二阶微分方程类型及其解法

r １x
rx
， e 是方程(7.1)
r2x
因为
e r1 x ( r1 r2 ) x ＝e e r2 x
所以 e ，e 为线性无关函数，由解的结构定理知，方程(7.1) r1x r2x y＝C1e ＋C2e 2 (2)若特征方程(7.2)有两个相等的实根 r1＝r2，此时 p －4q＝0，即 有 r 1 ＝r 2 ＝
r1x
因为 e ≠0， 且因 r1 是特征方程的根， 故有 r 故有 2r1＋p＝0
２ １
＋pr１＋q＝0， 又因 r1＝－
p 2
d 2u ＝0 dx 2 d 2u 显然满足 ＝0 2 dx
u(x)＝x rx 则 y2＝xe 是方程(7.1)的另一个特解，且 y1，y2 是两个线性无关的函数， 所以方程(7.1) r1x r1x r1x y＝C1e ＋C2xe ＝(C1＋C2x)e
r1x r1x １ 1 2 １ 1
r1x
r1x
将它们代入方程(7.1) (r 1u＋２r1
2
du d 2 u ＋ )e dx dx 2
1
r1x
＋p(
du ＋r u)e dx
1 ２ １
r1x
＋que ＝0
r1x
d 2u du ［ ＋ (2r ＋ p) ＋(r 2 dx dx
r1x
＋pr1＋q)u］e ＝0
(3)若特征方程(7.2)有一对共轭复根 此时方程(7.1) (α＋iβ)x （α－iβ）x y1＝e y2＝e
（α＋iβ）x （α－iβ）x
r1＝α＋iβ，r2＝α－i
y＝C1e ＋C2e 其中 C1，C2 为任意常数，但是这种复数形式的解，在应用上不方便。在实际 e ＝cosx＋isinx，e 有
αx
αx
dx
dx
有二个不相等的实根 r1，r2 有二重根 r1＝r2
y＝C1e ＋C2e
r1x
r2x
y＝(C1＋C2x)e
r1x
有一对共轭复根 例 1.
r1 i r2 i
y＝e (C1cosβx＋C2sinβx)
αx
d 2 y dy (1) ＋3 －１０y＝0 dx 2 dx d 2 y dy (2) －4 ＋4y＝0 dx 2 dx d 2 y dy (3) ＋4 ＋7y＝0 2 dx dx
y＝e
－2x
r2＝－2－ (C1cos
3i
2
3 x＋C sin 3 x)
d 2 y dy ＋p ＋qy＝f(x) dx 2 dx
(7.3)
的通解，只要先求出其对应的齐次方程的通解，再求出其一个特解，而 后 相加就得到非齐次方程的通解， 而且对应的齐次方程的通解的解法， 前面已经解 决，因此下面要解决的问题是求方程(7.3) 方程(7.3)的特解形式，与方程右边的 f(x)有关，这里只就 f(x)的两种常见 一、f(x)＝pn(x)e f(x)＝pn（x
解 (1)特征方程 r ＋3r－10＝0 r1＝－5，r2＝2 所求方程的通解 y＝C1e －5r C2e 2x 2 (2)特征方程 r －4r＋4＝0 r1＝r2＝2 所求方程的通解 y＝(C1＋C2x)e 2x 2 (3)特征方程 r ＋4r＋7＝0 r1＝－2＋ 所求方程的通解 § 7.2
2
3i
2 0 1
2
求导数
~
y ' ＝2a x＋a
0
~
1
y" ＝2a
0 2 2
代入方程有 2a0x ＋(2a0＋2a1)x＋ （2a0＋a1＋2a２） ＝x －3
2a 0 1 2a 0 2a1 0 2a a 2a 3 0 1 2
所以特解 y ＝
~
a0
解得
1 2
1 2 7 a2 4 a1
ix －ix
＝cosx－isinx
1 2
ix
(e ＋e
ix
－ix
)＝cosx
1 (e －e )＝sinx 2i 1 1 (y ＋y )＝ e (e ＋e )＝e cosβx 2 2 1 1 (y －y )＝ e (e －e )＝e sinβx 2i 2i 1 1 由上节定理一知， (y ＋y )， (y －y )是方程(7.1)的两个特解，也即 2i 2
y ＝x Q (x)e
2 n
~
αx
例 3.
