高中数学函数概念与基本初等函数知识点总结

函数概念与基本初等函数高中数学知识点总结

函数贯穿整个初中和高中阶段，不但是中考的重要内容，也是高考重要内容，所以参加高考的考生务必重视，酷课网精心为今年考生准备了本章的，希望能给考生带来意想不到的帮助。

一、命题热点

分析近几年的高考试题，可以发现函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，一般以选择题和填空题的形式考查函数的性质、函数与方程、基本初等函数等，以解答题的形式与导数交汇在一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识.其中函数与方程思想、数形结合思想等都是考考查的热点。选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势。

2012年高考热点主要有：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.

二、知识点总结

1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.

2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；

⑥利用均值不等式 22

22b a b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（χχχcos sin 、、a 等）；⑨平方法；⑩ 导数法

3．复合函数的有关问题:

（1）复合函数定义域求法：

① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b 解出

② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域.

（2）复合函数单调性的判定：

①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性

③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.

4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

5．函数的奇偶性:

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．

⑵)(x f 是奇函数)()(x f x f -=-⇔；)(x f 是偶函数)()(x f x f =-⇔.

⑶奇函数)(x f 在0处有定义，则0)0(=f

⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性

⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性

6．函数的单调性:

⑴单调性的定义：

①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x <；

②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x >；

⑵单调性的判定：①定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法

注：证明单调性主要用定义法和导数法。

7．函数的周期性：

(1)周期性的定义：对定义域内的任意，若有()()x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

（2）三角函数的周期：

①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ；④ωπ

ϕωϕω2:)cos(),sin(=+=+=T x y x A y ；⑤ω

πω==T x y :tan (3)与周期有关的结论：a x f a x f a x f a x f a x f 2)()0)(()2()()(的周期为或⇒>=--=+

8．基本初等函数的图像与性质：

⑴指数函数：)1,0(≠>=a a a y x ；⑵对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ；

⑶幂函数：αx y = （)R ∈α ；⑷正弦函数:x y sin =；⑸余弦函数：x y cos = ；

（6）正切函数：x y tan =；⑺一元二次函数：02=++c bx ax （a ≠0）；

⑻其它常用函数：正比例函数：)0(≠=k kx y ；反比例函数：)0(≠=

k x k y ；③函数)0(>+=a x a x y

㈡.

⑴分数指数幂：m

n a =1

m

n m

n a a -=（以上0,,a m n N *

>∈，且1n >）. ⑵.①b N N a a b =⇔=log ； ②()N M MN a a a log log log +=； ③N M N M a a a

log log log -=； ④log log m n a a n b b m

=. ⑶.对数的换底公式:log log log m a m N N a =.对数恒等式:log a N a N =. 9．二次函数：

⑴解析式：①一般式：c bx ax x f ++=2)(；②顶点式：k h x a x f +-=2

)()(，),(k h 为顶点； ③零点式：))(()(21x x x x a x f --= （a ≠0）.

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。 二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，。 10．函数图象：

⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法 ③导数法

⑵图象变换：

① 平移变换：ⅰ))()(a x f y x f y ±=→=，)0(>a ———左“+”右“－”；

ⅱ))0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“－”；

② 对称变换：ⅰ))(x f y =−−

→−)0,0()(x f y --=；ⅱ))(x f y =−→−=0

y )(x f y -=； ⅲ) )(x f y =−→−=0x )(x f y -=； ⅳ))(x f y =−−→

−=x y ()x f y =； ③ 翻折变换：