费用，根据调整车辆数量不同，所需 要费用不同。 2.假设每辆车当日租能够当日还，且无损坏，每天都可运营。 3.假设在约定条件下，每个代理点都有机会向 20 个代理点运转汽车，数量 不定。 4.假设今年和去年营业状况相似，市场需求不会出现较大的波动。 5.假设在需求量大于公司车辆数目时，代理点可向其他代理点调度。 6.路线在车辆离开代理点前已经制定好。 7.每天租出的车辆只归还于租出代理点。 8.附件 5 中 P,Q,R,S,T 共五个代理点的租赁收入没有数据， 在此假设这五个 代理点的租赁收入均为前 15 个数据的平均值。
表示第 n 天的经济总缺损 表示问题二中 28 天的总费用 表示第 n 天由于汽车数量不足带来的经济损失 表示第 n 天第 j 代理点需要接收其他代理点调度的车辆数 第 j 代理点因车短缺的损失费（万元/天·辆） 第 j 代理点每天每辆车的获利收益 第 n 天租赁公司的预计毛收益 租赁公司未来四周第 n 天的预计净收益 租赁公司未来四周的预计总净收益 表示公司的总共盈利 表示购进的汽车数量， 表示需求量小于拥有车辆时闲置的汽车数量
demand ( j, n) perloss( j ) perprofit ( j ) groprofit (n)
Z njsy Z jsy
S
x
y
五、模型的准备和建立
5.1 问题一模型准备 根据附件 1 提供的各代理点的位置坐标，运用 matlab 画图得到 20 个代理 点之间的位置关系，如图所示：
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拥有量-需求量 7 -4 -3 -9 9 -4 0 5 3 -1 -9 -4 -14 5 1
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16 24 15 -9 17 16 21 5 18 13 20 7 19 12 18 6 20 28 10 -18 根据表四可知：1、5、7、8、9、14、15、17、18、19 为转出代理点，2、3、 4、6、10、11、12、13、16、20 为转入代理点。 5.1.1 问题一目标函数的建立： 问题一的目的是在尽量满足需求的前提下， 使 28 天的总转运费用最低， 即： 最小。数学表达式即： 要使得最小，需要使每天的转运费用最少，即第 n 天的总运转费用最小：
an (i, j ) bn (i, j )
os(i, j ) sj (i, j ) myz (i, j )
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Zn
第 n 天总运转费用 第 n 天第 i 代理点需求或供给汽车数目矩阵
d (i, n)
A allZ n Z n dq allZ fy Z ndq
28 20 矩阵的数据代号 28 天的总转运费
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汽车租赁调度问题 摘要
本文针对我国汽车租赁与调度的问题进行分析和研究， 主要采用线性规划优 化问题来建立数学模型，合理运用 lingo，matlab 软件编程计算出最终结果。根 据附件提供的数据利用 MATLAB 计算各个代理点之间欧式距离、 调度费用等数据， 根据四个问题的题意确定合理的目标函数和约束条件， 利用 LINGO 工具求解线性 规划方程，从而实现汽车租赁的最优化调度，得到各个问题的全局最优解。 针对问题一，我们假设每天调度的车辆不再返回原代理点，利用 MATLAB 计 算各代理点之间的转运费用， 以尽量满足需求作为约束条件，建立总转运费用最 低的数学模型，基于附件一和附件三所给的数据，我们通过 matlab 软件分析得 到各个可供租赁的汽车代理点的位置分布图，如图 1。并且可以通过对附件 1 中 数据的分析确定各个代理点之间的基本转进转出关系，其次，对汽车租赁公司各 个代理点之间调配进行分析，并且建立模型，利用 LINGO 软件求最优解，得到未 来四周的最优调度方案。 针对问题二， 在问题一的基础上， 从转运费用和短缺损失两个方面进行考虑， 建立目标函数。然后使二者之和最低，进一步求出目标函数的最小值。同时，为 了防止转运周折产生多余费用， 只进行汽车的单向转入与转出，运用累加法算出 相对最小转运费。 最后找到相对费用与短缺损失的最小值，从而得到满足调度的 最优方案。 针对问题三，综合考虑公司获利、转运费用以及短缺损失等因素，在需求量 大于拥有量时， 对 i 代理点进行分析，利用规划模型求出 i 代理点转给 j 代理点一 辆车所获得的利润。 再以此类推，分别求出转移一辆车至其余代理点所获得的利 润。最后取 i 代理点转给所有的转入代理点多获得的利润的最大值，即得到使公 司获得利益最大化的调度方案。 针对问题四，从长远考虑，通过分析总的短缺损失、采购一辆新车运营 8 年的预计收益以及运营 8 年期间的维修保险费，判断是否购买新车。其次通过比 较 10 款汽车的成本以及 8 年期间的维修保险费用，确定如果需要购车，选择费 用最低的第 8 款汽车。
5.1.1 问题一约束条件的建立： 根据问题一模型准备，第天第代理点运到第代理点汽车总数量设为
b i, j ，其中: b (i, j ) a (i, j ) X (i, j ) 。
