数学解题的几种思维模型

数学解题的几种思维模型
安徽省全椒县官渡中学 蒋自勇
解题过程中，若能根据问题的共性和特点进行分类，对不同类型的问题建立思维模型，可简化思考容量，加快解题速度．本文谈谈数学解题中的几种常见思维模型．
一、反向模型
反向模型，即是从事物的正面思考情况复杂难以推断，有时从具有与其相反、相对特点的另一事物思考，可化难为易．反向模型，能克服学生思维过程中的单向思维定势和解题方法的刻板，有利于学生创造性思维的发展．
实数k 的取值范围．
思路分析 解分式方程时，只有当最简公分母不为零时，才不会出现增根，而公分母不为零的x 的取值有无穷多个，不可能一一代入原方程来求k 的值．可运用反向模型来思考，先从“不会产生增根”的反面“会产生增根”来确定k 的值．将原方程两边同乘以（x+2）（x －2），并整理，得
（x ＋2）（k －k 2）=x 2－5x －2．（1）
若产生增根，则（x+2）（x-2）=0，
即有
x 1=2，x 2=-2．
当x=2时，（1）式即为4（k-k 2）=-8，从而解得k=-1或 k ＝2；
当x=-2时，（1）式即为0·（k －k 2）=12，无解．
验证：当k=-1或k=2时，产生增根x=2．
反之，当k ≠-1且k ≠2时，原方程不会产生增根．
二、化归模型
化归模型是一种由陌生向熟悉转化，由未知向已知转化，由非基本问题向基本问题转化的解题策略．
例2 数3555、4444、5333的大小关系是． [ ]
（A ）3555＜4444＜5333；（B ）4444＜3555＜5333；
（C ）5333＜4444＜3555；（D ）5333＜3555＜4444．
思路分析 直接计算每个数显然繁杂且难以比较，如果将它们化归为异底数同次幂的形式，然后比较底数的大小即可解决问题．
3555＝（35）111＝243111，4444=（44）111=256111，
5333=（53）111=125111．故应选（D ）．
三、分解模型
一个复杂的问题往往是由若干个较简单的小问题组成的，解决复杂问题时，若能透过问题的本质将其分解成简单的小问题，把这些简单的问题解决了，复杂的问题也就解决了．
例3 设关于x 的方程ax 2＋bx ＋c=0两根之和为s 1，两根的平方和为s 2，两
根的立方和为s
3，求证as
3
＋bs
2
+cs1=0．
思路分析本题由三个部分组成：
（1）s
1＝x
1
＋x
2
，
（2）s
2＝x
1
2＋x
2
2=（x
1
＋x
2
）2－2x
1
x2，
（3）s
3
=x13＋x23=（x1＋x2）[（x1＋x2）2－3x1x2]，并且s1、s2、s3均可
用x
1＋x
2
或x
1
x2表达．因此，设方程ax2+bx+c＝0的两根为x1、x2，则
s2=x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2
s3＝x13＋x23＝（x1＋x2）[（x1＋x2）2－3x1x2]
四、整体模型
整体模型在解题策略上与分解模型思路恰好相反．注意力和着眼点放在问题的整体上，通过研究问题整体形式和整体结构，进而作出整体处理，达到顺利解题的目的．
相外切的圆全在△ABC中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是多少？
思路分析乍看此题较复杂，若把视点集中于三个圆上，注意运用整体思想，扩大视觉范围，先求出△ABC的面积．
三个圆面积之和的最大值的整数部分是0．
五、数形结合模型
根据数与形的内在联系，或是由数构形，以形促数，或是由形思数，以数论形的数学思维模型，可以把抽象的“数”转化为直观的“形”，加大解题的透明度，避开繁琐计算，达到简捷解题的目的．
例5当a＞0，且b＞a＋c时，求证方程ax2+bx+c=0必有两个不同的实数根．
思路分析本题虽可用判别式来解，但较繁琐，若结合图形采用特殊值法来解十分简捷．
设y＝ax2+bx+c，显然，当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0（∵b＞a＋c）．又a＞0，抛物线开口向上，故y＝ax2＋bx＋c与x轴必有两个交点，即原方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不同的实根．
六、变更主元模型
在含有多个变元的数学问题中，常常需要重新选择主元，以简化问题的结果，使非线性结构，变成线性结构．
例6设a为正整数，关于x的方程ax2＋2（2a-1）x＋4a－7＝0至少有一个整数根，求a的值．
一个是整数相当复杂，若视a为主元，即可将方程改写成关于a的一次方程
2x-3≤0，解得-3≤x≤1，又因x是整数，且x≠-2，故x＝－3，0，1，将它们分别代入原方程，得知，当x＝－3，－1，1时，a为正整数1或5，所以a＝1或a=5时，原方程至少有一个整数根．
总之，无论何种模型，都是建立在“题设信息+基础知识+思维能力”的基础上，建立解题模型，目的是为更好的引导同学们正确思维，训练思维品质，形成快捷的解题思路．。