第二章 复杂网络模型
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第二章 复杂网络模型
• • • •
规则网络 随机图 小世界网络 无固定的。
（a）全局耦合网络； （b）最近邻耦合网络；
（c）星形网络
全局耦合网络具有最小的平均路径长度Lgc =1和最大的聚类
系数Cgc =1；
最近邻耦合网络:包含N个围成一个环的点，其中每个节点都
小世界网络模型
作为从完全规则网络向完全随机图的过渡，Watts和 Strogtz于1998年引入了一个小世界网络模型，称 为WS小世界模型。其构造算法如下：
P=0对应于完全规则网络，p=1对应于完全随机网络。
WS小世界模型的构造方法如下：
• (1)从规则图开始，考虑一个含有N个节点的规则网络，它 们圈成一个环，其中每个节点都与它左右相邻的各K／2个 节点相连接，K为偶数； (2)随机化重连，以概率p随机地重新连接网络中的每条边 (将边的一个端点保持不变，而另一个端点取为网络中随 机选择的一个节点)，其中规定，任意两个不同的节点之 间至多只能有一条边，并且每一个节点都不能有边与其自 身相连。 下面3个图表示了小世界网络的构造以及它与规则网络、 随机网络的关系。在WS小世界模型中，p＝0对应于规则 网络，p＝l则对应于完全随机网络，通过调节p的值就可 以控制从规则网络到完全随机图的过渡。因此小世界网络 是介于规则网络和随机网络之间的一种网络。 • P = 0 => 0.1 =>1
Random Network
Scale-free Network
•几种真实网络的度分布 图。 a internet ；b 电 影演员合作关系网络；c 高能物理学家合作关系 网；d 神经学家合作关 系网络。不是泊松分布， 而是符合幂函数分布。
无标度网络的优缺点
如右图所示，整个网络中的结 点通过 红色的中心结点连接在一起。
六度分离理论
• 数学家的六度分离。 • 匈牙利伟大的数学家Paul Erdös 与其他数学家的合作关系
在数学家的眼里，这一类问题都从它的实际意义中抽象了出 来，形成了一个叫小世界模型的东西，它是图论的一个新兴 分支学科复杂网络理论中的一个课题。
哥伦比亚大学的Duncan J. Watts 教授建立了一个电影 数据库，分析每一个演员和Kevin Bacon之间的关系， 得到的平均值是2.918
如果黄色的结点失效了，系统 依旧保持 完整，其余的结点依旧相互连 通。
ER 随机图的平均度是 k p(N-1) pN ,平均路径长度
LER ln N / ln k 。LER为网络规模的对数增长函数是典
型的小世界特征。ER随机图的聚类系数是C=p=<k>/N《1， 这意味着大规模的稀疏ER随机图没有聚类特性。实际网 络的聚类系数要比相同规模的ER随机图的聚类系数要高 得多。 ER随机图的度分布可用Poission分布来表示：
ki ( ki ) jk j
• 经过t时间间隔后，该算法程序产生一 具有N=t+m0个节点，mt条边的网络。 • 数量模拟表明具有k条边的节点的概率 服从指数为r=3的幂指数分布。
P(k) ~k-3
A.-L.Barabá si, R. Albert, Science 286, 509 (1999)
N Kp P(k ) k K N
k K
Kp 1 N
N k K
而当k<K时，P（k）=0。
无标度网络模型
• 小世界网络，随机网络的特征？
无标度网络模型
• 小世界网络，随机网络没有考虑到的网络特征：
什么是无标度网络?
