非线性模型-TAR

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yt 1
a
• 门限自回归模型能够解释金融数据中经常表现出 来的一些非线性性质:周期性和不对称性、波动的 聚集性、波动的跳跃现象和时间的不可逆性。
门限自回归模型(TAR)
• 门限自回归模型作为一类非线性模型，首先由 Tong(1978，1983)和Tong、Lim(1980)提出。 该模型设定某一特定的时点,，时间序列的运动方 式从一种机制(regime)跳跃到了另一种机制，同 时这种跳跃是离散的。门限自回归模型在拟合实 际数据时具有较好的性质，但是由于建立门限自 回归模型的步骤比较复杂，直到Ruey S.Tsay (1989)提出了相对来说比较简易的建模及检验方 法后，这类模型才被人们广泛地应用。
• 其门限变量的选取是研究变量自身，而不象一般的 TAR模型，门限变量为其他变量。
X t
j0
X j1 t1 j 2 X t2
... jp j X t p j
jt ,
rj1 ZtdHale Waihona Puke Baidu rj
(3)
则称为满足一个K段门限自回归模型(TAR).
其中Z t d 为门限变量，在Ft 1上可测，参数d被称为延迟变量， 为正整数；初始值(x0 , x1,..., x pj 1)已知，{rj , j 1, 2,..., k}为门限 值，满足- r0 r1 ... rk1 rk , k取正整数，为TAR模型
引言
一个纯随机时间序列xt 称为线性的，如果它能表示成

xt iati
(1)
i0
其中是常数，0 1，i是实数，{at}是独立同分布随机
变量序列，其分布函数是合理定义的。假定at的分布是
连续的且E(at ) 0。在许多场合下，我们进一步假定

Var
(ai
)


a2，甚至更强，at是高斯的。若
基本思路
• 在观测时序{ }的取值范围内引入 个门限值
(按j={1,2},值…,的k)大,将小时分间配轴到分xt不成同k个的区门间限，区并间用内延，迟然步后数对k不将同1{ 区}
间内的{ }采用不同 模型来描述整个系统。
d xt
xtd
xt
AR
基本模型
一般的，如果时间序列{X t
,t
1,
2, ...}满足：
的段数，{ jt}是独立同分布随机白噪声序列。满足上述条件的
模型通常记为:TAR(d,k,p1, p2 ,..., pk )。当p1 p2 ... pk p时， 即模型满足在各段阶数相等时记为：TAR(d,k,p)。
在实际应用中，由Tong(1978,1983)以及Tong, Lim(1980)提出了各种状态下涉及若干含有分离 高阶AR(p)过程的不同状态的TAR模型，其状态 的一般形式可表示为：
双线性模型
• 双线性模型可以定义为：
p
q
ms
xt c i xti jat j
ij xtiat j at
i1
j 1
i1 j 1
上式比ARMA( p, q)模型多了一个双线性项,因此可以 看作ARMA模型的推广。当x(.)固定时，变成关于a(.) 的线性模型；当a(.)固定时，变成x(.)的线性模型，因 此称之为双线性模型。由于它是非线性模型，模型的 定阶、判别准则、稳定性等远比ARMA模型复杂和困 难得多。
2 a
i2 ，
i 1
则xt是弱平稳的(即xt的头两阶矩是随时间不变的)。
一般模型
在本章，我们把xt的模型写成它的条件矩形式。设Ft
是由
1
t 1时刻已有信息产生的 域，典型的Ft1是由{xt1, xt2 , }
和{at1, at2 , }中的元素线性组合组成的。给定Ft1, xt的条件
是Ft
1中元素的线性函数，h(.)


2。非线性模型的发展就在于
t
式(2)中两个方程的扩展。若g (.)是非线性的，xt 称为均值非线
性的。若h(.)是随时间变化的，则xt是方差非线性的。
双线性模型
• 双线性模型是由Granger和Anderson(1978)提出，并得 到广泛研究。Subba Rao和Gabr(1984)讨论了这个模型 的一些性质和应用，Liu和Brockwell(1988)研究了一般的 双线性模型。
• 它用分段线性模型来得到条件均值方程的更好逼 近。而与传统的分段线性模型不同的是：传统的 模型是允许模型的变化发生在时间空间上，TAR 模型则是利用门限空间来改进线性逼近。
• 门限自回归模型在门限空间上是分段线性的，而且在此 空间内能够提供精确的“local approximations”(局 部近似值)。但是，在时间上它并不是分段线性的。也 就是说，我们可以根据门限变量 取值的不同，将 门限自回归模型看为分段线性的，而不是根据时间划分。 在看每一的个取时值刻。t，到底符合哪个阶段的线性模型Z t， d主要
均值和条件方差分别是
t

E ( xt
|
Ft 1 )

g
(
Ft
1
),

2 t
Var(xt
|
Ft 1 )

h( Ft 1 ),
(2)
其中g(.)和h(.)是有意义的函数，h(.) 0。这样，我们把模型
限制于xt g(Ft1) h(Ft1)t
其中t at t 是标准化的抖动。对式(1)中的线性序列xt，g(.)
Ztd
• 我们不仅可以对序列本身做门限自回归，建立最基本的 TAR模型。门限自回归模型还可以和其它的模型混合使 用，建立混合的TAR模型。如TAR模型与GARCH的混合 就是TAR-GARCH模型，这个混合模型弥补了GARCH模 型在拟合实际数据中的不足。
自激发门限回归模型(SETAR)
• TAR模型是由AR模型发展而来的一类非线性模型，它 有三种形式，其中一种为自激励(Self-Exciting) TAR 模型，称为SETAR模型，它能够有效地描述非线性系 统的自激振动现象。