《线性代数》第二节基本运算

1 B 2
1 2
mC则s根据（2-8） ， AB与 BA都是存在的，有
3 3
1 1
积
AB
AB
之维的关系。
0
0,
BA 2
2
可见，当且仅当 A 的列数
这里可以看到矩阵乘法的一个必须注意的特 点：一般不满足交换律. 亦即AB与BA可以不必 相等，甚至这两者可以不必皆有意义，或未必有 相同的维.
今后，特别称使 AB = BA 的矩阵 A与 B 是 可交换相乘的矩阵.
乘法结合律 (2-9)
(5) (A + B)T = AT + BT
(αA) T = αAT (AB)T = BTAT
（2-10）
(6) (A + B)C = AC + BC;
分配律
A(B + C) = AB + AC;
( )A A A
( A B) A B
假定上列各式出现的运算皆可进行。
C （2-8） ms
可帮助记忆怎样确定乘积 AB 之维的关系。
aik bkj
从（2-7） 及（2-8）可见，当且仅当 A 的
列数与 B 的行数相等时，乘积 AB 有定义，这就 = [cij ]为是A[A自可左[]自乘]B左的乘乘B积的，可相乘条件。
类似地，可规定A[自]右乘 B 的规则，并得
n
k 1
b11 b21 bn1
b1 j b2 j
bnj
b1s b2s
bns
c11
ci1
cm1
c1 j
cij
cmj
c1s
cis
cms
n
ci j aik bkj k 1
借下式
，现在正式定A义矩阵乘法B
mn
n s
]是m×n 矩阵， B==[bij ]是
称满足
aij= aji
AT = - A
(2-6´)
的矩阵称为反称[矩]阵。 等价说法是对所有
所有下标 i 和 j 有
aij = – aji
由此可知必成立 aii = 0 ，即反对称矩阵的对角 元必为零 . 例如
1 4 7 A 4 2 6
7 6 3
0 5 4
B
5
0 1
4 1 0
分别是 3 阶对称矩阵与反称矩阵。
若用 –A 表示 A 的加法逆，则 –A= (–1)A 常将矩阵的数乘及加法统称为线性运算。
利用线性运算可将上章 例 7 试的用解G表—示J成消元法
的形式，这样做06将10有 利k于153理解解的52x“xx结283y构yy”zzz3270
解 列表计算解如下列
定义 转置 把给定 m×n 矩阵 A 的各行作为相同
(5) (A + B) = A + B
BAB) ) C = A ( B这(αC里A) 特)=TA别=B提αC出AT要注乘意法经结常合运律用的 (3) ( A及B ) C =
C
乘(5法) 结(A的(合AB第律)+T3B=式)BT(T分=AAT别T标+ B为T(2-9) 及（2-10） 式)，
AT)T
这里的行表示商店， 列为食品，例如第2列3个分
量 城就 市111785涉是 ，及789第 食两品 2111种531个与食集商112品991合店在 （） xxxx31432 上且家面商其111分店元857xxx别中素111 是的间897a由3xxx省个222某城售数111市价531（xxx与。333 上b112省面991xxx444
0.20
0.15
季度 产品
夏
A 4000
B 2000
C 5800
秋
4500 2600 6200
冬
4500 2400 6000
春
4000 2200 6000
现在希望给出一张指明各个季度所需各类成本 的明细表.
解：借助解矩：阵借记助号矩，阵前记两号张，表前可两写张出表矩可阵写
0.10 0.300.100.150.30 0.145000 45004004050045 M 0.30 M0.400.300.250.40P 0.225000 P26002002040026
mC2s，按（2-8） , A右乘 B 得到的 BA是个3×2矩阵
1 2
见A，B当之且维仅的当关系AB。的A 列 数34
5 6
3 1
4 2
13 21 1 4 2 2 5 8 43 51 4 4 5 2 17 26 33 61 3 4 6 2 15 24
例6设
1 A 0
1 0,
怎即样确定乘积 AB 之维的关系。
及（2-8）可见回，顾当上且一仅章当例A 的8 列（数费的用费分用摊分问摊题问）题设. 一若个公司
的相乘等的kn积 时可1 a， ，相ik b乘乘引k 积条j入 件生A。B产有部定门0义 .分24，摊0这各.2门公就0管司是P理0规1.A3部0,定P门，20.总,2每0P费3个及用管4比个理例管部的理门矩部的阵门费M用1
am1 amn
则
def
A
a11
a1n
am1 amn
例如 若
4 8 2 A 6 8 10
则
1 2
A
2 3
4 4
1 5
12 24 6 3A 16 24 30
定义 加法 若 A =[aij ]和 B =[bij ]是两个 m×n 矩
阵则将其每一对 i - j 元相加， 形成一新的m×n
A=B.
