8章-产量递减曲线

Q a0 t 1 dt n1 dQ n Q0 Q Q0 0
na0t Q n Q0 n n Q0 Q ( 0 ) n 1 na0t Q
n Q0 na0t n 1 Q
Q0 (1 na0t ) n Q
1
Q
Q0 (1 na0t )
1 n
Np和Q
Q a a0 ( ) n Q0
图8-1 Arps 产量递减图版
图8-2 递减率与时间关系图版
二 递减率 （一）定义1:单位时间的产量变化率. 单位:1/月或1/年
a 1 dQ Q dt
（二） 定义2： 由于 dNp=Qdt， 从公式（8-２）导出递减率的第二定义：
a dQ dN p
(8-2)
(8-３) 公式（8-３）有时比公式（8-２）有用，可以运用它计算累积产量和可采储量． （三）矿场定义 递减到…. a=Q前／ Q后(100%) 递减掉….. a=(Q前－Q后)／ Q前(100%)
令Y=Np， X=Q 那么，在X—Y直角坐标系下 截距：Q0/a0 说明：
斜率：1/ a0
1.对于指数递减有另一特征：累产量与产量在直角坐标下是直线关系
2.反过来，如果累产量与产量在直角坐标下是直线关系，就判断产 量递减类型是属于指数递减，递减指数等于0。
3.累产油Np和时间t 关系式：
Np
Q0 Q a0
（四）物理含义
从公式8-2和(8-3)可以看出，递减率表示的是产量下降的速度，是一个 小于１的数，单位是时间的倒数．
一、公式推导
8.2指数递减曲线
递减指 数n为０
1.产量Q和时间 t 关系式：
指数递减，递减指数n=0时， Arps公式
a Q ( )n a0 Q0
1 dQ a0 Q dt
调 和 递 减
研究内容 曲线公式推导
Q~t关系式 Np~t关系式 Q~Np关系式
采收率Re
曲线动态预测
可采储量 NR
开发年限
第8章 产量递减曲线
• • • • • • • 序言 8.1 Arps公式 8.2 指数递减曲线 8.3 双曲线递减曲线 8.4衰减型递减曲线 8.5调和递减曲线 8.6递减类型的确定
40.7
55.9 54
94.7
94.7 94.7
0
0 0
0.7
0.7 0.7
B列
对应
时间t
H列
产量Q
2.累产油Np和产量Q 关系式：
n 0, 所以a a0
a dQ dNp
a0 dQ dNp
分离变量积分得， 0 Np Q0 Q a
Np Q0 Q a0
（8-5） 图8-4 累产量与产量关系图
Q Q源自文库 e a0t
产量Q和时 间t
累产油Np 和产量Q
Q0 Q0 e a0t Np a0
累产油Np和时间t 关系式
Np (1 e a0t )
Q0 a0
（8-6）
.Np和t 关系是一种非线性关系式，不是判断递减类型的特征方程
二、动态预测：6个开发指标 1.预测产量Q：利用（8-4）式预测产量Q随时间t变化的规律；
0
0 0 0 20 24 24 24 24
44
44 44 44 44 44 44 44 44
4.8
4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8
6
4 4 4 4 4 4 4 4
0
0 0 0 47 54 57 59 59
0
0 0 0 0.9 4.3 3.6 4 3.5
0
0 0 0 46.1 49.7 53.4 55 55.5
ao lg Q lg Qo t 2.303 2.303 t (lg Qo lg Q ) a0 2.303 Qo t lg a0 Q
（8-4）
取Q为经济极限废 弃产量时，t就为 开发年限tEL
开发年限tEL:
t EL
2.303 Q0 lg Qa ao
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• • • • • • • 序言 8.1 Arps公式 8.2 指数递减曲线 8.3 双曲线递减曲线 8.4衰减型递减曲线 8.5调和递减曲线 8.6递减类型的确定
8.3双曲线递减曲线 一 双曲线递减的特点
