固体物理(黄昆)第一章总结

第一章晶体结构1.晶格实例

1.1面心立方（fcc）配位数12 格点等价格点数4 致密度0.74

原胞基矢：

()

()

()

1

2

3

2

2

2

a

a j k

a

a k i

a

a i j

=+

=+

=+

原胞体积3

123

()/4

Ωa a a a

=⋅⨯=

NaCl: 两组面心立方格子平行穿套而成的复式格子基元= Na+ + Cl-

具有面心立方：简单格子（Al、Cu、Ag；Ar Kr Xe Ne）、复式格子（Cao MgS 碱卤族等）

1.2简单立方（SC）配位数6 格点等价格点数1 致密度0.52

CsCl两组简单立方格子穿套而成的复式结构基元= Cs+ + Cl-

钙钛矿结构：CaTiO3五个简单立方穿套而成基元：Ca、Ti、OI、OII、OIII (OI、OII、OIII 的化学环境各不相同，氧八面体) 典型晶体：BaTiO3、PbZrO3、LiNbO3、LiTaO3??

氯化铯型结构：CsCl, CsBr, CsI, TlCl, TlBr, TlI 等

1.3体心立方（bcc）配位数8 格点等价格点数2 致密度0.68

原胞基矢：

1

2

3

()

2

()

2

()

2

a

a i j k

a

a i j k

a

a i j k

=-++

=-+

=+-

原胞体积：3

123

()/2

Ωa a a a

=⋅⨯=

体心立方晶体: 碱金属、W、Mo、Nb、V、Fe等

1.4六角密堆（hcp）配位数12 两种格点原子数6 基元数3 致密度0.74

典型晶体举例：He, Be, Mg, Ti, Zn, Cd, Co, Y, Lu 等

1.5金刚石结构最近邻原子数4 次近邻原子数12 致密度0.34

晶体结构=布拉维格子（面心立方）+ 基元(A+B)

*将金刚石结构中的基元置换成一对硫离子和锌离子，则为两个面心立方复合而成的复式结构，典型晶体：SiC, ZnSe, AlAs, GaP, GaAs 等

2.晶体的周期性结构

2.1基本概念

晶体：1. 化学性质相同 2. 几何环境相同

基元：晶体结构中最小的重复单元

布拉维点阵（布拉维格子）： 112233R n a n a n a =++ 晶体结构 = 布拉维格子+基元

原胞：由基矢1a 、2a 、3a 确定的平行六面体，是体积最小的周期性结构单元，原胞只包含一个格点

晶胞：同时计及周期性及对称性的尽可能小的重复单元，原胞实际上是体积最小的晶胞 2.2维格纳-赛茨原胞（WS 原胞）

1. 作某个格点与其它格点的连接矢量

2. 作所有这些连接矢量的垂直平分面

3. 这些垂直平分面围起的凸多面体就是维格纳-赛茨原胞

3. 晶向、晶面及其标志

晶列（向）指数：[l m n] 晶面指数（米勒指数）：( h k l )

米勒指数是以晶胞基矢为基准，而面指数则以原胞基矢为基准标定

4. 布里渊区

倒格子空间中的维格纳-赛茨（WS ）原胞，即所谓的第一布里渊区,布里渊区包含了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢2

2h h k G G ⋅= 4.1简单立方的倒格矢（简单立方——简单立方）

基矢123a ai

a aj a ak ⎧=⎪

=⎨⎪

=⎩ 倒格矢123(2π/a)(2π/a)(2π/a)b i b j b k

⎧=⎪=⎨⎪=⎩

4.2体心立方晶格的倒格子（体心立方——面心立方）

基矢1231()2

1()21()2a a i j k a a i j k a a i j k ⎧

=-++⎪⎪

⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩ 倒格矢1232π()2π()2π()b j k a b k i a b i j a ⎧=+⎪⎪⎪

=+⎨⎪⎪=+⎪⎩

倒格矢可以表示为：

112233

2331122π

[()()()]h G h b h b h b h h i h h j h h k a

=++=+++++ 其中（h1 h2 h3）是米勒指数，h G 垂直于米勒指数，其第一布里渊区是一个正十二面体

4.3面心立方晶格的倒格子（面心立方——体心立方）

基矢1231()2

1()21()2a a j k a a k i a a i j ⎧

=+⎪⎪

⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩ 倒格矢1232π()2π()2π()b i j k a b i j k a b i j k a ⎧=-++⎪⎪⎪

=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩

第一布里渊区为截角八面体即

5. 晶体的宏观对称性

xx xy xz x x y yx yy yz y z zx zy zz z D E D E D E εεεεεεεεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

5.1对于所有立方对称的晶体中，介电常数是一个对角张量：

0 (,,,)x y z αβαβεεδαβ==该结论适用于一切具有二阶张量形式的宏观性质 (如电导率、热导率)

5.2六角对称的晶体中，若坐标轴选取在六角轴的方向和与它垂直的平面内，则介电常数有如下形式

// 0 00 00 0 εεε⊥⊥⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

⎝

⎭ ，//////D E ε=， D E ε⊥⊥⊥=，六角对称的晶体有双折射现象

5.3对称操作（正交变换：旋转、中心反演、镜面反映） 1. 旋转

绕 z 轴旋转 q 角的正交矩阵cos sin 0sin cos 0 0 0 1θθθθ-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，中心反演的正交矩阵 1 0 0 0 1 0 0 0 1-⎛⎫ ⎪

- ⎪ ⎪-⎝⎭

由于cost = (1 - m)/2 所以 m = -1 0 1 2 3，所以t = 0 2π/6 2π/4 2π/3 2π/2，没有所谓的5度

轴和7度轴。

2. 反演（符号 i ）

3. 旋转反演

旋转与反演的结合的对称操作，称为 n 度旋转反演对称。 5.4实例