这就是说两个行、列数分别相同且有同样位 置的元全都对应相等的矩阵是相等的。
可以看出，引进矩阵记号可简化表达，用一 个矩阵等式可表达很多个数量等式。
定义 2 数乘 若A是 m×n 矩阵， α是个数，
则αA（或Aα）是用数α乘A的每一个元而 形成的 m×n 矩阵，即若
a11 a1n
A
aik
bk到j A
可[自]右乘
B 的条件，即记号
BA 有意义
以
的条件是 B 的列数与 A 的行数相等.
乘n 法anBik bskj
从（2-7C ） 及（2-8） 重新考察上面两 ms
1
[bij ]是 C= [cij
个示例中的计算可知，这样定义矩阵的乘法绝非 ]为矫A揉[自造左作]而乘是B的以乘实积际，需要为背景的.
在定义矩阵乘法这一重要运算之前，先考 察两个例子.
例 2 （续） 若欲购买第 i 种食品 xi 个单位，
( i=1，2，3，4) , 则购买的食品量可表成向量
x = [x1, x2, x3, x4]T ， 所需的总价当然随着在不 同的商店购买而不同，故可算得 3 个不相同的
总价：
17x1 7 x2 11x3 21x4 15x1 9x2 13x3 19x4 18x1 8x2 15x3 19x4
AB
aikbk k 1
j
AB 的 i – j 元是 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应 位置元的乘积之和（简称为 A 第 i 行与 B 第 j 列 之积）， 称为确定矩阵乘积 AB 元的行乘列法则.
a11
ai1
am1
a12
ai2
am2
a1n
a in
a mn
二 运算规则
要使定义了的这些矩阵运算有用，就要进一
步揭示其结合的规则.
首先，对于数 0 和 1 及任意的矩阵 A，有
0A = 0
1A = A
其次，如普通代数运算一样，对矩阵运算，
若在一个表达式中，即出现乘法（数乘或矩阵乘
法）又出现加法，在没有括号的时候，总是先乘
后加；在出现括号的时候，可利用规则化去括号
=
A式 (6)
(2-(9A()α+AB表))CT明==矩αAC阵AT+乘B法C虽; 一般不能分满配(4足)律交(换AT律)T，=
A
但结(5合) 律(A却(BA)总T+=是BB)成TTA=立TA的T +，因B此T 涉及多个（矩2-1阵0）连乘时， A(B + C) = AB + AC;
在(6不) 改((A变(α+左BA)右)A)CT顺==A序αACA及+TB相AC邻; 矩阵可分相配乘律的前 提则下指出， (A了可A((B转A任B+置B意)CT运))=添=算BA加对TABA或乘T+积删ABC的去; 去括括号号，法而则（，2引-10申） 假一定下上(6就)列(有各(A式+出)BA现)C的=运AAC算+皆BA可C进; 行。 分配律
第二节 基本运算
定义 运算规则 矩阵运用的例
一 定义
在定义矩阵运算之前，先规定矩阵相等的含义。
定义 相等 设A是 m×n 矩阵， B是 s×t 矩阵,
A =[aij ], B =[bij ] ，则当 m = s , n = t 且 aij = bij
( i = 1 , 2 , … , m ; j = 1 , 2 , … , n ) 时，称矩阵 A 与 B 相等，记作
或先处理括号以内的表达式，例如，若
A
3 1
4 2
B
1 2
3 1
C
2
3
1 2
则
3 4 1 3 2 1 A BC 1 2 2 1 3 2
3 1
4 2
7 1
7 4
10
0
11
6
3 4 1 3 3A B 31 2 2 1
9 3
12
6
1 2
3 1
10
5
15
7
对已定义的矩阵运算，用下面的定理表述 其一般的运算规则.
