状态转移矩阵计算

1 1 1 P 0 2 6
1 4 9
3 5/2 2
P1 3 4
3
1 3/2 1
3. 由系统矩阵和矩阵指数函数的变换关系,分别有
1 0 0
A~
P
1
AP
0
2
0
0 0 3
et 0 0
e A~t
0
e2t
0
0 0 e3t
3et - 3e2t e3t
e At
Pe A~t P1
解: 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为
1=-1 2=-2 3=-3
2. 求特征值所对应的特征向量。由前述的方法可求得特征值
1,2和3所对应的特征向量分别为
p1=[1 0 1] p2=[1 2 4] p3=[1 6 9]
约旦规范形法—例3-5
故将A变换成对角线矩阵的变换矩阵P及其逆阵P-1为
➢ 类似于标量指数函数eat,
对所有有限的常数矩阵A和有限的时间t来说,矩阵 指数函数eAt这个无穷级数表示收敛。
级数求和法(2/3)
显然,用此方法计算eAt一般不能写成封闭的、简洁的解析形 式,只能得到数值计算的近似计算结果。 ➢ 其计算精度取决于矩阵级数的收敛性与计算时所取的 项数的多少。 ➢ 如果级数收敛较慢,则需计算的级数项数多,人工计算是 非常麻烦的,一般只适用于计算机计算。 ➢ 因此,该方法的缺点: ✓ 计算量大 ✓ 精度低 ✓ 非解析方法,难以得到计算结果的简洁的解析表达 式。
- 6e2t 6e3t
3et -12e2t 9e3t
5et /2 - 4e2t 3e3t /2 - 8e2t 9e3t
5et /2 -16e2t 27e3t /2
- 2et 3e2t - e3t
6e2t - 6e3t
- 2et 12e2t - 9e3t
约旦规范形法(7/8)—例3-6
例3-6 试求如下系统矩阵的矩阵指数函数
0 1 0 A 0 0 1
2 3 0
解 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为
1=2 2=3=-1
2. 由于矩阵A为友矩阵,故将A变换成约旦矩阵的变换矩阵P和其 逆阵P-1分别为
1 1 0
P 2 1
1
4 1 2
1 2 1
P 1
1 9
8 6
根据上述性质,对任何矩阵A,
可先(1)通过线性变换方法得到对角线矩阵或约旦矩阵,
然后(2)利用该类特殊矩阵的矩阵指数函数,由矩阵指数函数 的变换关系来求原矩阵A的矩阵指数函数。
约旦规范形法(4/8)—例3-5
例3-5 试求如下系统矩阵的矩阵指数函数
0 1 1
A 6
11
6
6 11 5
3.2 状态转移矩阵计算
在状态方程求解中,关键是状态转移矩阵(t)的计算。
➢ 对于线性定常连续系统,该问题又归结为矩阵指数函数 eAt的计算。
➢ 上一节已经介绍了基于拉氏反变换技术的矩阵指数函数
eAt的计算方法,下面讲述计算矩阵指数函数的下述其他3
种常用方法。
重点推荐
✓ 级数求和法
✓ 约旦规范形法
约旦规范形法(3/8)
该结论可简单证明如下:
eA~t I A~t A~2t 2 ... A~kt k ...
2!
k!
I P1APt (P1AP)2t 2 ... (P1AP)k t k ...
2!
k!
P1 I
At
A2t 2 2!
...
Ak t k k!
...P
P1e At P
矩阵或约旦矩阵,
✓ 再利用上述特殊形式矩阵的矩阵指数函数来快速
计算矩阵矩阵指数函数。 ➢ 下面讨论之。
下面首先讨论矩阵指数函数的一条性质: ➢ 对矩阵A,经变换矩阵P作线性变换后,有
A% P1AP
则相应地有如下矩阵指数函数的变换关系
约旦规范形法(2/8)
e At Pe A~t P1 e A~t P1e At P
✓ 化eAt为A的有限多项式矩阵函数法
级数求和法(1/3)
3.2.1 级数求和法
由上一节对矩阵指数函数的定义过程中可知:
eAt I At A2t 2 ... Akt k ...
2!
k!
➢ 矩阵指数函数eAt的计算可由上述定义式直接计算。
由于上述定义式是一个无穷级数,故在用此方法计算eAt时必须 考虑级数收敛性条件和计算收敛速度问题。
1 t 2 ...
2t 3t 2 ...
t 3t 2
1 3t
2 ...
...
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约旦规范形法 (1/8)
3.2.2 约旦规范形法
上节给出了对角线矩阵、块对角矩阵和约旦块三种特殊形 式矩阵的矩阵指数函数。 ➢ 由于任何矩阵都可经线性变换成为对角线矩阵或约旦 矩阵,因此
✓ 可通过线性变换将一般形式的矩阵变换成对角线
2e2t (-2 3t)et 4e2t (5 - 3t)et 8e2t (-8 3t)et
e2t (-1- 3t)et
2e2t
(-2
3t)et
4e2t (5 - 3t)et
塞尔维斯特内插法(1/1)
3.2.3 塞尔维斯特内插法
在讨论塞尔维斯特(Sylvester)内插法计算矩阵指数函数eAt时,需 要用到关于矩阵特征多项式的凯莱-哈密顿(Cayley-Hamilton)定 理以及最小多项式的概念。 ➢ 因此,首先给出凯莱-哈密顿定理 及最小多项式的概念, 再讨论塞尔维斯特内插法。 ➢ 下面依次介绍: ✓ 凯莱-哈密顿定理 ✓ 最小多项式 ✓ 塞尔维斯特内插法 计算 矩阵指数函数
Ch.3 线性系统的时域分析
目录
概述 3.1 线性定常连续系统状态方程的解 3.2 状态转移矩阵及其计算 3.3 线性时变连续系统状态方程的解 3.4 线性定常连续系统的离散化 3.5 线性定常离散系统状态方程的解 3.6 Matlab问题 本章小结
目录(1/1)
状态转移矩阵计算(1/1)
级数求和法(3/3)—例3-4
例3-4 用直接计算法求下述矩阵的矩阵指数函数: 0 1
A 2 3
解 按矩阵指数函数的展开式计算如下:
eAt I At A2t 2 ... Akt k ...
2!
k!
1 0
0 0 1 2
1 0 3t 2
1 2 3
t2 2!
...
2 3
1 1
约旦规范形法(8/8)--例3-6
3. 由系统矩阵和矩阵指数函数的变换关系,分别有
2 0 0
A~ P1AP 0
1
1
0 0 1
e At Pe A~t P1
e2t 0 0
e A~t
0
et
te
t
0 0 et
e2t (8 6t)et
1 9
2e2t
-
4e2t
(2 6t)et (-4 6t)et