i 1 n n n
20
则有： bn (i, j ) d (i, n) 。
j 1
20
又因为每天 20 个代理点的总拥有量和总需求量并不相等，其中第一天拥有量为 379 辆，其需求量为 388 辆。所以 d (i,1) 9
四、 符号说明
符号 符号说明 表示第 i 代理点是否运至第 j 代理点决策变量 表示第 n 天第 i 代理点运至第 j 代理点汽车数目 表示第 n 天第 i 代理点运至第 j 代理点汽车实际数目 各个代理点之间的欧式距离 两代理点之间的实际距离 每趟在各个代理点之间的运转成本
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X (i, j )
i 1 20
源自文库
根据以上两点初步可知第一天的目标函数及约束条件，如下：
min ( X (i, j ) myz (i, j ))
i 1 j 1
20
通过 Matlab 软件求得第 n 天的汽车需求量和第 n+1 天的汽车需求量之差，
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（*）若差值为正则表明拥有量大于需求量 （*）若差值为负表明拥有量小于需求量 然后通过 excel 数据调用，调出如下差值表格 表四：第 n 天的汽车需求量和第 n+1 天的汽车需求量之差
二、问题的分析
根据题目分析可知， 在本问题中，实际是在满足需求的前提下得到未来四周 内的最优解。 根据附件 3 未来四周每个代理点每天的汽车需求量，要先求得年初 各代理点的车辆到第一天最优调度方案， 以后每天的调度最优方案都以前一天求 得的最优调度结果为基准。 首先对 20 个代理点从 A,B..T 进行依次编序号为 1,2..20，用字母 i 和 j 表 示。 又运费跟第 i 个代理点到第 j 个代理点距离成正比，设置 0-1 决策变量来决 定第 i 个代理点是否运到第 j 个代理点，若是则设置为 1，否则为 0。用 Matlab 求得 20 个代理点间路径距离 20*20 矩阵 A，根据题目给出的每千米运转费用表 格求得每千米运转费用 20*20 矩阵 B，则通过 Matlab 求得矩阵 C=A.*B，矩阵 C 表示各代理间的运转成本。 不妨设第 i 代理点可以向其 20 个代理点运出汽车为, i，j 从 1 取到 20。设置 0-1 决策变量来决定第 i 个代理点是否运到第 j 个代理 点，若是则设置为 1，否则为 0。 对于问题一，基于附件一和附件三所给的数据，首先，我们通过 matlab 软 件分析得到各个可供租赁的汽车代理点的位置分布图，如图 1。并且可以通过对 附件 1 中数据的分析确定各个代理点之间的基本转进转出关系，其次，对汽车租 赁公司各个代理点之间调配进行分析，并且建立模型，利用 lingo 求解，得到第 二天各个代理点之间的调配方案。再根据模型所得结果，进行迭代处理，分别求 出未来四周内每天的调配方案。最后计算两个代理点之间的欧氏距离，通过 lingo 求得转运费用最低的方案。 对于问题二，该问题考虑短缺损失，意味着满足不了车辆需求带来的损失， 因而目标函数中除了调度费用最小，还要加上短缺损失最低。由于问题二也是在 尽量满足需求的条件下求得最佳调度方案，因此与问题一的约束条件相同。 对于问题三，该问题考虑公司获利、转运费用以及短缺损失等多个因素，确
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定未来四周的调度方案， 因而目标函数是求获取的毛收益减去转运费用，再减去 短缺损失后求最大值。在尽量满足需求的条件下，约束条件与问题一相同。 对于问题四， 该问题比较复杂，根据附件 2 中上一年各个代理点每天车辆需 求总数， 计算有多少天的需求量超过了 379 辆而会带来短缺损失，通过分析总的 短缺损失、 采购一辆新车运营 8 年带来的收益以及采购新车运营 8 年带来的预计 收益来判断是否需要购买新车。 若需要购买，根据附件 4 中的数据还需判断购买 哪一款车带来的总获利最大。
根据差值表格数据得知第 n 天第 i 代理点需求或供给汽车数目矩阵 d (i, n) ：
d (i, n) A ， A 为 28 20 矩阵的数据，由于数据庞大，姑且用字母 A 代替。 A 数
据来自附录 2 中的 28 20 数据。 根据以上表格信息，建立如下表格： 表五：第 2 日各个代理点的拥有量、需求量及拥有量与需求量之差 代理点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 需求量 15 22 22 27 15 20 15 12 19 16 27 24 30 13 17 拥有量 22 18 19 18 24 16 15 17 22 15 18 20 16 18 18
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图 1：各个代理点的位置坐标 根据附件 1 运用 Matlab 可求得各个代理点之间的欧式距离,根据题意， 两代 理点之间的实际距离约为它们之间欧式距离（即直线距离的 1.2 倍） ，即为： 其中实际距离矩阵。通过 matlab 计算出结果储存在 excel 中，并调用至如下表 格： 表一：任意两个代理点之间的实际距离