考察了这两个例子后，现在正式定义矩阵乘法
定义 乘法 设 A = [aij ] 是 m×n 矩阵， B = [bij ]
是 n×s 矩阵， 以
n
ci j aikbkj k 1
（2-7）
为元的 m×s 矩阵 C = [cij ] 为 A[自左]乘 B 的乘 积， 记作 C = AB，亦即
def n
序号的列，形成一个新的矩阵，称为 A 的转置
（transpose）,记作 AT 或者 A´。
显然 AT 是 n × m 矩阵，例如
4 6
8 8
2 T 10
4 8 2
6
8
10
把满足
AT= A
(2-6)
的矩阵A称为对称[矩]阵. 因矩阵的元为实数，
故常称适合(2-6)的矩阵为实对称[矩]阵
这是6 应8 用1中0 常要82用1到80的一类特殊的矩阵， 把显满然足，对称矩阵必A为T=方A阵， 且与 (2-6) 等价 的矩的阵说A法称是为位对于称A[矩对]角阵线。对称位置的那些元分别 故常相称 等适 ，合即(对2-所6)有的的矩阵i 和为实j 有对称[矩]阵
可规定A[自]右乘P B的0.2规6 则0.，2其0并他0得管.30理部0.2门0分摊，分摊的比例
右乘 B 的条件，即记号0.28BA0.有2确0意定0义.，40如0下.2表0 所示：
承担比例 部门 M1 M2 M3 M4 P1 P
以及总费用矩阵（向量）
23 423 M 19 902
87 756 14 333
从矩阵运算角度来看，这里是 3×4 矩阵与
4×1 矩阵做“乘法”结，果是个 3×1 矩阵。
例 5 某工厂生产三种产品，各种产品每件所需
的生产成本估计以及各个季节每一产品的生产件 数由下列两表分别给出：
产品 A 成本
B
C
原材料 0.10
0.30
0.15
劳动量 0.30
0.40
0.25
管理费 0.10
矩阵称为矩阵 A 与 B 的和，记作A + B
def
即 A B aij bij aij bij
例如
3 2 1 2 2 2 5 4 3 4 5 6 1 2 3 5 7 9
2 8 6
1
Biblioteka Baidu
3
4
8 2 10
定义中蕴含了只有同维矩阵才能相加的条件，
故在认为记号“A + B ”有意义时，即已承认了 A 与 B 是同维的事实.
可表示成一个 3 维的总价向量
17 x1 7 x2 11x3 21x4
15 x1
9x2
13x3
19 x 4
18x1 8 x2 15x3 19x4
由于总价F应1 该F2是F单3价F与4 购买量之积. 这样， 17 7 11 21 S1
自然可把这总1价5 向9量1看3作1是9单S价2 矩阵（2-5） 与需购向量的1乘8 积8. 15 19 S3
定理1 对任意的数α，β以及任意的矩阵 A ,
B , C ,有
(1) A + B = B + A
加法交换律
( A + B ) + C = A + ( B + C ) 加法结合律
(2) ( )A (A) (A) 数乘结合律
( AB) (A)B A(B)
(3) ( AB ) C = A ( BC ) = ABC (4) (AT)T = A
其元是总费用方程组的解，则那里算得的生产
部门承担的管理费可简明地表为矩阵乘积
38 795 PM 39 264
49 941
1 2
例6设
A
3 1
4 2,
B 4 3
5 6
这时 A 左乘 B 不可能，因为 A 的列数是 2 而 B
的行数是 3 , 两者不相等. 然而 A 右乘 B(即 B 左
乘 A) 却是可以的 , 因为 B 的列数与 A 的行数均为
把矩阵 A 与 B之差 A – B 定义成 A +（-1）B . 式中当然认为是先进行数乘运算（-1）B 的.
3 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 1 0 1
4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 3 3
3
把元全为零的矩阵称为零矩阵，记作 O
则对任意一矩阵A，有 A= A+O = O+A 以及 A–A= A+ (–1)A= O