•无标度网络是由Barabasi所命名的（BA模型)，该种网络具 有2种特性：不断增长和偏好连接。 •不断增长： •早期的网络模型没有考虑结点数随着时间而增长。整个图形 是静止的。然而，在现实生活中，总有新人加入到社交网中， 总有新的网站在internet上出现。于是乎，网络处在一个不断 增长的状态。
六度分离理论
• 哥伦比亚大学一些对这个感兴趣的学者们，发起了一个 “小世界研究计划” • 电子邮件 Duncan J. Watts的科普作品Six Degrees: The Science of a Connected Age ，该书现在已经有中译本《六度：互联时代 的科学》。 Duncan J. Watts的另一部半科普性质的作品Small Worlds : The Dynamics of Networks between Order and Randomness 《小世界》
心点连接，其平均路径长度为
Lstar 2
聚类系数为
2( N 1) 2 N ( N 1)
N 1 1 N
( N ) ( N )
C
star
随机图
• 随机图是与规则网络相反的网络，一个典型模型是Erdos 和Renyi于40多年前开始研究的随机图模型。 假设有大量的纽扣（N》1）散落在地上，并以相同的概率 p给每对纽扣系上一根线。这样就会得到一个有N个节点， 约pN(N-1)/2条边的ER随机图的实例。
Power Law Distribution
# of links (k)
BA 无标度模型
• 无标度模型由Albert-László Barabási和 Réka Albert在1999年首先提出，现实网络 的无标度特性源于众多网络所共有的两种 生成机制： • （ⅰ）网络通过增添新节点而连续扩 张； • （ⅱ）新节点择优连接到具有大量连 接的节点上。
N k N k k e P( k ) p ( 1 p ) k k!
k
k
因此，ER随机图也称为“Poission随机图”。
六度分离理论
• 惊叹于世界是如此的渺小，总是发现你和 刚认识的另外一个人有共同的朋友……不 禁问：世界到底有多大？我们和世界上其 他人距离有多远？答案是——
BA模型
• 增长和择优连接这两种要素激励了Barabási－Albert模 型的提出，该模型首次导出度分布按幂函数规律变化 的网络。
• 模型的算法如下：
（1）增长：开始于较少的节点数量（m0），在每个时间 间隔增添一个具有m（≤m0）条边的新节点，连接这个 新节点到m个不同的已经存在于系统中的节点上。 （2）择优连接：在选择新节点的连接点时，假设新节点 连接到节点i的概率π 取决于节点i的度数即
Nice to meet you! Hello!
偏好连接
• 无标度网络的另一个特性，偏好连接，意 指新结点连接度高的结点的可能更大。 • 在如下的一个例子当中，新结点最有可能 和红色结点相连。 New Node • 在现实生活中，新的网站很有可能会和一 些热门的网络貌似服从幂分布。 •早期的模型把网络描述成一个钟型曲线，大量的结点 拥有相同的度，而几乎没有高度的结点。 •在无标度网络模型中，网络是由大量低度的结点以及 少量高度的结点所组成的。
Bell Curve
# of nodes with k links # of nodes with k links # of links (k)
与它左右各K/2个邻居点相连（K为偶数），对于较大的K 值，最近邻耦合网络的聚类系数为
C
nc
3( K 2 ) 3 4 ( K 1) 4
因此，这样的网络是高度聚类的。对于固定的K值，网络平 均路径长度为 N ( N ) Lnc 2 K
星形耦合网络：有一个中心点，其余N-1个点都只与这个中
ER随机图的性质
随机图理论的一个主要研究课题是： 当概率p为多大时，随机图会产生一些特殊的属性？ Erdos和Renyi系统地研究了当 N 时，ER随机图的性质与概 率p之间的关系，他们采用了如下定义： 如果当 N 时产生一个具有性质Q的ER随机图的概率为1，那 么就称几乎每一个ER随机图都具有性质Q。 Erdos和Renyi的最重要的发现时ER随机图具有如下的涌现或相 变性质： ER随机图的许多重要的性质都是突然涌现的。也就是说，对 于任意给定的概率p，要么几乎每一个图都具有性质Q，要 么几乎每一个图都不具有该性质。 上述纽扣网络，如果p大于某个临界值 pc (ln N ) / N ，那么几乎 每一个随机图都是连通的。
