智能控制(第2版)[刘金琨]chap5.答案

0

,
Λ

0
0
0 0 0
1

kn kn1 k1
0

0

b

0

1
（5.20）
则动态方程（5.19）可写为向量形式：
e Λe b fˆ(x f ) f (x) gˆ(xg ) g(x) u
x1
图5-4 x1 的隶属函数
Membership function
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x2
图5-5 x2 的隶属函数
图5-6 模糊逼近
图5-7 逼近误差
5.2 间接自适应模糊控制
5.2.1 问题描述
))
i11 i2 1
（5.2）
5.1.2 模糊系统的逼近精度
万能逼近定理表明模糊系统是除多项函数逼近器、神 经网络之外的一个新的万能逼近器。模糊系统较之其它逼 近器的优势在于它能够有效地利用语言信息的能力。万能 逼近定理是模糊逻辑系统用于非线性系统建模的理论基础， 同时也从根本上解释了模糊系统在实际中得到成功应用的 原因。
图5-8 自适应模糊控制系统
3. 稳定性分析
由式（5.15）代入式（5.7）可得如下模糊控制系统
的闭环动态
e(n) ΚT e fˆ x f f (x) gˆ xg g(x) u （5.19）
令：
0 1 0 0 0 0

0
0
1 0 0
eij
1
eij
i 1,
2
(5.4)
式中，无穷维范数 定义为 dx supdx 。


xU
由(5.4)式可知：假设 xi 的模糊集的个数为Ni ， 其变化范围的长度为 Li ，则模糊系统的逼近精度满 足
即：
Ni

Li hi
1
hi

Li Ni 1
由该定理可得到以下结论：
i1
i2
1
2
（5.1）
步骤3：采用乘机推理机，单值模糊器和中心平
均解模糊器，根据 M N1 N2 条规则来构造模
糊系统 f x
N1 N2
y
i1i2
(
i1 A1
(
x1
)
i2 A2
(
x2
))
f (x) i11 i2 1 N1 N2
(

i1 A1
(
x1
)

i2 A2
(
x2
A
1
x i2
A
2
i1 1 i2 1
该模糊系统由 1111121条规则来逼近函数 gx
(5.6)
二维函数逼近仿真程序见chap5_2.m。x1 和 x2 的隶属
函数及 gx 的逼近效果如图5-4至5-7所示
Membership function
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
考虑如下 n 阶非线性系统：
xn f x, x, , xn1 g x, x, , xn1 u
(5.7)
其中 f 和 g 为未知非线性函数，u Rn 和 y R n 分别为
系统的输入和输出。
设位置指令为 ym ，令
e ym y ym x
第5章 自适应模糊控制
模糊控制的突出优点是能够比较容易地将 人的控制经验溶入到控制器中，但若缺乏这样 的控制经验，很难设计出高水平的模糊控制器。 而且，由于模糊控制器采用了IF-THRN控制规 则，不便于控制参数的学习和调整，使得构造 具有自适应的模糊控制器较困难。
自适应模糊控制是指具有自适应学习算法的模糊逻辑系 统，其学习算法是依靠数据信息来调整模糊逻辑系统的参数。 一个自适应模糊控制器可以用一个单一的自适应模糊系统构 成，也可以用若干个自适应模糊系统构成。与传统的自适应 控制相比，自适应模糊控制的优越性在于它可以利用操作人 员提供的语言性模糊信息，而传统的自适应控制则不能。这 一点对具有高度不确定因素的系统尤其重要。
Al1 1
( li 1,2, , pi )。
步骤2：采用以下
n

pi
条模糊规则来构造模糊系统：
i 1
Rj :
IF xi
is
Aln 1
… AND
xn
THEN fˆ is E l1 ln
其中 li 1,2, , pi ，i 1,2, , n 。
is
Ali i
(5.11)
采用乘积推理机、单值模糊器和中心平均解模糊器， 则模糊系统的输出为
0.6
0.4
0.2
0
-3
-2
-101源自23x图5-1 隶属函数
一维函数逼近仿真程序见chap5_1.m。逼近效果如 图5-2和5-3所示 ：
1
0.5
Approaching
0 -0.5
-1
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
图5-2 模糊逼近
x 10-3 5
Approaching error
0
-5
-3
-2
-1
0
1
即
x1
和
x
分别在
2
U
1,1 上定义11个具有三角形隶属函
数的模糊集 A j 。
所设计的模糊系统为：
11 11
g e i1 , ei2
x i1
A
1
x i2
A
2
f x i1 1 i2 1
11 11
x i1
之一致的逼近定义在 U 3, 3上的连续函数 gx sinx，
所需精度为 0.2 ，即 sup gx f x 。 xU
由于
g cosx 1 ， 由 式 （ 5.3 ） 可
x

