工程弹塑性力学-第六章

一、Tresca屈服条件
主应力空间内的屈服条件:
1 2 2k
2
3
2k
(6.19)
p
3 1 2k
3
平面应力状态的屈服条件（30） :
1 2 2k
2k
2
2k
(6.20)
1 2k
2
1
(正六边形柱面)
2
2k
1
o
2k
2k
平面应力的Tresca屈服线
6.4 Tresca和Mises屈服条件
简单拉伸和纯剪时最大剪应力的数值不同
6.5 Tresca和Mises屈服条件的比较
一、简单应力状态下的比较
单向拉伸: 1 0, 2 3 0
Tresca 条件: s 2
1 s
S
2
T
1 2
S
(6.45)
Mises 条件: S 3C
(6.41)
纯剪时比较两个剪应力:
C S M C S (6.46)
坐标变换：
3’
(1,0,0) (
2 2
1,
1 6
)
(0, 2,0) (0,
2 3
2
)
2’ 30º
120º
x
O
1’
(0,0,3) (
2 2
3
,
3 6
)
矢量OP在x,y平面上的坐标为：
x
2 2
(1
3
)
2 2 (s1 s3 )
y 2 2 1 3 2s2 s1 s3
6
6
(6.13)
6.3 屈服曲面
单向拉伸: 1 0, 2 3 0
Tresca 条件: 1 2 (6.36)
纯剪切:
1 2 , 3 0
Tresca
条件:
T
1 2
(
1
2)
T
(6.38)
(6.37)
T
(6.39)
简单拉伸和纯剪时最大剪应力为同样的数值
6.5 Tresca和Mises屈服条件的比较
一、简单应力状态下的比较
S3)屈服，则(S1,S2, S3)也会屈服，故屈服曲线为关于垂直于 1’,2’,3’轴的直线也对称。
6.4 Tresca和Mises屈服条件
历史上关于材料进入塑性状态原因的不同假设
第一个假设：
GalilMo在17世纪时提出
材料进入塑性状态是由最大主应力引起的，即 当最大主应力达到s时，材料即进入塑性状态。
工程弹塑性力学
浙江大学 建筑工程学院
第六章 屈服条件和加载条件
6.1 基本假设 6.2 屈服条件概念 6.3 屈服曲面 6.4 Tresca和Mises屈服条件 6.5 Tresca和Mises屈服条件的比较 6.6 屈服条件的实验验证 6.7 加载条件和加载曲面 6.8 Mohr-Coulomb和Drucker-Prager屈服条件
被实验所推翻
原因：
在各向相等压缩时．压应力可以远远超过屈服 极限s ，而材料并未进入塑性状态，也未破坏。
第二个假设： 最大的主应变能使材料进入塑性状态 St-Venant提出
被实验所推翻
第三个假设： 当最大弹性能达到一定值时，材料即开始屈服 与实验相抵触 Beltrami提出
6.4 Tresca和Mises屈服条件
边形的六个顶点的圆来代
替原来的六边形，即：
Mises屈服面
J
2
1 6
[(
1
2 )2
( 2
3 )2
( 3
1)2 ]
C
(6.26)
考虑(6.14)式
r
2
J
2
2C 常量
(6.27)
6.4 Tresca和Mises屈服条件
二、Mises屈服条件
常数C的确定：
由简单拉伸实验确定：
因1s，230， 130，故
几种特殊的应力状态在主应力空间中的轨迹： OP 1i 2 j 3k
1.球应力状态或静水应力状态
即直线方程
应力偏量为零，即 S1 S2 S3且1 2 3 m
它的轨迹是经过坐标原点并与l、2、3三坐标轴夹角相同的等倾斜直线
2.平均应力为零 平均应力为零，即m=0， 应力偏量Sij不等于零。
6.2 屈服条件的概念
1). 单向拉压应力状态的屈服条件 s：屈服应力
s (6.1)
F ( ) s 0 (6.2)
2). 复杂应力状态的屈服函数
F ( x , y , z , xy , yz , zx ) 0 (6.3) 或者: F ( ij ) 0 (6.4)
引入的概念：
应力空间、应变空间：
max
s
2
(Mises)
(Tresca)
(6.29)
2
Tresca
Mises圆
Tresca
纯剪
单向拉伸
3
1
Tresca和Mises屈服线