小世界网络模型
小世界网络的统计性质
• 1.聚类系数
WS小世界网络的聚类系数为
3( K 2) C ( p) (1 p)3 4( K 1)
NW小世界网络的聚类系数为
C ( p) 3( K 2) 4( K 1) 4 Kp ( p 2)
• 2.平均路径长度
2N L( p ) f ( NKp / 2) K
BA模型
（a)Barabá si-Albert模拟的度分布。 N m0 t 300000
N （b）不同系统规模下的 p k 。
100000 N 150000
Poisson distribution
Degree Distribution Power-law distribution
其中f（u）为一普适标度函数，满足 constant , u《1 f (u ) （ / u，u》 1 ln u） Newman等人基于平均场方法给出了如下近似表达式：
f ( x) 1 2 x2 2x arctanh x x2
• 3.度分布 在基于“随机化加边”机制的NW小世界模型中，每个节 k K 时，一个随机选取的 点的度至少为K，因此当 节点的度为k的概率为：
小世界网络模型
• 哥伦比亚大学一些对这个感兴趣的学者们，发起了一个 “小世界研究计划” • 电子邮件 Duncan J. Watts的科普作品Six Degrees: The Science of a Connected Age ，该书现在已经有中译本《六度：互联时代 的科学》。 Duncan J. Watts的另一部半科普性质的作品Small Worlds : The Dynamics of Networks between Order and Randomness 《小世界》
？
6
六度分离理论
• 源于社会学
1967年，哈佛大学心理学教授Stanley Milgram做的送信实验：
六度分离理论
• 为什么蠕虫病毒在互联网上传播得那么快，二十四小时能 感染几千万台主机？为什么SARS病毒很难遏制住传播， 总是逃开人们的封锁扩散开？ 在数学家的眼里，这一类问题都从它的实际意义中抽象了出 来，形成了一个叫小世界模型的东西，它是图论的一个新兴 分支学科复杂网络理论中的一个课题。 当图很大时，如何研究？ 通过统计的方法来研究这个图的性质。这就是复杂网络 理论。
P=0
K=6
N=200 六度分离
P=0.1 K=6 N=200 六度分离
P=1
K=3
N=200 六度分离
小世界网络模型
小世界网络模型
Newman和Watts提出了NW小世界模型，用“随机化加 边”取代WS小世界模型构造中的“随机化重连”。 算法如下： • ①从规则图开始：含有N 个节点的最近邻耦合网 络。 • ②随机化加边：以概率P在随机选取的一对节点之 间加上一条边。 NW小世界模型中，p=0对应于原来的最近邻耦合 网络，p=1对应于全局耦合网络。
• • • •
规则网络 随机图 小世界网络 无固定的。
（a）全局耦合网络； （b）最近邻耦合网络；
（c）星形网络
全局耦合网络具有最小的平均路径长度Lgc =1和最大的聚类
系数Cgc =1；
最近邻耦合网络:包含N个围成一个环的点，其中每个节点都
小世界网络模型
作为从完全规则网络向完全随机图的过渡，Watts和 Strogtz于1998年引入了一个小世界网络模型，称 为WS小世界模型。其构造算法如下：
P=0对应于完全规则网络，p=1对应于完全随机网络。
WS小世界模型的构造方法如下：
• (1)从规则图开始，考虑一个含有N个节点的规则网络，它 们圈成一个环，其中每个节点都与它左右相邻的各K／2个 节点相连接，K为偶数； (2)随机化重连，以概率p随机地重新连接网络中的每条边 (将边的一个端点保持不变，而另一个端点取为网络中随 机选择的一个节点)，其中规定，任意两个不同的节点之 间至多只能有一条边，并且每一个节点都不能有边与其自 身相连。 下面3个图表示了小世界网络的构造以及它与规则网络、 随机网络的关系。在WS小世界模型中，p＝0对应于规则 网络，p＝l则对应于完全随机网络，通过调节p的值就可 以控制从规则网络到完全随机图的过渡。因此小世界网络 是介于规则网络和随机网络之间的一种网络。 • P = 0 => 0.1 =>1
Random Network
Scale-free Network
•几种真实网络的度分布 图。 a internet ；b 电 影演员合作关系网络；c 高能物理学家合作关系 网；d 神经学家合作关 系网络。不是泊松分布， 而是符合幂函数分布。
