抗震设计讲座之结构自振周期的计算
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mN
y N (t )
y(t ) X i sin(it i )
速度为
(t ) X i i cos( y i t i )
y2 (t )
m1
y1 (t )
一、能量法计算基本周期 设体系按i振型作自由振动。 t时刻的位移为
mN
y N (t )
y(t ) X i sin(it i )
x1
M eq
x2 F / k1 F / k2 7.00105 1 / 10720
16.33105 m
能量法的结果为 T1=0.508s
x2
xm x2 16.3310 m
5
M eq
T1 2
m x
i 1 i 2 xm
n
2
i
400 (7 105 ) 2 300 (16.33105 ) 2 38.11t 9.8 （ 16.33105 ) 2
EI
q
悬臂杆的特解为 yi ( x, t ) X i ( x) sin
基本周期为
T1 1.78l 2
2 t Ti
m / EI
振型
重力作为水平荷载所引起的位移为
uT ql 4 / 8EI
q mg
m 8 uT 4 EI gl
T 1 1.6 uT
(2)体系按剪切振动时 框架结构可近似视为剪切型杆。
1 M eq (1 xm ) 2 2
mN
xn
M eq xm
m1
x1
单质点体系的最大动能为
T2 max
xm ---体系按第一振型振动时，相应于折算质点处的最大位移；
T1max T2 max
1
M eq
m x
i 1 i
n
1 M eq
M eq
2
i
x
2 m
T1 2
---单位水平力作用下顶点位移。
M eq
m x
i 1 i 2 xm
n
2
i
T1 2
M eq
G
x2
例.已知： G1 400kN, G2 300kN k1 14280 kN/m, k2 10720 kN/m 求结构的基本周期。 解: x F / k 1 / 14280 7.00105 m 1 1
G2 G1
k1
k2
G2 G1
u2 u1
求结构的基本周期。 解: （1）计算各层层间剪力
V1 400 300 700 kN V2 300kN
（2）计算各楼层处的水平位移
u1 V1 / k1 700/ 14280 0.049 m u2 V1 / k1 V2 / k2 0.049 300/ 10720 0.077m
（3）计算基本周期
T1 2
G u G u
i 1 i i 1 n i
n
2
i
2
400 0.0492 300 0.0772 0.508s 400 0.049 300 0.077
i
二、等效质量法（折算质量法）
将多质点体系用单质点体系代替。 多质点体系的最大动能为
T1max 1 n mi (1 xi ) 2 2 i 1
M eq
2
38.1116.33105 0.496s
三、顶点位移法
对于顶点位移容易估算的建筑结构，可直接由顶点位移估计基本周期。 uT (1)体系按弯曲振动时 抗震墙结构可视为弯曲型杆。 无限自由度体系，弯曲振动的运动方程为
4 y 2 y EI m 0 4 2 x t
m
动能为
Ti (t )
i2
X k X i X mX i
T i T i
通常将重力作为荷载所 引起的位移代入上式求基本 频率的近似值。
U max
1 n g Gi ui 2 i 1 2
m u
i 1 i
n
i
mN
Gn
un
Tmax
1 n mi (1ui ) 2 2 i 1
G2
u2 u1
Tmax U max
m1
n
G1
12
g mi ui
mu
i 1 i
i 1 n
2
i
T1 2
2
2 G u i i
n
T1 2 / 1
g 9.8m/s
G u
i 1 i
i 1 n
i
例.已知： G1 400kN, G2 300kN
k1 14280 kN/m, k2 10720 kN/m
m
uT
无限自由度体系，剪切杆的的运动方程为
势能为
U i (t )
1 X T X i i2 cos 2 ( i t i ) i m 2
1 X T X i sin 2 ( i t i ) i k 2
一、能量法计算基本周期 设体系按i振型作自由振动。 t时刻的位移为
mN
y N (t )
y(t ) X i sin(it i )
(t ) X i i cos( i t i ) 速度为 y
y2 (t )
m1
y1 (t )
1 X T X i i2 cos 2 ( i t i ) i m 2 2 势能为 U i (t ) 1 X T k X sin ( i t i ) i i 2 最大动能为 Ti max 1 X T X i i2 i m 2 最大势能为 U i max 1 X T X i i k 2 由能量守恒，有 Ti max U i max
§3.7 结构自振周期的计算 应用抗震设计反应谱计算地震作用下的结构反应，除砌 体结构、底部框架抗震墙砖房和内框架房屋采用底部剪力法 不需要计算自振周期外，其余均需计算自振周期。 计算方法：矩阵位移法解特征问题、近似公式、经验公式。 一、能量法计算基本周期 设体系按i振型作自由振动。 t时刻的位移为
(t ) X i i cos( i t i ) 速度为 y
y2 (t )
m1
y1 (t )
动能为
Ti (t )
1 1 1 2 2 2 1 2 N m1 y (t ) m2 y (t ) mN y (t ) 2 2 2