知，g f


g x
h h ，故取 h 0.2

sup0.1 0.06x2
xU
0.16
g x2
sup 0.28 0.06x1

xU
0.34
由式（5.3）可知，取 h1 0.2 ，h2 0.2 时，有
g f 0.16 0.2 0.34 0.2 0.1
满足精度要求。由于 L 2 ，此时模糊集的个数为 N L 1 11 h
万能逼近定理 令f x为式（5.2）中的二维模糊
系统，gx 为式（5.1）中的未知函数，如果gx
在 U , 上是连续可微的，模糊系统的
1
1
1
2
逼近精度为：
g
g
g f x
h1 x
h2
1
2
(5.3)
hi

max
1 jNi 1

满足精度要求。取
h 0.2 ，
则模糊集的个数为
N

L h
1

31。在
U


3,3上定义31个具有
三角形隶属函数的模糊集 A j，如图5-1所示。所设计的
模糊系统为：
31
sin e j

j A

x

f x j1
31


j A

x

j 1
1
0.8
Membership function


T f

x
,
gˆ x |g


T g

x
(5.15) (5.16)
其中 x 为模糊向量，参数

T f
和

T g
根据自适应律而
变化。
设计自适应律为：
f 1eT Pbx
g 2eT Pbxu
自适应模糊控制系统如图5-8所示。
(5.17) (5.18)
i
i
i
步骤2：组建 M N1 N2 条模糊集IF-THEN规则：
R x y B x i1i2 u
：如果
为 且 1
Ai1 1
2
为 Ai2 2
，则
为 i1i2
其中，i1 1, 2, , N1, i2 1, 2, , N2
将模糊集Bi1i2 的中心（用y i1i2 表示）选择为
y g e , e i1i2
（1）形如式（5.2）的模糊系统是万能逼近器，对任意
给定的 0 ，都可将 h1 和 h2
成立，从而保证 sup gx
选得足够小，使 g
f x g f
x1
。
h1


g x2
h2



xU
（2）通过对每个xi 定义更多的模糊集可以得到更为准
确的逼近器，即规则越多，所产生的模糊系统越有效。
自适应模糊控制有两种不同的形式：
(1)直接自适应模糊控制:根据实际系统性能与理 想性能之间的偏差，通过一定的方法来直接调整 控制器的参数；
(2)间接自适应模糊控制:通过在线辨识获得控制 对象的模型，然后根据所得模型在线设计模糊控 制器。
5.1 模糊逼近 5.1.1 模糊系统的设计
设二维模糊系统
g ( x)为集合
（3）为了设计具有预定精度的模糊系统，必须知道 gx
关于 x 和 x 的导数边界，即 g 和 g 。同时，在
1
2
x1
x2
设计过程中，还必须知道 gx在
x

(e1i1
,
ei2 2
)
i1 1, 2, , N1,i2 1, 2, , N2 处的值。
5.1.3 仿真实例 实例1 针对一维函数 gx，设计一个模糊系统 f x，使
设最优参数为
(5.21)

* f
arg
min sup f f
fˆ
x | f
xR n

f x

(5.22)

* g

arg

min sup gˆ g g
x |g
xR n
g x

其中 f 和 g分别为 f 和 g 的 集合。
e e, e, , en1 T
(5.8)
选择 k kn , , k1 T，使多项式 s n k1s n1 kn 的所有 根部都在复平面左半开平面上。
取控制律为
u

1 g(x)

f
x
y (n) m
ΚTe
(5.9)
将(5.9)代入(5.7)，得到闭环控制系统的方程：
fˆ x | f
p1
y l11
pn
n
l1 ln
f ln 1
Aili i 1
xi

p1
pn
n

l1 1
ln 1 i1
Aili xi
其中 为 x Aij i x i 的隶属函数。
U

1
,
1


2
,
2


R2
上的一个函数，其解析式形式未知。假设对任意一
个 x U ，都能得到 g(x) ，则可设计一个逼近的模糊系统。 模糊系统的设计步骤为：
步骤1：在 i , i 上定义Ni i 1, 2 个标准的、一致
的和完备的模糊集。
A1, A2 , , ANi
5.2.2 控制器的设计
如果 f x 和 gx 未知，控制律（5.9）很难实现。可 采用模糊系统 fˆx 和 gˆx代替 f x 和 gx ，实现自适应模
糊控制。
1. 基本的模糊系统
以 fˆx f 来逼近 f x为例，可用两步构造模糊系统：
步骤1：对变量
x1
( i 1,2, ,n )，定义 pi个模糊集合
2
3
x
图5-3 逼近误差
实例2 针对二维函数 gx ，设计一个模糊系统 f x ，使
之一致的逼近定义在 U 1, 11, 1 上的连续函数
gx 0.52 0.1x1 0.28x2 0.06 x1x2
所需精度为 0.1 。
由于 ， g x1
e(n) k e(n1) k e 0
1
n
(5.10)
由 的选取，可得 t 时 e(t) 0 ，即系统的输
出 y 渐进地收敛于理想输出 ym 。
如果非线性函数 g(x) 和 f (x)是已知的，则可以选择控
制 u 来消除其非线性的性质，然后再根据线性控制理论
设计控制器。
(5.12)
n
令
y
l1 f
ln
是自由参数，放在集合
f
pi
R i1
中。引入向
量 x ，(5.12)式变为
fˆ x | f


T f

x
n
其中
x为 i 1
pi 维向量，其第 l1
,ln
个元素为
n
x Aili i
l1 ln
x

i 1
p1
pn
n
l1 1
ln 1 i 1
Aili
xi

(5.13) (5.14)
2. 自适应模糊滑模控制器的设计
采用模糊系统逼近 f 和 g ，则控制律（5.9）变为
u 1
gˆ x g
fˆ x f

y
n
m


ΚTe
fˆ x | f