无标度网络的优缺点
如右图所示，整个网络中的结 点通过 红色的中心结点连接在一起。
六度分离理论
• 数学家的六度分离。 • 匈牙利伟大的数学家Paul Erdös 与其他数学家的合作关系
在数学家的眼里，这一类问题都从它的实际意义中抽象了出 来，形成了一个叫小世界模型的东西，它是图论的一个新兴 分支学科复杂网络理论中的一个课题。
哥伦比亚大学的Duncan J. Watts 教授建立了一个电影 数据库，分析每一个演员和Kevin Bacon之间的关系， 得到的平均值是2.918
如果黄色的结点失效了，系统 依旧保持 完整，其余的结点依旧相互连 通。
ER 随机图的平均度是 k p(N-1) pN ,平均路径长度
LER ln N / ln k 。LER为网络规模的对数增长函数是典
型的小世界特征。ER随机图的聚类系数是C=p=<k>/N《1， 这意味着大规模的稀疏ER随机图没有聚类特性。实际网 络的聚类系数要比相同规模的ER随机图的聚类系数要高 得多。 ER随机图的度分布可用Poission分布来表示：
ki ( ki ) jk j
• 经过t时间间隔后，该算法程序产生一 具有N=t+m0个节点，mt条边的网络。 • 数量模拟表明具有k条边的节点的概率 服从指数为r=3的幂指数分布。
P(k) ~k-3
A.-L.Barabá si, R. Albert, Science 286, 509 (1999)
N Kp P(k ) k K N
k K
Kp 1 N
N k K
而当k<K时，P（k）=0。
无标度网络模型
• 小世界网络，随机网络的特征？
无标度网络模型
• 小世界网络，随机网络没有考虑到的网络特征：
什么是无标度网络?
•无标度网络是由Barabasi所命名的（BA模型)，该种网络具 有2种特性：不断增长和偏好连接。 •不断增长： •早期的网络模型没有考虑结点数随着时间而增长。整个图形 是静止的。然而，在现实生活中，总有新人加入到社交网中， 总有新的网站在internet上出现。于是乎，网络处在一个不断 增长的状态。
六度分离理论
• 哥伦比亚大学一些对这个感兴趣的学者们，发起了一个 “小世界研究计划” • 电子邮件 Duncan J. Watts的科普作品Six Degrees: The Science of a Connected Age ，该书现在已经有中译本《六度：互联时代 的科学》。 Duncan J. Watts的另一部半科普性质的作品Small Worlds : The Dynamics of Networks between Order and Randomness 《小世界》
心点连接，其平均路径长度为
Lstar 2
聚类系数为
2( N 1) 2 N ( N 1)
N 1 1 N
( N ) ( N )
C
star
随机图
• 随机图是与规则网络相反的网络，一个典型模型是Erdos 和Renyi于40多年前开始研究的随机图模型。 假设有大量的纽扣（N》1）散落在地上，并以相同的概率 p给每对纽扣系上一根线。这样就会得到一个有N个节点， 约pN(N-1)/2条边的ER随机图的实例。
Power Law Distribution
# of links (k)
BA 无标度模型
• 无标度模型由Albert-László Barabási和 Réka Albert在1999年首先提出，现实网络 的无标度特性源于众多网络所共有的两种 生成机制： • （ⅰ）网络通过增添新节点而连续扩 张； • （ⅱ）新节点择优连接到具有大量连 接的节点上。
N k N k k e P( k ) p ( 1 p ) k k!
k
k
因此，ER随机图也称为“Poission随机图”。
六度分离理论
• 惊叹于世界是如此的渺小，总是发现你和 刚认识的另外一个人有共同的朋友……不 禁问：世界到底有多大？我们和世界上其 他人距离有多远？答案是——
BA模型
• 增长和择优连接这两种要素激励了Barabási－Albert模 型的提出，该模型首次导出度分布按幂函数规律变化 的网络。
• 模型的算法如下：
（1）增长：开始于较少的节点数量（m0），在每个时间 间隔增添一个具有m（≤m0）条边的新节点，连接这个 新节点到m个不同的已经存在于系统中的节点上。 （2）择优连接：在选择新节点的连接点时，假设新节点 连接到节点i的概率π 取决于节点i的度数即
Nice to meet you! Hello!