１递减指数大于０，递减率小于初始递减率： n>0,a< a０ ２双曲递减是一种变递减率方法，与指数递减比 较，双曲递减更适合于开发后期的预测． ３双曲递减不但适合于各种天然驱动油藏，更适 合于水驱油藏 4如果与指数递减比较，双曲线产量递减要慢，那 么预测的采收率要比指数递减预测的要偏
在油田开发过程中，当油田生产 进入递减期以后，累计产量与时 间的关系曲线是一条减速递增的 曲线，（图8－7a）。当开发时间 趋于无穷大时。累计产量将趋于 某一常数a,即可采储量。将这种统 计规律数学表示：
8.1 Arps公式
一 Arps公式
a Q n ( ) a0 Q0
(8-1)
Arps是经验公式,是一种统计模型,油田产量变化规律符合该 模型。
式中:a-递减率；
a0-初始递减率； Q-产量；
Q0-初始递减产量；
n-递减指数，各种曲线的递减指数与产量变化关系见图7-1,随着递减指 数的增大,产量递减越缓慢
n
Q0 Q 1n Np (1 ( ) ) a0 (1 n) Q0
Np和t
关系式：
Q Q0 (1 na0t )
1 n
Q0 Q 1n Np (1 ( ) ) a0 (1 n) Q0
Q0 1 Np (1 ( a0 (1 n) Q0
Q0 (1 na0t )
n
1n
Q0 1n Np (Q0 Q1n ) a0 (1 n)
Q Q0 1n Np 01n (Q0 Q1n ) Q0 a0 (1 n)
1n
n
Q0 Np 1
1 n
Q0 1 1 1 n ( 1n Q0 1n Q1n ) a0 (1 n) Q0 Q0
Qo n ) 1 Q t nao (
推导Q和 t 关系式：
递减率定义式：
1 dQ a Q dt
Arps公式：
a a0 (
Q n ) Q0
a0 1 dt n1 dQ n Q Q0
a0 Q n Q0 n t n n Q0
a0 (
Q n 1 dQ ) Q0 Q dt
Np Qo Q (1 ) ao Qo
N p ( EL)
Q Q o (1 a ) ao Qo
取Qa为经济极 限废弃产量
5.总可采储量NR
NR=Npi+Np(EL)
式中：Npi－递减之前的累产量
6.求开发时间t：
利用（8-4）lgQ～t关系式：
ao lg Q lg Qo t 2.303
图8-1
图8-2
二
双曲线递减的判断
（一）特征方程 由(8-1)(8-2)式联立得特征方程：
a Q n ( ) a0 Q0
(8-1)
1 dQ (8-2) a Q dt
得特征方程：
1 1 nt a ao
(8-7)
图 8-5
由(8-7)式得8-5图，若递减率的倒数与时间为直线关系， 可以判断产量随着时间变化的规律属于双曲递减
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序
Q Q
言
• 现象：生产过程中，产量和时间关系有两种曲线类型
t
t
递减型
峰型
• 理论：数学上，用概率统计分布函数、特殊函数来描述这两种， 如Arps公式
1 n
) )
1 n
Q0 Np (1 a0 (1 n)
1 (1 na0t )
1n n
)
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• • • • • • • 序言 8.1 Arps公式 8.2 指数递减曲线 8.3 双曲线递减曲线 8.4衰减型递减曲线 8.5调和递减曲线 8.6递减类型的确定
8.4衰减型递减曲线
a a0
a0 dt 1 dQ Q
将a=a0带入递减率公式（8－2）里
a
1 dQ Q dt
(8-2)
对等式两侧分别对时间t和产量Q求不定积分：
1 0 a0 dt Q0 - Q dQ
t Q
a0t lnQ0 - lnQ
ln
Q0 a0t Q
对等式整理，取得产量与时间是半对数直线关系式：
lg Q lg Qo
ao t 2.303
（8-4）
lg Q lg Qo
ao t 2.303
（8-4）
令Y=lgQ， X=t