若规定纯剪时两种屈服条件重 合，则Tresca六边形外接于 Mises圆，且
J 2
2 s
或
3
(Mises)
max s (Tresca)
(6.30)
一、Tresca屈服条件
常数K值的确定:
由简单拉伸实验确定：
因1s，230， 130，故 由纯剪实验确定：
ks /2
因1s，20，3s， 故 ks
s2s (6.23)
对多数材料只能近似成立
Tresca屈服条件的完整表达式
(1 2 )2 4 2 ( 2 3 )2 4 2 (3 1)2 4 2 0 (6.24)
一、Tresca屈服条件
1864年，Tresca作了一系列的挤压实验来研究屈服条件：
金属材料在屈服时，可以看到接近于最大剪应力方向的细痕纹(滑移线)， 因此塑性变形可以是由于剪切应力所引起的晶体网格的滑移而引起的。
认为最大剪应力达到极限值时开始屈服: (1 2 3)
max (1 3) / 2 k
在纯剪切时： 2 0, 1 , 3
0, r 2 , q 0
在单向拉伸时： 1 , 2 3 0
1, r
2 ,,
3
q
30o
(6.17)
在单向压缩时： 3 , 1 2 0
1, r
2 ,
3
q 30o
6.3 屈服曲面
四、屈服曲面的特征
(1)、屈服曲线为一封闭曲线，
3
3
M C 2 1.155
(6.47)
T
3
两个条件的计算结果相差不大
6.5 Tresca和Mises屈服条件的比较
x 2 (1 2 ) 2k 常量
2
2
2 3 1
2 1 3
y
3 2 1
x 1 2 3
在30°q 30°（即12 3) 范围
内为一平行y轴的直线，对称拓展
后为一正六角形。
3 3 1 2
1 3 2 1
p平面上的屈服曲线 (正六角形)
6.4 Tresca和Mises屈服条件
6.4 Tresca和Mises屈服条件
二、Mises屈服条件
两种屈服条件的关系：
在主应力空间中，Mises屈服面 将是圆柱面，在3=0的平面应 力情形,Mises屈服条件可写成:
2
2
1
12
2
2 (6.31) s
2 s
O
1
s
Tresca屈服条件内接于Mises圆
平面应力问题的Tresca和Mises屈服线 （主应力平面上）
2’
30º
引进极坐标的关系:
r
x2 y2
1 2
(1
3 )2
1 6
(2 2
1
3 )2
2
J
' 2
2T
120º
x
O
(6.14)
3’
1’
tanq
y x
1 2 2 1 3 3 1 3
(6.15)
可见Lode参数为：
3 tanq
2 2 1 3 1 3
(6.16)
6.3 屈服曲面
几种典型应力状态在p平面上的极坐标值：
(6.18)
(材料力学的第三强度理论)
四个强度理论:
第一强度理论：最大拉应力理论 第二强度理论：最大伸长线应变理论 第三强度理论：最大剪应力理论 第四强度理论：形状改变比能理论
脆断破坏理论 屈服破坏理论
6.4 Tresca和Mises屈服条件
一、Tresca屈服条件
p平面上的屈服曲线
在p平面上，式(6.18)可表示为：
Mises 屈服条件: 基于某种金属屈服时
1 6
(1 2 )2 ( 2 3 )2 (3 1)2
C
(6.40)
J' 2
C
单向拉伸: 1 0, 2 3 0
1 3C (6.41)
纯剪切:
1 2 , 3 0
1 2 C (6.43)
M
3 2
C
(6.42)
M
1 2
(
1
2)
C
(6.44)
4(
J
' 2
)3
27(
J
' 3
)
2
36
2
(
J
' 2
)2
96
4
J
' 2
64 6
0
(6.25)
6.4 Tresca和Mises屈服条件
2
二、Mises屈服条件
Mises指出：
Tresca六边形的六个顶 点由实验得到，但顶点
p 平面
1
间的直线是假设的。
3
Mises屈服条件：
用连接p平面上的Tresca六
各向同性材料: 屈服条件应与方向无关，故屈服条件可用三个主应力或应力不变量表示：
F (1, 2 ,3 ) 0 (6.6)
F (J1, J2 , J3 ) 0 (6.7)
静水压力部分对塑性变形的影响可忽略，故屈服条件也可用主偏量应力 或其不变量表示：
F (S1, S2 , S3 ) 0 (6.8)