d 2 y dy (1) ＋5 ＋6y＝e 3x dx 2 dx d 2 y dy (2) ＋5 ＋6y＝3xe －2x 2 dx dx 2 d y dy (3) ＋α ＋y＝－(3x ＋1)e dx 2 dx
2
－x
解
~
(1)因α＝3 不是特征方程 r ＋5r＋6＝0 的根，故方程具有形如 3x
r1x
r2x
p ，这样只能得到方程(7.1)的一个特解 y 2
2
１
＝e
r１x
，因此，我们
还要设法找出另一个满足
y2 y2 ≠常数，的特解 y ，故 应是 x 的某个函数，设 y1 y1
y2 ＝u，其中 u＝u(x) y1
y2＝uy1＝ue r１x 对 y2
dy 2 du du ＝ e ＋r ue ＝( ＋r u)e dx dx dx d 2 y2 du d 2 u ＝(r u＋2r ＋ )e dx 2 dx dx 2
a0
1 4
a1
3
2
n
y ＝x Q (x)
2 n
~
下面讨论当α≠0 时，即当 f(x)＝pn(x)e
αx
d 2 y dy ＋p ＋qy＝p (x)e 2 dx dx
n
αx
(7.5)
的一个特解的求法，方程(7.5)与方程(7.4)相比，只是其自由项中多了一个 αx αx 指数函数因子 e ，如果能通过变量代换将因子 e 去掉，使得(7.5)化成(7.4) αx 式的形式，问题即可解决，为此设 y＝ue ，其中 u＝u(x)是待定函数，对 y＝ue
特征根
d2y r＝±i 得，对应的齐次方程 ＋y＝0 2 dx
Y＝C1 cos x＋C２ sin x 由于α＝3 不是特征方程的根，又 pn(x)＝x－2 为一次多项式，令原方程的特解
~
y ＝(a x＋a )e
0 1 0 1
3x
d 2u du 此时 u＝a x＋a ，α＝3，p＝0，q＝1，求 u 关于 x 的导数 ＝a ， ＝ dx 2 dx
n
αx
＝pn(x)e
αx
消去 e
d 2u du ＋ (2 α＋ p) ＋(α ＋pα＋q)u＝p （x） 2 dx dx
(7.6)
由于(7.6)式与(7.4)形式一致，于是按(7.4) 2 2 (1)如果α ＋pα＋q≠0， 即α不是特征方程 r ＋pr＋q＝0 的根， 则可设 (7.6) 的特解 u＝Ｑn(x)，从而可设(7.5)
y ＝Q (x)e
n 2
~
αx
(2)如果α ＋pα＋q＝0，而２α＋p≠0，即α是特征方程 r ＋pr＋q＝0 的 单根，则可设(7.6)的特解 u＝xQn(x)，从而可设(7.5)
2
y ＝xQ (x)e
n 2
~
αx
2
(3)如果 r ＋pα＋q＝0，且２α＋p＝0，此时α是特征方程 r ＋pr＋q＝0 2 的重根，则可设(7.6)的特解 u＝x Qn(x)，从而可设(7.5)
(7.1)
其中 p、q 是常数，由上节定理二知，要求方程(7.1)的通解，只要求出其任 意两个线性无关的特解 y1,y２ 我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它
d 2 y dy 的特点是 ， ， y 各乘以常数因子后相加等于零， 如果能找到一个函数 y ， 2 dx dx 2 d y dy 其 ， ，y 之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(7.1)的 dx 2 dx
αx
pn(x)是 n 次多项式，我们先讨论当α＝0 时，即当
d 2 y dy ＋p ＋qy＝p (x) dx 2 dx
n
(7.4)
(1)如果 q≠0，我们总可以求得一 n 次多项式满足此方程，事实上，可设特
y ＝Q (x)＝a x ＋a x
n n 0 1
~
n－1
＋…＋an
a0，a1，…an 是待定常数，将 y 及
－ix αx iβx －iβx αx 1 ２ αx iβx －iβx αx 1 2 1 2 1 2
e cosβx，e sinβx 是方程(7.1)的两个特解：且它们线性无关，由上节定理 二知，方程(7.1) αx αx y＝C1e cosβx＋C2e sinβx αx 或 y＝e (C1cosβx＋C2sinβx) 其中 C1，C2 为任意常数，至此我们已找到了实数形式的通解，其中α，β分 别是特征方程(7.2)复数根的实 综上所述，求二阶常系数线性齐次方程(7.1)的通解，只须先求出其特征方 程(7.2) 2 特征方程 r ＋pr＋q＝0 的根 d 2 y dy 微分方程 ＋p ＋qy＝0 的通解 2