那么，在X—Y直角坐标系下 直线截距：lgQ0 直线斜率：a0/2.303
说明： 1.对于指数递减有一特征：产量与时间在半对数坐标下是直线关系 2.反过来，如果产量与时间在半对数坐标下是直线关系，就判断产 量递减类型是属于指数递减，递减指数等于0。 3.那么，通过产量与时间两项数据在半对数坐标下拟合直线，从斜 率就得到初始递减率。
图8-3 产量与时间关系图
某油藏3-21井生产数据
A B
日期 1 2001.03.01
C
生产 时间 0
D
泵径 44
E
冲程 4.8
F
冲次 4
G
日产 液量 0
H
日产 油量 0
I
日产 水量 0
J
含水 0
K
套压 0
L
回压 0
2
3 4 5 6 7 8 9 10
2001.03.04
2001.03.05 2001.03.06 2001.03.07 2001.03.08 2001.03.09 2001.03.10 2001.03.11 2001.03.12
宏观上，指导生产 开发方案设计：采收率、可采储量、开发年限、采油速度 动态预测，例如产量、累计产量、生产时间
简捷 方便 易掌握 物理意义不明确
产量递减曲线（Arps递减） Arps公式 公 式 形 式 递 减 率 指 数 递 减 递减曲线类型 衰 减 递 减 递减曲线判断 双 曲 递 减 图 解 法 降 比 法 试 凑 法
• 油藏：无论那种公式，必须满
足
y f (a, b, c,.., x)
N R lim Np
t
Np Qdt
0
t
Q
dNp dt
v
dQ dt
式中： NR－可采储量； Np－累产油量； Q－单位时间产油量； t－生产时间； v－采油速度；
• 研究现状和研究意义：
研究现状： 研 究 意 义 • 特点： 产量模型 开发模式 控制模型
1 lg Q lg A lg( B t ) n
A Qo (nao )
1 n
图 8-6
从图8-5和8-6可知，由斜率可以计算出递减指数n值，
1 1 nt a ao
三 预测开发指标
（一）预测产量Q
（二）预测累产油量N （三）预测开发时间t
a Q n ( ) a0 Q0
a
关系式：
a 1 a 0n Qn Q0
Qn a a0 n Q0
a0 1 dQ n n Q dNp Q0
n
a 1 dQ ( ) 0n Q n dNp Q0
Q n1 n 1
Q Q0
a0 n Np Q0
Q0 Q0 Q1n Np ( ) a0 1 n 1 n
0
0 0 0 98 92.1 93.6 93.2 94.1
0
0 0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7
11
12 13
2001.03.13
2001.03.14 2001.03.15
17
24 24
44
44 44
4.8
4.8 4.8
4
4 4
43
59 57
对应
2.3
3.1 3
lg Q lg Qo ao t 2.303
（8-4）
2.预测累产油量：利用（8-6）式预测累产量Np随时间t变化的规律；
Np Qo ( 1 e ao t ) ao Qo Q ao
（8-6）
3.预测累产油量：利用（8-5）式预测累产量Np随产量Q变化的规律；
Np
4.预测递减段最大累计产油量Np(EL)：
dQ dN p
1 dQ a Q dt
（四）总可采储量NR
Q
Qo (1 na0 t )
1 n
Qo Q 1n Np (1 ( ) ) ao (i n) Qo
Np
Qo (1 ao (1 n)
1 (1 ao nt)
1 n n
)
Q
Qo (1 na0 t )
1 n
（二）方法
另由(8-1)(8-2)式联立得：
1 lg Q lg A lg( B t ) n
其中
A Qo (nao )

1 n
1 B nao
图 8-6
公式(8-8)由试凑方法得到,见图8-6.其中B是未知， 所以必须试着给出正确的B值
图 8-5 （三）求递减指数n 由截距可以计算初始递减率a0.