原点 在曲线内部；
(2)、对各向同性材料，若(S1, S2,
S3)或(1,2,3)屈服，则各应力
分量互换也会屈服，故屈服曲
线关于1’,2’,3’轴均对称；
B
A
' 3 BB
' 2
C
A
30 CC
纯剪
B C
' 1
AA 纯拉
p平面上的屈服曲线
(3)、对拉伸和压缩屈服极限相等的材料，若应力状态(S1, S2,
由于J1' 0
F
( J1'
,
J
' 2
,
J
' 3
)
0
F
(J
' 2
,
J
' 3
)
0
(6.9)
6.3 屈服曲面
一、主应力空间 (以主应力1,2,3为坐标轴而构成的应力空间) uuur
OP 1i 2 j 3k
2
L直线
静水应力矢量
N
uuur
OP usu1iur s2uuj ur s3k ( i j k)
6.1 基本假定
对一般应力状态的塑性理论，作以下基本假设：
• 忽略时间因素的影响(蠕变、应力松弛等) ； • 连续性假设； • 静水压力部分只产生弹性的体积变化(不影响塑性变形规律)； • 在初次加载时，单向拉伸和压缩的应力-应变特性一致； • 材料特性符合Drucker公设(只考虑稳定材料)； • 变形规律符合均匀应力应变的实验结果。
在主应力空间中，它的轨迹是一个平面， 该平面通过坐标原点并与等倾直线相垂直。
3.应力偏量为常量
应力偏量为常量，即Sl＝C1，S2＝C2，S3＝C3
1 c1 2 c2 3 c3 m
轨迹是与等倾线平行但不经 过坐标原点的直线
6.3 屈服曲面
二、屈服曲面
屈服曲面 F(1,2,3)=0：为一平行L直线的柱面；
CJ2’s2/3
由纯剪实验确定：
因1s，20， 3s， 故
CJ2’s2
3 (6.28)
S
S
对多数材料符合较好
6.4 Tresca和Mises屈服条件
二、Mises屈服条件
两种屈服条件的关系：
若规定简单拉伸时两种屈服条 件重合，则Tresca六边形内接 于Mises圆，且
J 2
2 s
3
或 s
分别以应力分量和应变分量为坐标轴组成的空间，空间内的任 一点代表一个应力状态或应变状态。
应力路径、应变路径：
应力和应变的变化在相应空间绘出的曲线。
屈服面：
应力空间内各屈服点连接成的，区分弹性和塑性状态的分界面。
6.2 屈服条件的概念
3). 屈服条件/屈服函数 (描述屈服面的数学表达式)
F ( ij ) 0 ：材料处于弹性状态 F ( ij ) 0 ：材料开始屈服进入塑性状态
s1
s3
(6.13)
3’
3
6
2’
y r
q
O
30º x
1’
矢量OP在p平面上的极坐标值为：r x2 y2 2J2 ' (6.14)
tanq y / x / 3 (6.15)
6.3 屈服曲面
uur 12 12
i2 j2
2
由于12矢量与p平面平行,故 12 1'2'
O1' 1'2' 1 2 2 2 2 cos30 2 3 3
屈服曲线 f(J2’, J3’)=0 ：屈服曲面与p平面的交线
—— 对应无静水压力部分的情况。
6.3 屈服曲面
三、矢量OP在p平面上的投影
坐标轴1，2，3在p平面上的投影 O1’、O2’、 O3’互成120；
矢量OP在p平面上的x，y坐标值为：
x
2 2
(
1
Fra Baidu bibliotek
2
)
2 2
(s1
s3
)
y
2 2
1
3
2s2
从Mises屈服条件可以看出，静水压力状态并不影 响材料屈服，而且满足互换原则，因此与实验相符。
6.5 Tresca和Mises屈服条件的比较
一、简单应力状态下的比较
Tresca屈服条件：是基于某种韧性金属的最大剪应力达到一定值
时，材料开始进入塑性状态，也就是说只有最大和最小的主应力对屈服 有影响，忽略了中间主应力对屈服的影响。
OQ ON
p平面 O
P
1
总在p平面上
与1,2,3轴的夹角相等 (6.10)
Q
任一应力状态
主偏量应力矢量
L直线：
在主应力空间内，过原点且和三个坐标
轴夹角相等的直线。方程： 123
3
p平面：
主应力空间、 L直线、 p平面
主应力空间内过原点且和L直线垂直
的平面。方程： 1230
6.3 屈服曲面
一、主应力空间 uuur