二阶常系数线性微分方程的解法
在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求 解问题， 关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。 本节讨 论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。 先 § 7.1
d 2 y dy ＋p ＋qy＝0 dx 2 dx
1 1 7 x － x－ 2 2 4
2
(2)如果 q＝0，而 p≠0，由于多项式求导一次，其次数要降低一次，此时 y ＝Qn(x)不能满足方程，但它可以被一个(n＋1)次多项式所满足，此时我们可设
~
~
y ＝xQ (x)＝a x
n 0
n＋1
＋a1x ＋…＋anx
n
代入方程(7.4)，比较两边系数，就可确定常数 a0，a1，…an 例 2. 解 解
特解，在初等函数中，指数函数 e rx y ＝e (其中 r 为待定常数) 将 y ＝e
rx rx
dy ， ＝re dx
2 rx
rx
d2y ， ＝r e 2 dx
rx
2 rx
代入方程(7.1)
得 r e ＋pre ＋qe ＝0 rx 2 或 e （r ＋pr＋q）＝0 rx 因为 e ≠0 2 r ＋pr＋q＝0 由此可见，若 r 2 r ＋pr＋q＝0 (7.2) rx 的根，那么 e 就是方程(7.1)的特解，于是方程(7.1)的求解问题，就转化 为求代数方程(7.2)的根问题。称(7.2)式为微分方程(7.1) 特征方程(7.2)是一个以 r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两 个根 r１，r2，称为特征根，由代数ຫໍສະໝຸດ Baidu识，特征根 r1，r2 有三种可能的情况，下面 (1)若特证方程(7.2)有两个不相等的实根 r１， r2， 此时 e
~
其导数代入方程(7.4)，得方程左右两边都是 n 次多项式，比较两边 x 的同次幂 系数，就可确定常数 a0，a1，…an
例 1. 解
~
d 2 y dy 求 ＋ ＋2y＝x －3 dx 2 dx
2 2
自由项 f(x)＝x －3 是一个二次多项式，又 q＝2≠0，则可设方程的特
y ＝a x ＋a x＋a
2
3 16 19 a2 32 ~ 1 3 19 所求方程的特解 y ＝ x － x＋ x 4 16 32 d2y (3)如果 p＝0，q＝0，则方程变为 ＝p (x)，此时特解是一个(n＋2)次 dx 2
解得
12a 0 3 8a1 6a 0 0 2a 4a 2 1 2
0
0
d 2u du ＋ ( ２α＋ p) ＋(α ＋αp＋q)u＝(x－2) 2 dx dx
2
10a0x＋10a1＋6a0＝x－2 比较两边 x
10a 0 1 10a1 6a 0 2
2
2
y ＝a e
0
(2)因α＝－2 是特征方程 r ＋5r＋6＝0
y ＝x(a x＋a )e
0 1
~
－2x
2
(3)因α＝－1 是特征方程 r ＋2r＋1＝0
y ＝x (a x ＋a x＋a
2 2 0 1
~
２
)e －x
例 4. 解
d2y 求方程 ＋y＝(x－2)e dx 2
r ＋ 1 ＝0
２
3x
特征方程
αx
dy du ＝e ＋αue dx dx d2y d 2u du 求二阶导数 ＝ e ＋ 2 α e ＋α ue 2 2 dx dx dx
αx αx αx αx 2
αx
代入方程(7.5)
e
αx
d 2u du ［ ＋ 2 α ＋α u］＋pe dx 2 dx
2 αx 2
αx
［
du ＋αu］＋que dx
~
d 2 y dy 求方程 ＋4 ＝3x ＋2 2 dx dx
2
自由项
f(x)＝3x ＋2 是一个二次多项式，又 q＝0，p＝４≠0，故设特
2
y ＝a x ＋a x ＋a x
3 2 0 1 2
求导数
~
y ' ＝3a x ＋2a x＋a
2 0 1 0 1
~
2
y" ＝6a x＋2a
2
12a0x ＋（8a1＋6a0）x＋（２a1＋4a2）＝3x ＋2，比较两边同次幂的系数