偏好连接
• 无标度网络的另一个特性，偏好连接，意 指新结点连接度高的结点的可能更大。 • 在如下的一个例子当中，新结点最有可能 和红色结点相连。 New Node • 在现实生活中，新的网站很有可能会和一 些热门的网络貌似服从幂分布。 •早期的模型把网络描述成一个钟型曲线，大量的结点 拥有相同的度，而几乎没有高度的结点。 •在无标度网络模型中，网络是由大量低度的结点以及 少量高度的结点所组成的。
Bell Curve
# of nodes with k links # of nodes with k links # of links (k)
与它左右各K/2个邻居点相连（K为偶数），对于较大的K 值，最近邻耦合网络的聚类系数为
C
nc
3( K 2 ) 3 4 ( K 1) 4
因此，这样的网络是高度聚类的。对于固定的K值，网络平 均路径长度为 N ( N ) Lnc 2 K
星形耦合网络：有一个中心点，其余N-1个点都只与这个中
ER随机图的性质
随机图理论的一个主要研究课题是： 当概率p为多大时，随机图会产生一些特殊的属性？ Erdos和Renyi系统地研究了当 N 时，ER随机图的性质与概 率p之间的关系，他们采用了如下定义： 如果当 N 时产生一个具有性质Q的ER随机图的概率为1，那 么就称几乎每一个ER随机图都具有性质Q。 Erdos和Renyi的最重要的发现时ER随机图具有如下的涌现或相 变性质： ER随机图的许多重要的性质都是突然涌现的。也就是说，对 于任意给定的概率p，要么几乎每一个图都具有性质Q，要 么几乎每一个图都不具有该性质。 上述纽扣网络，如果p大于某个临界值 pc (ln N ) / N ，那么几乎 每一个随机图都是连通的。
小世界网络模型
小世界网络的统计性质
• 1.聚类系数
WS小世界网络的聚类系数为
3( K 2) C ( p) (1 p)3 4( K 1)
NW小世界网络的聚类系数为
C ( p) 3( K 2) 4( K 1) 4 Kp ( p 2)
• 2.平均路径长度
2N L( p ) f ( NKp / 2) K
BA模型
（a)Barabá si-Albert模拟的度分布。 N m0 t 300000
N （b）不同系统规模下的 p k 。
100000 N 150000
Poisson distribution
Degree Distribution Power-law distribution
其中f（u）为一普适标度函数，满足 constant , u《1 f (u ) （ / u，u》 1 ln u） Newman等人基于平均场方法给出了如下近似表达式：
f ( x) 1 2 x2 2x arctanh x x2
• 3.度分布 在基于“随机化加边”机制的NW小世界模型中，每个节 k K 时，一个随机选取的 点的度至少为K，因此当 节点的度为k的概率为：
小世界网络模型
• 哥伦比亚大学一些对这个感兴趣的学者们，发起了一个 “小世界研究计划” • 电子邮件 Duncan J. Watts的科普作品Six Degrees: The Science of a Connected Age ，该书现在已经有中译本《六度：互联时代 的科学》。 Duncan J. Watts的另一部半科普性质的作品Small Worlds : The Dynamics of Networks between Order and Randomness 《小世界》
？
6
六度分离理论
• 源于社会学
1967年，哈佛大学心理学教授Stanley Milgram做的送信实验：
六度分离理论
• 为什么蠕虫病毒在互联网上传播得那么快，二十四小时能 感染几千万台主机？为什么SARS病毒很难遏制住传播， 总是逃开人们的封锁扩散开？ 在数学家的眼里，这一类问题都从它的实际意义中抽象了出 来，形成了一个叫小世界模型的东西，它是图论的一个新兴 分支学科复杂网络理论中的一个课题。 当图很大时，如何研究？ 通过统计的方法来研究这个图的性质。这就是复杂网络 理论。
P=0
K=6
N=200 六度分离
P=0.1 K=6 N=200 六度分离
P=1
K=3
N=200 六度分离
小世界网络模型
小世界网络模型
Newman和Watts提出了NW小世界模型，用“随机化加 边”取代WS小世界模型构造中的“随机化重连”。 算法如下： • ①从规则图开始：含有N 个节点的最近邻耦合网 络。 • ②随机化加边：以概率P在随机选取的一对节点之 间加上一条边。 NW小世界模型中，p=0对应于原来的最近邻耦合 网络，p=1对应于全局耦合网络。