1 (t )T m y (t ) y 2
y N (t )
y(t ) X i sin(it i )
速度为
(t ) X i i cos( y i t i )
y2 (t )
m1
y1 (t )
一、能量法计算基本周期 设体系按i振型作自由振动。 t时刻的位移为
mN
y N (t )
y(t ) X i sin(it i )
x1
M eq
x2 F / k1 F / k2 7.00105 1 / 10720
16.33105 m
能量法的结果为 T1=0.508s
x2
xm x2 16.3310 m
5
M eq
T1 2
m x
i 1 i 2 xm
n
2
i
400 (7 105 ) 2 300 (16.33105 ) 2 38.11t 9.8 （ 16.33105 ) 2
EI
q
悬臂杆的特解为 yi ( x, t ) X i ( x) sin
基本周期为
T1 1.78l 2
2 t Ti
m / EI
振型
重力作为水平荷载所引起的位移为
uT ql 4 / 8EI
q mg
m 8 uT 4 EI gl
T 1 1.6 uT
(2)体系按剪切振动时 框架结构可近似视为剪切型杆。
1 M eq (1 xm ) 2 2
mN
xn
M eq xm
m1
x1
单质点体系的最大动能为
T2 max
xm ---体系按第一振型振动时，相应于折算质点处的最大位移；
T1max T2 max
1
M eq
m x
i 1 i
n
1 M eq
M eq
2
i
x
2 m
T1 2
---单位水平力作用下顶点位移。
M eq
m x
i 1 i 2 xm
n
2
i
T1 2
M eq
G
x2
例.已知： G1 400kN, G2 300kN k1 14280 kN/m, k2 10720 kN/m 求结构的基本周期。 解: x F / k 1 / 14280 7.00105 m 1 1
G2 G1
k1
k2
G2 G1
u2 u1
求结构的基本周期。 解: （1）计算各层层间剪力
V1 400 300 700 kN V2 300kN
（2）计算各楼层处的水平位移
u1 V1 / k1 700/ 14280 0.049 m u2 V1 / k1 V2 / k2 0.049 300/ 10720 0.077m
（3）计算基本周期
T1 2
G u G u
i 1 i i 1 n i
n
2
i
2
400 0.0492 300 0.0772 0.508s 400 0.049 300 0.077
i
二、等效质量法（折算质量法）
将多质点体系用单质点体系代替。 多质点体系的最大动能为
T1max 1 n mi (1 xi ) 2 2 i 1
M eq
2
38.1116.33105 0.496s
三、顶点位移法
对于顶点位移容易估算的建筑结构，可直接由顶点位移估计基本周期。 uT (1)体系按弯曲振动时 抗震墙结构可视为弯曲型杆。 无限自由度体系，弯曲振动的运动方程为
4 y 2 y EI m 0 4 2 x t
m
动能为
Ti (t )
i2
X k X i X mX i
T i T i
通常将重力作为荷载所 引起的位移代入上式求基本 频率的近似值。
U max
1 n g Gi ui 2 i 1 2
m u
i 1 i
n
i
mN
Gn
un
Tmax
1 n mi (1ui ) 2 2 i 1
G2
u2 u1
Tmax U max
m1
n
G1
12
g mi ui
mu
i 1 i
i 1 n
2
i
T1 2
2
2 G u i i
n
T1 2 / 1
g 9.8m/s
G u
i 1 i
i 1 n
i
例.已知： G1 400kN, G2 300kN
k1 14280 kN/m, k2 10720 kN/m
m
uT
无限自由度体系，剪切杆的的运动方程为
势能为
U i (t )
1 X T X i i2 cos 2 ( i t i ) i m 2
1 X T X i sin 2 ( i t i ) i k 2
一、能量法计算基本周期 设体系按i振型作自由振动。 t时刻的位移为
mN
y N (t )
y(t ) X i sin(it i )
(t ) X i i cos( i t i ) 速度为 y
y2 (t )
m1
y1 (t )
1 X T X i i2 cos 2 ( i t i ) i m 2 2 势能为 U i (t ) 1 X T k X sin ( i t i ) i i 2 最大动能为 Ti max 1 X T X i i2 i m 2 最大势能为 U i max 1 X T X i i k 2 由能量守恒，有 Ti max U i max
§3.7 结构自振周期的计算 应用抗震设计反应谱计算地震作用下的结构反应，除砌 体结构、底部框架抗震墙砖房和内框架房屋采用底部剪力法 不需要计算自振周期外，其余均需计算自振周期。 计算方法：矩阵位移法解特征问题、近似公式、经验公式。 一、能量法计算基本周期 设体系按i振型作自由振动。 t时刻的位移为
(t ) X i i cos( i t i ) 速度为 y
y2 (t )
m1
y1 (t )
动能为
Ti (t )
1 1 1 2 2 2 1 2 N m1 y (t ) m2 y (t ) mN y (t ) 2 2 2
1 (t )T m y (t ) y 2